基于智能手機傳感器和phyphox 軟件精確測量剛體轉動慣量

賀梓凇，焦夢鴿，江宜航，周建成，雷衍連，賈偉堯，張巧明

（西南大學 物理科學與技術學院，重慶 400715）

剛體的轉動慣量是剛體繞定軸轉動時其慣性的量度[1]。剛體轉動慣量用于建立角動量、角速度、力矩和角加速度等多個物理量之間的關系，其大小取決于剛體的形狀、質量分布及轉軸的位置?！皠傮w轉動慣量的測量”是全國大多數高校在大學物理實驗課程中必做的項目[2]。剛體轉動慣量的測量儀器有三線擺、扭擺和剛體轉動慣量儀等。其中，剛體轉動慣量儀最常用，它測定剛體轉動慣量的基本原理是利用光電門和智能計時計數器等裝置測量轉臺轉過一定角度所用的時間來計算剛體轉動的角加速度β，再利用轉動定理計算出轉動慣量I。然而，傳統測量方法不僅需要專業的設備（包括光電門和智能計時計數器），而且測量的數據有限（都是一些離散點），從而導致較大的實驗誤差。

智能手機具有小巧、易攜帶、功能強大等特點，已經廣泛應用到人們的日常生活中。為了滿足各種功能，智能手機集成了多種高精度、高靈敏度的傳感器，如加速度傳感器、光線傳感器和微機電陀螺儀（即角速度傳感器）等。筆者以安裝了phyphox 軟件的智能手機為測量工具，調用智能手機中的微機電陀螺儀對轉動過程中的角加速度進行精確測量。實驗結果顯示：利用智能手機測量圓環的轉動慣量與理論值的相對誤差為1.91%（傳統方法測量的相對誤差為5.72%）；而平行軸定理驗證時的相對差值為0.94%（傳統方法測量的相對差值為10.4%）。與傳統測量結果相比，將智能手機應用于剛體轉動慣量的測量，不僅能夠提升測量精度，也能增強學生的學習興趣，提高教學效果。

1 phyphox 軟件的介紹

phyphox 是由德國亞琛工業大學設計開發的一款App，它能夠調用智能手機中所含有的各類傳感器以精確測量力、光、電、聲等多種物理量，并能生成圖表、導出數據[3]。其中，微機電陀螺儀利用科里奧利力在其內部產生微小的電容變化，測量此電容的變化并計算出角速度。本實驗就是利用phyphox 的“陀螺儀”功能來測量角速度ω的[4]。

2 恒力矩轉動法測轉動慣量的原理

根據剛體轉動定理[5]：

只要測得剛體所受的合外力矩M及該力矩作用下剛體的角加速度β，即可算出其轉動慣量I。

假設以某初始角速度轉動的空轉臺的轉動慣量為I1，未加砝碼時，在摩擦阻力矩Mμ的作用下空轉臺將以角加速度β1作勻減速轉動，即：

將質量為m的砝碼用細線繞在半徑為R的塔輪上，并讓砝碼下落，系統在恒外力作用下作勻加速轉動。若砝碼的加速度為a，則細線所受張力為T=m（g-a）。若此時轉臺的角加速度為β2，有a＝Rβ2。細線施加給轉臺的力矩為TR＝m（g-Rβ2）R，有：

將式（2）和式（3）聯立消去Mμ后，可得：

同理，若在實驗臺上加上被測試件后系統的轉動慣量為I2，做勻減速轉動和勻加速轉動時的角加速度分別為β3與β4，則有：

由轉動慣量的疊加原理可知被測試件的轉動慣量：

由式（4）～式（6）可知，測得R及β1、β2、β3、β4，即可計算出被測試件的轉動慣量。因此，精確測量定軸轉動過程中的角加速度是關鍵。

3 實驗案例分析

3.1 圓環繞中心軸轉動慣量的測量

本文以圓環為被測試樣（質量m=440.67 g、內徑Rin=10.50 cm、外徑Rout=12.00 cm），對比智能手機的測量結果和傳統智能計時計數器與光電門相結合的測量結果，來驗證智能手機提升大學物理實驗精度的方案是否可行。

將手機用雙面膠固定于轉臺中心位置，分別在摩擦力矩和合外力矩的作用下使轉臺+手機系統做勻減速和勻加速轉動，測量轉臺+手機系統的轉動慣量I轉臺+手機和轉臺+手機+待測樣品系統的轉動慣量I轉臺+手機+圓環，如圖1 所示。具體有下面5 個步驟。

