基于分布位錯法研究多條微裂紋對偏折主裂紋的影響

王強勝，張啟洞，蔣哲亮，李樂毅，江曉禹

基于分布位錯法研究多條微裂紋對偏折主裂紋的影響

王強勝1，張啟洞2，蔣哲亮3，李樂毅1，江曉禹4*

（1.四川建筑職業技術學院，四川 德陽 618000；2.中國兵器工業試驗測試研究院，陜西 華陰 714200；3.聯合微電子中心有限責任公司，重慶 401332；4.西南交通大學 力學與航空航天學院，成都 610031）

采用理論方法求解多條微裂紋對偏折主裂紋的影響，重點分析偏折主裂紋尖端的力學行為及微裂紋對主裂紋擴展角度和閉合區域的影響等問題，為實際的工程應用提供理論依據。運用疊加原理將主問題分解成2個子問題，通過材料力學方法求解子問題一；基于分布位錯方法求解子問題二。進一步建立關于位錯密度的奇異積分方程，利用Gauss-Chebyshev數值求積分法解決位錯密度方程的奇異性問題，并通過計算機編寫程序，最終得到相關力學參量的數值解。得到了偏折主裂紋附近的應力場以及微裂紋長度、微裂紋個數對偏折主裂紋尖端應力強度因子的影響等相關力學參量。分析了主裂紋不同偏折角度時的閉合區域，以及微裂紋的方位角、微裂紋個數等對偏折主裂紋擴展角度的影響。裂紋面對拉應力有屏蔽作用，導致拉應力在裂紋面附近應力松弛，而裂紋尖端對拉應力有放大作用，隨著應力增加將導致裂紋的擴展。一條微裂紋位于主裂紋尖端約–30°<<50°時，將使主裂紋尖端應力強度因子增加，促進主裂紋的擴展，而微裂紋位于50°<<90°或–90°<<–30°時，將使主裂紋尖端應力強度因子減小，抑制主裂紋的擴展。主裂紋尖端應力強度因子隨微裂紋長度的增加而變大，隨微裂紋與主裂紋間距離的增加而減小。

偏折主裂紋；微裂紋；分布位錯法；應力強度因子；裂紋擴展

材料或結構中的缺陷（其最嚴重形式是裂紋）是不可避免的。由缺陷引起斷裂所發生的機械、結構的失效，是工程中最重要、最常見、也是最危險的失效模式，對于含裂紋的材料，其裂紋尖端是最危險的區域[1]。自20世紀以來，斷裂力學成為吸引大批國內外專家學者爭相研究的重要領域，而對斷裂力學研究的重心在裂紋尖端區域的力學行為上[2]。在脆性斷裂或小范圍屈服條件下，可以用裂紋尖端的應力強度因子表征裂紋尖端的應力集中現象，使含裂紋的應力集中問題得以量化解決[1]。

在外加荷載或材料內部缺陷的影響下，已有裂紋會發生擴展導致偏離原始方向，形成偏折裂紋，而偏折裂紋在工程結構中是一種非常常見的現象。隨著外加載荷或材料內部缺陷的持續影響，材料中將會產生一個或多個應力集中區域，在這些區域內，會不可避免地萌生微裂紋，而微裂紋對材料的斷裂行為有著非常大的影響。因此，研究微裂紋與宏觀偏折主裂紋之間的相互影響有著重要的現實意義。閱讀文獻資料不難發現，有較多學者已做過一些裂紋之間相互影響的研究工作，如Kachanov[3]研究分析了彈性平面內含多條裂紋的應力問題。Li等[4-5]基于分布位錯方法研究了無限大平面內含任意方位的微裂紋與直的主裂紋間的相互影響。Loehnert等[6]和Wang等[7]通過擴展有限元法分析了多個微裂紋對主裂紋的影響情況。Chen[8]采用權函數法研究了彈性平面內多條偏折主裂紋之間的相互作用，得到了裂紋尖端的應力強度因子。Lo[9]基于復變函數法，提出了單軸拉伸載荷作用下，無限大彈性平面內含一條偏折裂紋的理論解。Gong等[10-12]、Meguid等[13]和Hori等[14]利用復變函數法研究了多條裂紋之間的相互作用。Mukai[15]研究了含偏折裂紋的半平面在剛性圓柱壓頭作用下的應力問題。王強勝等[16-17]通過分布位錯方法研究了復雜載荷作用下，半無限大彈性平面內含一條直的主裂紋的力學行為。He等[18-19]分析了界面偏折裂紋問題。

