多本構模型參數同步更新的在線數值模擬方法研究

劉天姿,黃偉,寧西占,2,葉恒博,王國元

(1. 華僑大學 土木工程學院,福建 廈門 361021; 2. 中國地震局工程力學研究所 地震工程與工程振動實驗室,黑龍江 哈爾濱 150080; 3. 蕪湖市交通投資有限公司,安徽 蕪湖 241011)

0 引言

混合試驗源于擬動力試驗,是一種將物理試驗和數值計算相結合來獲取動力荷載作用下結構反應的先進試驗方法[1]。在該方法中:待模擬結構中的關鍵構件或子結構在實驗室中進行物理加載,稱為物理子結構;而結構剩余部分以及全部的慣性力、阻尼力則在計算機中采用程序或有限元軟件計算,稱為數值子結構。因此,混合試驗可以實現大比例尺的試驗,且對加載設備無特殊需求,在過去的數十年間得到了密切關注,并取得了許多重要進展[2-5]。

為實現復雜結構的混合試驗,物理子結構往往采用簡化處理的邊界條件,或放棄某些自由度的模擬,這樣勢必會降低混合試驗的模擬精度,甚至導致錯誤的結構破壞模式。為解決物理子結構邊界條件無法完全模擬的混合試驗問題,WU等[6]提出了在線數值模擬方法。該方法的思想是:結構不再劃分數值子結構和物理子結構,其動力反應由整體數值模型計算得到,邊界條件問題自然得以避免;不完整物理子結構的實測反力不再參與運動方程的求解,而是用于數值模型本構參數估計,并以此更新整體數值模型的本構參數值,數值建模的可靠性得到了有效改善。

在線數值模擬方法的關鍵問題之一是本構模型參數估計。2005年YANG等[7]以實測試驗數據使用神經網絡在線識別物理子結構的滯回特性,并用經過物理子結構試驗數據訓練好的神經網絡在線預測數值子結構的恢復力,以修正數值子結構數學模型與試驗模型不同的影響,這是模型更新混合試驗的首次應用。隨后,地震工程領域學者在本構模型參數估計方面開展了大量有益探索。王濤等[8]以傳統BP神經網絡為基礎,通過增加反饋層,提出一種在線自適應神經網絡算法,并以Bouc-Wen模型為例進行了驗證,研究表明:所提方法具有較高的效率和精度;王燕華等[9]將遺忘因子引入LMBP神經網絡,發展了一種在線模型更新方法,并以兩自由度非線性結構為例探討了新方法的自適應性、穩定性和抗噪聲能力;馬天宇等[10]以最小二乘法為基礎,對雙折線模型進行恢復力模型更新,并開展了數值驗證;CHUANG等[11]開發了一種防屈曲支撐的雙屈服面宏觀模型,并提出基于梯度方法的模型更新算法,完成了鋼框架-防屈曲支撐結構的數值模擬;郭玉榮等[12]以Ibarra-Medina-Krawinkler模型作為鋼筋混凝土的本構模型,采用UKF作為估計方法,驗證了模型更新方法的有效性和優越性;WU等[13]基于UKF算法提出了截面模型更新的混合試驗方法,并以鋼框架結構為例驗證了所提方法的有效性;MEI等[14]將UKF算法用于識別混凝土材料的本構模型參數,完成了高墩橋的模型更新混合試驗,有效改善了數值建模的可靠性;ZHONG等[15]提出基于全局敏感性的模型更新混合試驗方法,并以鋼筋混凝土結構為例對該方法進行了系統探討。

在已有基于模型更新的混合試驗研究中,往往認為單一材料本構模型參數具有不確定性并對其進行估計更新,如鋼筋或混凝土材料。但對鋼筋混凝土結構,由材性試驗得到的鋼筋和混凝土的本構模型參數在用于結構計算時難以精確模擬其力學性能。因此,有必要對鋼筋和混凝土本構模型參數同步估計以提高數值子結構的模擬精度?；诖?本文提出多本構模型參數同步更新的在線數值模擬方法,并以Levenberg-Marquardt(LM)算法作為參數估計方法,采用物理子結構的恢復力實現對鋼筋和混凝土材料本構模型參數的同步估計。本文余下部分將闡述在線數值模擬方法的基本原理和基于LM算法的有限元材料本構模型參數估計方法,以一鋼筋混凝土框架結構為例,探討LM算法中阻尼因子的影響,并開展虛擬混合試驗以驗證所提方法的可行性。