圖1 圓環繞中心軸的轉動慣量測定

1）利用手機中phyphox 軟件里的陀螺儀功能，對勻減速和勻加速轉動過程中的角速度進行測量。

2）導出phyphox 軟件中存儲的數據，利用數據處理軟件（如MATLAB 或origin 等）擬合角速度和時間的關系，得到勻減速或勻加速轉動的角加速度。

3）由式（4）可獲得轉臺+手機的轉動慣量I轉臺+手機；

4）將待測圓環固定于轉臺上，重復上面的步驟，測量空轉臺+手機+圓環系統繞中心軸轉動的轉動慣量I轉臺+手機+圓環;

5）由疊加原理可以獲得待測圓環的轉動慣量I圓環=I轉臺+手機+圓環-I轉臺+手機。需要指出的是，此時不用考慮放置手機對實驗結果的影響，因為手機引入的額外轉動慣量在式中直接相減后被消去。

3.2 驗證平行軸定理

驗證平行軸定理是本實驗的重要內容之一。平行軸定理是指：就兩個平行軸而言，剛體對于任意軸的轉動慣量I等于通過此物體以質心為軸的轉動慣量Ic加上剛體質量m與兩軸間距離平方d2的乘積[6]。

利用智能手機驗證平行軸定理時，首先需要將手機固定于轉臺的中心位置，并將質量為m（m=331.90 g）、直徑為d（d=2.400 cm）的兩個圓柱體對稱地插入載物臺十字架的插孔A和A′內（兩者距中心圓孔的距離均為d1，這樣轉動體系在轉動時較平穩，以減少誤差），如圖2 所示。其次，測量系統做勻減速和勻加速轉動的角加速度，并計算出對應的轉動慣量I初。然后，將兩圓柱體對稱外移相同距離并插入載物臺十字架的插孔B和B′位置（兩者距中心圓孔的距離均為d2），分別測量勻減速和勻加速轉動的角加速度，并計算出對應的轉動慣量I末。最后，將I末-I初與2m（-）比較，驗證平行軸定理是否成立。

3.3 實驗結果與分析

由于轉臺的轉速在初始階段還未達到平穩，我們選取中間時段的數據進行擬合和計算。此外，采用3 次等精度重復測量的方法以減小誤差。受版面限制，這里只詳細介紹轉臺+手機系統的轉動慣量I轉臺+手機的測量數據及計算過程，其他測量和計算的方法相同。

3.3.1 轉臺+手機勻減速轉動時的角加速度

轉臺+手機系統在摩擦力矩作用下將做勻減速轉動。角速度隨時間變化的原始數據如圖3 中的黑色空心方框曲線所示。這一曲線的斜率即為勻減速轉動的角加速度β1。利用origin 對其擬合求得β1的值如圖3 中的紅色實線所示。此擬合曲線的斜率為-0.316 6，表示轉臺+手機系統的勻減速轉動的角加速度為-0.316 6 rad/s2。

圖3 轉臺+手機系統做勻減速轉動的原始數據及擬合曲線

3.3.2 轉臺+手機勻加速轉動時的角加速度

將54.40 g 的砝碼繞到轉臺下的半徑r=3.50 cm的塔輪上，在砝碼的拉力矩和轉軸的摩擦力矩的共同作用下，轉臺將做勻加速轉動，轉臺+手機做勻加速轉動的角速度隨時間的變化用藍色空心圓的曲線表示，如圖4 所示。利用origin 對其擬合可得勻加速轉動的角加速度為2.229 8 rad/s2。

圖4 轉臺+手機系統做勻加速轉動的原始數據及擬合曲線

3.3.3 轉臺+手機的轉動慣量I轉臺+手機的計算

用同樣的方法，分別測量3 次勻減速轉動的角加速度和勻加速轉動的角加速度，如表1 所示，得到系統做勻減速轉動的平均角加速度和勻加速轉動的平均角加速度。將上述平均值、砝碼質量（m=54.40 g）和塔輪半徑（r=3.50 cm）代入式（4），得I轉臺+手機=7.098 7× 10-3（kg·m2）。

表1 利用智能手機測量空臺轉動慣量 I1實驗數據記錄表

表2 利用智能手機測量圓環轉動慣量的數據記錄表

3.3.4 待測圓環的轉動慣量I圓環的計算

3.3.5 平行軸定理的驗證

兩圓柱初狀態（距離轉臺中心d1=6.00 cm）時，勻減速轉動和勻加速轉動的角加速度分別為-0.228 6 rad/s2和1.988 2 rad/s2，如表3 所示。