上述研究只考慮了直的宏觀裂紋與微裂紋間的相互影響，并沒有分析多條微裂紋對偏折宏觀主裂紋的影響情況。因此，本文通過分布位錯方法，重點研究了無限大彈性平面內包含多條任意位置的微裂紋與一條偏折主裂紋之間的相互影響問題。得到了偏折主裂紋附近的應力場、裂紋尖端的應力強度因子以及主裂紋的擴展角度等相關力學參量，得到的結果將為實際的工程應用提供理論依據。

1 理論模型

在實際裂紋擴展中，主裂紋的擴展路徑往往是彎曲的，基于這樣的考慮，本文重點分析微裂紋對偏折主裂紋的影響。在無限大平面內有一條偏折的主裂紋和條（≥3）任意位置的微裂紋，外加載荷是遠場的均勻拉伸與剪切的復雜載荷，分別用∞和∞表示，理論模型如圖1所示。偏折主裂紋由2段傾斜段組成，分別標記為裂紋“1”和裂紋“2”，長度分別為2和2，傾斜角度分別為和，在本文稱之為裂紋角度；-2條微裂紋分別標記為“3”“4”……“”，微裂紋的長度均為2，微裂紋中心與整體坐標原點的距離均為，微裂紋的傾斜角度分別為3、4……α，微裂紋相對于整體坐標原點的位置分別用3、4……θ表示，稱之為微裂紋方位角，定義、、α和θ逆時針方向為正。為方便求解，用位錯列代替裂紋時，裂紋編號也是相應位錯列的編號。接下來，采用分布位錯方法對這一問題進行理論求解。

2 理論求解

2.1 疊加原理

分布位錯方法求解裂紋問題的核心思想是通過連續分布的位錯來等效代替裂紋產生的應力和變形，從Bueckner定理出發，將圖1所研究的問題分解成2個子問題，其中子問題一：無裂紋和位錯時，遠場復雜載荷作用下平面內產生的應力問題。該問題的應力場可以表示為：

子問題二：無外加載荷作用時，平面內含有四列連續分布的刃型位錯產生的應力問題[20]，基于分布位錯技術求解子問題二。最后將這2個子問題通過疊加原理得到圖1所示問題的完整解。

2.2 關于位錯密度積分方程的建立

在無限大平面內，位于整體坐標系（，0）處的一個刃型位錯產生的應力場可以通過文獻[20]得到：

式中：μ是剪切模量；κ是Kolosov常數，平面應力狀態下κ=(3–ν)/(1+ν)，平面應變狀態下κ=3–4ν；ν是泊松比；bx和by是刃型位錯Burgers矢量；G*是位錯密度影響函數，可通過文獻[20]得到。

類似地，可以得到在裂紋1、2、3和4區域的總位錯引起的應力分量，如下：

式中，1=；2=；3=4=……R=；(ξ)是位錯密度函數；無限大彈性平面內含有2個任意方向裂紋的影響函數，已通過文獻[4,20]得到，式（4）中的影響函數可以通過替換裂紋位置和角度得到。

圖1所示問題的邊界條件必須滿足裂紋面無牽引力，即將式（4）代入式（2），得到關于位錯密度的積分方程，如下：

至此，關于位錯密度的積分方程已經建立，式（5）中共有2個代數方程組，有2個待求解的位錯密度函數，方程數等于未知數個數，理論上是可以求解的，但該方程是奇異的，其解析解很難得到。因此，本文采用一種有效的數值求解方法Gauss-Chebyshev求積分法進行數值求解[21-22]。

2.3 積分方程的數值求解

Gauss-Chebyshev求積分法，首先需將式（5）中的積分區間[–R，R]通過式（7）歸一化到區間[–1, 1]上。

此時，式（5）變為：

由于裂紋兩端是奇異的，位錯密度也是如此，從文獻[20]中得到位錯密度函數的表達式，如下：

利用Gauss-Chebyshev求積分方法，可以將式（8）中的每個方程離散為-1個代數方程，如下：

式中，為離散積分點的個數，越大結果越精確。在式（10）中，共有2×個未知數，但只得到2×(–1)個代數方程。由于裂紋的2個尖端處位移為零，所以每個裂紋上，位錯總的Burgers矢量必須等于零，以保證裂紋上無凈位錯，通過這個條件得到2–2個補充方程：

在裂紋偏折處的位錯密度值應相等，再次得到2個補充方程：

同時，也可以得到整體坐標系--下的應力場：

3 理論解的驗證

為保證圖1理論模型計算的正確性，同時能夠與已有文獻[20]的結果對比，故在本節理論解的驗證模型中暫不考慮微裂紋的影響，只施加遠場的均勻拉伸載荷∞，其他相關參數取=2、0°、=1.0、∞= 0、=30，本文計算結果（散點表示）與文獻[20]結果（實線表示）對比如圖2所示。