1 在線數值模擬方法基本原理

在線數值模擬方法是一種新型混合試驗方法,其既可以有效解決不完整邊界物理子結構的混合試驗問題,又可以改善數值建模的可靠性。與傳統混合試驗不同,物理子結構不再為結構反應計算提供恢復力,而是用于數值模型的本構參數估計。在線數值模擬方法包含四個模塊,即:1)協調器模塊,用于求解結構的動力反應。2)結構整體數值模型模塊,用于確定物理子結構的邊界位移并提供結構動力反應計算的整體結構靜恢復力。3)物理子結構模塊。4)本構模型參數估計模塊,用于估計數值模型的本構參數,包含優化算法以及與物理子結構具有相同邊界條件的數值模型(本文稱之為“等代物理子結構”)。在線數值模擬方法的原理圖見圖1。

圖1 在線數值模擬方法原理Fig. 1 Principle of online numerical simulation method

在線數值模擬方法的基本流程可簡述如下:1)在協調器中求解結構運動方程,獲取結構動力自由度方向上的位移d。2)以位移d驅動結構整體數值模型完成非線性靜力分析,得到物理子結構位移dE,并將其發送給試驗設備進行物理加載,獲取相應的恢復力RE。3)參數估計模塊以物理子結構實現的位移及其對應的恢復力,采用合適的參數估計方法估計等代物理子結構的相關本構參數,并將該參數更新結構整體數值模型中的相關參數。4)再次以位移d驅動結構整體數值模型完成非線性靜力分析,提取與動力自由度相應的自由度方向上的恢復力R。5)將整體結構靜恢復力反饋至協調器進行下一步運動方程的求解。6)重復1)至5)直至試驗結束。

需要說明的是:在線數值模擬方法建立在對物理子結構具有一定認知的前提下,且該方法不限制本構模型的類型和參數個數,具有較強的適用性和擴展性。

2 基于LM算法的參數估計方法

近年來,有限元方法逐漸被用于混合試驗以提高模擬精度,其中采用材料應力-應變關系反應結構或構件力學行為的纖維模型兼顧計算效率和精度,既能描述結構的整體行為,又能刻畫結構的局部特性,因此在混合試驗中得到了廣泛的應用。在混合試驗中:能夠直接有效觀測的物理量包括應變、物理子結構的力和位移,但應變易受溫度和電阻影響。為此,該研究將以物理子結構的恢復力為觀測量,來估計材料的微觀本構模型參數。特別地,本文將以單作動器加載的物理子結構為例,對鋼筋和混凝土這兩種材料的本構模型參數進行估計。

2.1 本構模型參數的優化問題

參數估計就是通過不斷優化等代物理子結構的本構模型參數,使由等代物理子結構計算得到的恢復力與物理子結構的實測力之差最小,可將其歸結為結構參數優化問題。從有限元角度來看:等代物理子結構的恢復力F是節點力,可以表述成節點位移和本構模型參數的函數為:

F=f(x,u)

(1)

式中:f(x,u)是與歷史變量相關的函數,x是本構模型參數,u是節點位移。顯然,在基于有限元的本構模型參數估計問題中,恢復力是本構模型參數x的非線性函數。

假定物理子結構的實測恢復力為R,則參數估計的目標函數可表達為:

(2)

式中:k代表當前計算步。顯然,以式(2)為目標函數的參數估計問題可歸結為非線性最小二乘問題,需通過迭代求解。

2.2 LM算法

在試驗初始階段,由于觀測量不足等因素影響,常導致目標函數的Hessian矩陣(JTJ,J表示目標函數的雅克比矩陣)為奇異陣,此時式(2)無解或存在多組解,無法實現對多本構模型參數的同步估計。為避免該問題,Levenberg和Marquardt等提出了一種阻尼高斯-牛頓方法[16],在第k個計算步的迭代格式為:

xj+1=xj+(JTJ+μjI)-1JT(f(xj,u)-R)