表3 利用智能手機驗證平行軸定理實驗數據記錄表

初狀態時，兩 圓柱的轉動慣量I初=I轉臺+手機+兩圓柱-I轉臺+手機=8.146 5×1 0-3-7.098 7×1 0-3=1.047 8×10-3（kg·m2）。同理，將兩圓柱體對稱向外移動4.50 cm（離轉臺中心距離d2=10.50 cm）時做勻減速轉動和勻加速轉動的角加速度分別為-0.177 0 rad/s2和1.541 5 rad/s2。由此計算出末狀態的轉動慣量I末=I轉臺+手機+兩圓柱-I轉臺+手機=10.842 2×1 0-3-7.098 7×10-3=3.743 5×1 0-3（kg·m2）。因此，初末兩狀態的轉動慣量差I末-I初=3.743 5×10-3-1.047 8×10-3=2.695 7×10-3（kg·m2）。由圓柱的質量（m=331.90 g）和初末兩狀態圓柱距中心的距離（d1=6.00 cm,d2=10.50 cm）有，2m（-）=2.464 4×10-3（kg·m2）。因此，以I末-I初的值為參考，I末-I初與2m（-）的相對差值為0.94%，平行軸定理得證。

3.3.6 傳統方法測量I圓環和平行軸定理的驗證

利用光電門+智能計時計數器測量轉臺轉過kπ（k=1,2,3···）角度所對應的時間，然后利用勻加（減）速轉動的角度公式（）計算得到轉臺做勻減速轉動和勻加速轉動的角加速度分別為-0.150 0 rad/s2和2.191 4 rad/s2，如表4 所示。因此，轉臺的轉動慣量I轉臺=7.907 0×10-3（kg·m2）。同理可得轉臺+圓環的轉動慣量I轉臺+圓環=13.826 0×10-3（kg·m2）。需要指出的是，傳統方法的測量時間范圍與智能手機的測量時間范圍大致相當。由轉動慣量的疊加原理，得I圓環=I轉臺+圓環-I轉臺=5.919 ×10-3（kg·m2）。因此，利用傳統方法測得的圓環繞中心軸的轉動慣量的相對誤差5.72%。

表4 采用傳統光電門和智能計數計時器的測量結果

此外，利用傳統方法來驗證平行軸定理的實驗結果顯示，I末-I初與2m（-）的相對差值為10.4%。（受版面限制，數據未展示。）

3.3.7 結果分析

利用智能手機測得的圓環繞中心軸轉動的轉動慣量的相對誤差為1.91%，而利用傳統光電門+智能計時計數器的方法測得相對誤差為5.72%。此外，利用智能手機為工具驗證平行軸定理的相對差值為0.94%，而傳統方法驗證的平行軸定理的相對差值為10.4%。這些結果表明利用智能手機的測量精度明顯優于傳統方法的測量精度。

利用上述兩種方法分別測量了圓盤和圓柱的轉動慣量，實驗結果都證明了利用智能手機作為測量工具的測量精度更高。這主要是因為傳統方法測量的數據點有限，而phyphox 軟件能每隔4 ms測量一次數據，記錄的數據足夠多，從而提高了測量精度[7-9]。

4 結束語

利用智能手機中各種高精度、高靈敏傳感器對物理實驗進行改進和改良是近年來的研究熱點。在這一方面，中學物理實驗教育進行了很多的嘗試，并廣泛應用于中學物理實驗的教學和拓展實驗中[10-11]，但也受到了一些專家的質疑和反對，他們認為手機的引入往往會導致實驗精度不高或者不可控、實驗過程不確定性高等問題。他們還認為，智能手機在中學演示實驗中尚可將就，但在精度要求更高的大學物理實驗中并不合適。而在我們的工作中，首次通過嚴謹的實驗設計和測量過程，系統地驗證手機傳感器確實可以有效提高測量精度（與傳統方法相比測量精度提高了3 倍以上）。這一結果表明智能手機應用于更加嚴謹的大學物理實驗中也是可行的。我們將會在未來的工作中，對智能手機的光、電等傳感器在大學物理相關實驗中的精度進行進一步驗證，從而為大學物理實驗的改進提供借鑒和參考。