圖2 本文結果與文獻結果對比

從圖2的結果對比中可以看到，不管是變化趨勢還是數值大小，本文的計算結果與文獻[20]中的結果都是比較吻合的，說明本文采用的分布位錯計算方法與數值計算程序得到的結果是可靠的。因此，本文以下結果均采用分布位錯方法，并通過Wolfram Mathematical 9.0編程得到其數值解。

4 結果分析

4.1 裂紋附近應力場

對于含裂紋的材料，其裂紋尖端是應力最集中，也是最危險的區域。裂紋附近應力場的分析與計算結果有助于研究裂紋之間的相互作用。因此，為了更加直觀地看到偏折主裂紋附近的應力分布情況，通過式（15）得到了偏折主裂紋附近的應力場，如圖3為不考慮微裂紋與偏折主裂紋之間的相互作用時偏折主裂紋附近歸一化應力場的等高線圖，相關參數取=2、30°、=0°、=1.0、∞=0、=30。

圖3a為偏折主裂紋附近歸一化的拉伸應力場等高線圖，可以看到：裂紋面頂部和底部區域的拉應力σ小于外加拉伸載荷∞，而裂紋兩端點區域的拉應力σ大于∞，說明裂紋面對拉應力有屏蔽作用，導致拉應力在裂紋面附近的區域應力松弛，而裂紋尖端區域對拉應力有放大作用。因此，在裂紋尖端附近發生應力集中，隨著應力增加將導致裂紋擴展。圖3b為偏折主裂紋附近歸一化的切應力場等高線圖，可以看到，處于第一象限和第三象限的切應力主要以負值為主，而處在第二象限和第四象限的切應力主要以正值為主。

4.2 傾斜角β對裂紋“2”閉合區域的影響

在上一節結果驗證中，當相關參數取=2、0°、=1.0、∞=0、=30，裂紋“2”的傾斜角度=82°時，裂紋“2”將發生閉合。因此，有必要研究偏折裂紋中，裂紋“1”的傾斜角對裂紋“2”何時發生閉合的影響情況，這將有助于對存在缺陷（裂紋）材料的破壞形式有更好的說明。相關參數取=2、=1.0、∞=0、=30，結果如圖4所示。

若裂紋“1”的傾斜角=0°時，裂紋“2”在區間[82.0°, 118.3°]或[–118.3°, –82°]時將發生閉合，該閉合區間關于軸對稱分布。當裂紋“1”的傾斜角=15°時，裂紋“2”在區間[85.5°,111.6°]或[–121.4°, –78.7°]時將發生閉合，該閉合區間與=0°時的閉合區間有較大的變化，并非對稱分布，而是在越靠近裂紋“1”的區域，造成裂紋“2”發生閉合的區域越大，在閉合區間內容易造成材料的剪切破壞。

4.3 微裂紋對偏折主裂紋的影響

4.3.1 微裂紋長度對偏折主裂紋尖端應力強度因子的影響

在單軸拉伸載荷σ作用下，微裂紋長度對偏折主裂紋尖端應力強度因子的影響情況如圖5所示，其他相關參數取=4、30°、=15°、3=30°、4=–30°、3=4=0°、=1.0、∞=0、=30。

圖4 裂紋“1”傾斜角β對裂紋“2”的影響

圖5 應力強度因子隨微裂紋長度的變化曲線

從圖5的數據結果中看到，偏折主裂紋尖端的應力強度因子I或II都隨著微裂紋長度的增加而變大，隨著微裂紋與偏折主裂紋間距離/的增加，微裂紋對主裂紋尖端應力強度因子的影響就會減弱，是因為隨著距離/的增加以及微裂紋長度/的減小，微裂紋對偏折主裂紋附近應力場的影響將會減弱。

4.3.2 微裂紋方位對偏折主裂紋尖端應力強度因子的影響

在單軸拉伸載荷σ作用下，微裂紋方位角對偏折主裂紋尖端應力強度因子的影響如圖6所示，其他相關參數取=4、30°、=15°、4=0°、3=4=0°、=1.0、=0.5、4=0.5、∞=0、=30。

圖6 應力強度因子隨微裂紋方位角θ的變化曲線

從圖6a中看到，當只有一條微裂紋時，微裂紋方位角在–30°<<50°范圍時，微裂紋對主裂紋尖端I有放大作用，而在–90°<

4.3.3 微裂紋對偏折主裂紋擴展方向的影響

最大周向應力準則認為含裂紋的材料會向裂紋尖端周向拉應力最大的方向發生擴展，可以有效判斷材料的斷裂方向[23]。因此，本文運用最大周向應力準則研究偏折主裂紋的擴展方向，用偏折主裂紋尖端的應力強度因子計算裂紋的擴展方向，如下：