(3)

式中:j為迭代步,u、f和R為前k個計算步中位移、恢復力和實測力的向量表示,I表示單位矩陣,μ為大于零的阻尼因子。由式(3)可知:在式(2)的Hessian矩陣上增加正的單位矩陣,可保證式(2)解的唯一性,因此采用LM算法可實現對多本構模型參數的同步估計。當阻尼因子趨于無窮較大時,式(3)退化為最速下降法;當阻尼因子為零時,式(3)退化為高斯牛頓法。本文中,阻尼因子的更新方式為:

(4)

(5)

對式(3)和式(5)中Jacobian矩陣,采用向前差分方法近似代替微分進行求解,計算式為:

(6)

式中:φ是前向差分步長因子,是一個較小的正數。

3 數值模擬

本節將以鋼筋混凝土結構為例,驗證基于LM算法的多本構模型參數同步更新在線數值模擬方法的可行性和有效性。研究中:物理子結構采用有限元模擬,將其采用的本構模型參數稱為真實值,并將所開展的混合試驗稱為虛擬混合試驗。

3.1 計算模型

選取一兩層兩跨鋼筋混凝土平面框架為研究對象,其底層層高為3.6 m,二層層高3.0 m,柱為500 mm×500 mm的矩形截面,梁寬300 mm,高550 mm,并在每側考慮720 mm的樓板翼緣以考慮樓板對梁的約束作用;梁柱中受力筋為直徑20 mm的HRB400級鋼筋。結構每層質量為13 218 kg,周期為0.37 s。建模時,梁柱均采用纖維截面離散,用OpenSees中基于力的非線性梁柱單元模擬,每個單元取5個積分點,鋼筋和混凝土分別用Steel02和Concrete01模型模擬[17]。結構的計算模型如圖2所示。研究中:取底層邊柱反彎點以下部分為物理子結構,以避免對子結構界面處彎矩的模擬[18],并考慮幾何相似比和彈性模量相似比分別為1∶2和1∶1。根據《建筑抗震試驗規程》(JGJ/T 101—2015)[19]的規定可知:通過恢復力估計得到的本構模型參數可直接用于原結構數值模型的計算。

圖2 計算模型及物理子結構Fig. 2 Computational model and physical substructure

3.2 LM算法中阻尼因子的影響

為更好地指導虛擬混合試驗的開展,首先研究了LM算法中阻尼因子的影響,并在2.2節算法基礎上考慮了兩種常阻尼因子,即μ=0.1和μ=0.001。該算例以物理子結構為對象開展,并采用了指定位移輸入,見圖3;物理子結構本構模型的真實值和等代物理子結構的初始值見表1。在計算Jacobian矩陣時,前向差分步長因子φ取為1×10-9,以使由差分計算得到的Jacobian矩陣更接近微分情況。

表1 本構模型參數及其估計值Table 1 Constitutive model parameters and their estimated values

圖3 加載位移時程Fig. 3 Time history of the loading displacement

為方便對比,選用不同阻尼因子時鋼筋和混凝土參數的估計結果也在表1中給出。表1顯示:盡管參數估計初值與真實值具有明顯的差異,三種工況下參數估計的終值與真實值的差異明顯減小,表明基于LM算法的參數估計方法具有較高的估計精度。這是因為:在混合試驗中,參數估計的初始值往往位于真實值的鄰域內,采用LM算法可以保證估計值收斂至真實值。從表中還可以發現:除約束區混凝土的極限應力與真實值有較大差異外,其余參數幾乎與真實值完全一致,其原因是:在當前最大位移幅值下,物理子結構依然具有較高的承載能力,剛度尚未有明顯退化,導致Concrete01材料下降段所起作用有限,從而導致約束區混凝土極限應力未能收斂到真實值。

3.3 虛擬混合試驗

為說明本文方法的優越性和有效性,開展了多本構模型同步估計的在線數值模擬和傳統混合試驗。地震動選為El Centro波,時間間隔通過重采樣設為0.005 s,地震動峰值加速度調幅為0.31 g,持時10 s。研究中:鋼筋和混凝土材料的本構模型參數初始值和真實值見表2,并以OpenSees完成的整體結構動力時程分析作為參考解以評估兩種混合試驗的模擬效果。值得說明的是:由于混合試驗中通常會對位移和力采取濾波措施,測量的位移和力往往很光滑,因此在虛擬混合試驗時未考慮噪聲的影響。

表2 虛擬混合試驗中材料模型參數及其估計值Table 2 Constitutive model parameters and their estimated values

在線數值模擬和傳統混合試驗的位移時程對比見圖4,同時將定量分析誤差在表3中給出。圖4和表3中顯示:傳統混合試驗與參考位移有顯著的差異,而在線數值模擬方法與參考解吻合良好,顯示了在線數值模擬方法的優越性。傳統混合試驗的誤差來源有兩方面:一是數值計算模型采用了材料本構模型的初始值,與真實值之間存在明顯差異,進而帶來模擬誤差;二是在動力分析時柱的反彎點位置和軸力是發生變化的,亦即物理子結構在邊界處需同時考慮彎矩和軸力邊界,而試驗時則忽略了這兩個邊界,因此造成模擬誤差。對在線數值模擬方法,結構反應由整體數值模型計算得到,不存在邊界條件的問題,同時本構模型參數通過物理子結構的實測反力在線估計得以改善,因此與參考解吻合良好。

表3 混合試驗誤差指標Table 3 Error indexes for hybrid simulation

圖4 結構響應對比Fig. 4 Comparison of structural response

圖5給出了底層中柱彎矩和軸力的時程對比圖。從圖中可以看出:無論是軸力還是彎矩,在線數值模擬方法與參考解吻合良好;傳統混合試驗得到的軸力幅值與參考解相差不大,但彎矩幅值有明顯差異。由此可以看出:混合試驗中簡化的邊界條件將嚴重改變結構的受力狀態,進而影響結構性能評估的準確性。

圖5 軸力與彎矩對比Fig. 5 Comparison of axial force and bending moment

圖6給出了在線數值模擬方法非約束區混凝土峰值應力和鋼筋屈服強度的估計結果,其余參數的估計值在表2中給出。從表中可以看出:混合試驗中參數估計值與真實值幾乎一致,從而表明LM算法具有較高的精度。從圖6中可以看出:峰值應力在前1 s內迅速調整并逐漸趨向于真實值,隨后保持不變;而屈服強度在前1.5 s內幾乎沒有任何變化,隨后迅速調整至真實值附近,并保持該值。這是因為:在地震作用初始階段,結構的位移幅值較小,混凝土的應變尚未達到峰值應變,但由于混凝土的應力應變關系呈現非線性,即使此時恢復力實測值與計算值的差異較小,也會使得峰值應力迅速調整,以實現恢復力差值最小;隨著位移的增加,混凝土峰值應力的作用被充分激發,而此時由本構參數估計值計算得到的恢復力與實測恢復力較為接近,因此在1 s后估計值保持不變,且幾乎與真實值重合。而對鋼筋來講,當位移較小時其性能主要受彈性模量影響,屈服強度的作用未被激發,因此在初始階段屈服強度幾乎沒有變化;隨著鋼筋應變的增加,屈服強度的作用逐漸顯現,導致其估計值迅速向真實值調整。當鋼筋應變超過其屈服應變時,鋼筋屈服強度的作用被充分激發,進而使得其估計值幾乎不發生變化。由此可以看出:LM算法具有較高的模擬精度和較快的收斂速度,適合基于模型更新的混合試驗。

圖6 參數估計結果Fig. 6 Parameter estimation results

4 結論

1) 通過將本構模型參數估計問題轉化為結構參數優化問題,提出了基于LM算法的多本構模型參數同步更新的在線數值模擬方法,極大改善了數值建模的可靠性,提高了混合試驗的模擬精度。

2) 以鋼筋和混凝土材料為例,驗證了利用結構的宏觀恢復力來估計微觀本構模型參數的可行性,LM算法在有限元本構模型參數估計中具有較快的收斂速度和較高的計算精度,適用于基于模型更新的混合試驗。

3) 兩層兩跨鋼筋混凝土結構的虛擬混合試驗表明:在線數值模擬方法的均方根誤差和峰值相對誤差均在2.3%以內,相比傳統混合試驗方法提升了近90%。