式中，定義逆時針方向為正，即direction>0時，裂紋在坐標系一、二象限區域內發生擴展；direction<0時，裂紋在坐標系三、四象限區域內發生擴展。

在單軸拉伸作用下，主裂紋擴展角度隨微裂紋長度或微裂紋方位角的變化情況如圖7所示，其他相關參數取=4、30°、=15°、4=0°、3=4=0°、=1.0、=0.5、4=0.5、∞=0、=30。

從圖7a微裂紋長度對主裂紋擴展角度的影響中看到，當無微裂紋影響時，主裂紋隨著外加載荷的增加，將在第四象限內以–12.94°的方向發生擴展，因為由圖3應力場的分析可知，不管是正應力，還是切應力，都是在第四象限區域內最大。而當有一條微裂紋處于主裂紋尖端的右上方時，由于主裂紋位于微裂紋應力場的第三象限，該象限內是拉引力場和負向的切應力場的疊加，將會吸引主裂紋朝著微裂紋所在的方向發生擴展，即主裂紋隨著微裂紋長度的增加，在第四象限內逐漸朝著軸的方向發生擴展。當有2條對稱于軸分布的微裂紋時，主裂紋隨微裂紋長度的增加，其擴展方向與一條時恰好相反，且擴展角度的增速更大，這表明該模型下，微裂紋處于主裂紋的右下方時，更容易造成裂紋擴展。從圖7b中看到，微裂紋方位角對主裂紋擴展角度的影響較小，在–90°<90°范圍內變化過程中，=60°時，微裂紋對主裂紋擴展角度的影響最大，=23°時，其影響相對較小。

4.4 微裂紋個數對偏折主裂紋的影響

在單軸拉伸作用下，微裂紋個數對偏折主裂紋尖端應力強度因子及擴展角度的影響如圖8所示，其他相關參數取=2…9、30°、=15°、3=45°、4=30°、5=15°、6=0°、7=–15°、8=-30°、9=–45°、=0°、=1.0、=0.5、=7.5、∞=0、=30。

從圖8a中看到，隨著微裂紋個數的增加，偏折主裂紋尖端一型應力強度因子I將不斷增加，但其增幅相對緩慢，而II受微裂紋個數的影響相對較小。同圖7a中所得到的結論一致，微裂紋位于主裂紋右下方時，更容易引起主裂紋的擴展，而位于右上方時，擴展相對較難。從圖8b中看到，在該模型的裂紋方位下，微裂紋位于主裂紋右上方時，主裂紋在第四象限內逐漸朝著軸的方向發生擴展，而微裂紋位置越往主裂紋的右下方時，主裂紋將在第四象限內逐漸向遠離軸的方向發生擴展，該結論同圖7a中所得到的結論一致，其原因已在前文說明，此處不再贅述。

圖7 偏折主裂紋擴展角度的變化曲線

圖8 微裂紋個數對主裂紋的影響

4.5 實驗觀察

本節中，用已有文獻的實驗觀察結果說明本研究的重要性，如圖9所示為掃描電鏡實驗觀察結果。實驗材料為U71mn鋼，試樣為矩形板（120 mm×15 mm× 1 mm），裂紋位于試樣中間，試樣承受對稱三點彎曲的疲勞載荷。

從掃描電鏡觀察結果可以看到：主裂紋將發生分支和偏折現象，如圖9a所示用紅色圓圈標識，而在主裂紋擴展路徑附近存在微裂紋，如圖9b所示用紅色箭頭標識。在宏觀斷裂力學分析中，材料中很難避免孔洞、微裂紋、夾雜物等，同時，隨著宏觀主裂紋的擴展，也會不斷萌生微裂紋，這些缺陷將對主裂紋的擴展產生較大影響?；诖藢嶒?，本文選取材料中非常常見的裂紋偏折和微裂紋作為理論研究對象，以分析微裂紋對宏觀偏折主裂紋的影響情況，從而為實際的工程應用提供理論依據。

圖9 實驗觀察結果[2,24]

5 結論

本文通過分布位錯方法得到了無限大彈性平面內含多條微裂紋與一條偏折主裂紋的理論解，分析了微裂紋對偏折主裂紋的影響情況，得到以下結論：

1）裂紋面對拉應力有屏蔽作用，導致拉應力在裂紋面附近區域應力松弛，裂紋尖端對拉應力有放大作用，即在裂紋尖端發生應力集中，隨著應力增加將導致裂紋擴展。

2）一條微裂紋位于主裂紋尖端–30°<<50°時，將使主裂紋尖端應力強度因子增加，促進主裂紋的擴展，而微裂紋位于50°<<90°或–90°<<–30°時，將使主裂紋尖端應力強度因子減小，抑制主裂紋的擴展。

3）主裂紋尖端應力強度因子隨微裂紋長度的增加而變大，隨微裂紋與主裂紋間距離/的增加而減小。

4）當無微裂紋影響時，主裂紋隨外加載荷的增加，將在第四象限內以–12.94°的方向發生擴展；當有一條微裂紋處于主裂紋尖端右上方時，將會吸引主裂紋朝著微裂紋所在的方向發生擴展；當有2條對稱于軸分布的微裂紋時，主裂紋隨微裂紋長度的增加，其擴展方向與一條時恰好相反，且擴展角度增速更大。

5）主裂紋尖端I隨微裂紋個數的增加而不斷變大，但微裂紋個數對II的影響相對較小。

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Effect of Multiple Micro-cracks on Kinked Macro-cracks Based on the Distributed Dislocation Method

1,2,3,1,4*

(1. Sichuan College of Architectural Technology, Sichuan Deyang 618000, China; 2. Test and Measuring Academy of Norinco Group, Shaanxi Huayin 714200, China; 3. United Microelectronics Center, Chongqing 401332, China; 4. School of Mechanics and Aerospace Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)

The work aims to study the problem of the effect of multiple micro-cracks on the kinked macro-crack by a theoretical method. In this paper, the mechanical behavior of the kinked macro-crack tip and the effect of multiple micro-cracks on the kinked macro-crack propagation angle and the closed regions of the kinked macro-crack were analyzed mainly. The obtained results will provide a theoretical basis for practical engineering applications. When solving the problem studied in this paper through theoretical analysis, it was divided into two steps. Firstly, the problem considered in this paper was divided into two sub-problems based on the superposition principle, and then solved one by one. Secondly, the first sub-problem was solved by material mechanics and the second sub-problem was solved by the distributed dislocation technique. Further, a singular integral equation about the dislocation density function was established. The singularity problem of the dislocation density equation was solved based on the Gauss-Chebyshev integration method and the numerical solution of the equation was obtained by means of computer programming. Finally, a series of valuable mechanical parameters about the kinked macro-crack were obtained. In this paper, some results were obtained which will provide a theoretical basis for practical engineering applications. For example, the stress field near the kinked macro-crack and the related mechanical parameters of the macro-crack tip were obtained. Specifically, these mechanical parameters affected the micro-crack length and the number of micro-cracks on the stress intensity factor at the tip of the macro-crack. The closed regions of the macro-crack with different kinked angles, and the effect of the orientation of micro-cracks and the number of micro-cracks on the propagation angle of the kinked macro-crack were analyzed. Several practical conclusions were obtained in this paper. It is concluded that the regions near the kinked macro-crack surface has a shielding effect on the tensile stress, which will lead to stress relaxation of the tensile stress near the crack surface. The regions near the crack tip will amplify the tensile stress. In other words, the stress will be concentrated near the crack tip, and the kinked macro-crack tip will further propagate as the increased of the applied load. When only one micro-crack is located at the macro-crack tip about –30°<<50°, the stress intensity factor at the kinked macro-crack tip will increase, which will promote the propagation of the macro-crack. When the micro-crack is located at 50°<<90° or –90°<<–30°, the stress intensity factor at the tip of the macro-crack will decrease, which will inhibit the propagation of the macro-crack. The stress intensity factor at the tip of the macro-crack will become larger with the increase of the micro-crack length, and decrease with the increase of the distance between the micro-crack and the macro-crack.

kinked macro-crack; micro-crack; distribution dislocation; stress intensity factor; crack propagation

2022-08-03；

2023-02-17

TG174

A

1001-3660(2023)10-0439-09

10.16490/j.cnki.issn.1001-3660.2023.10.040

2022-08-03；

2023-02-17

國家自然科學基金資助項目（11472230）

Supported by the National Natural Science Foundation of China (11472230)

王強勝, 張啟洞, 蔣哲亮, 等.基于分布位錯法研究多條微裂紋對偏折主裂紋的影響[J]. 表面技術, 2023, 52(10): 439-447.

WANG Qiang-sheng, ZHANG Qi-dong, JIANG Zhe-liang, et al. Effect of Multiple Micro-cracks on Kinked Macro-cracks Based on the Distributed Dislocation Method[J]. Surface Technology, 2023, 52(10): 439-447.

通信作者（Corresponding author）

責任編輯：馬夢遙