k次冪等矩陣下Yang-Baxter矩陣方程所有解*

廖 潔,李沅津,盧甫龍,周端美,?

(1.贛南師范大學 數學與計算機科學學院;2.贛州市南康區第十中學,江西 贛州 341000)

0 引言

設A是一個n×n的復數矩陣,滿足Ak=A. 本文主要考慮非線性二次矩陣方程

AXA=XAX

(1)

的所有解,其中X是一個未知矩陣. 方程(1)也被稱為Yang-Baxter矩陣方程, 因為它在形式上和經典的Yang-Baxter矩陣方程[1-2]相似. Yang-Baxter方程先后由諾貝爾獎得主楊振寧教授在理論物理學[1]中和R. J. Baxter在統計力學[2]中提出. 后來該方程成為數學物理學中的一個基本方程, 更確切的說是量子群理論的入門的基本方程[3],同時在扭結理論、量子場論、C*-代數、環鏈不變量、量子群、保形場論和非交換幾何中起著至關重要的作用[3-5].

對于方程(1)所有解的研究有文獻[6-15],這些研究都是先假定系數矩陣A具有特殊結構.當系數矩陣A是二次冪等矩陣(A2=A)[6-7],三次冪等矩陣(A3=A)[8],四次冪等矩陣(A4=A)[9],對和矩陣(A2=I)[10-12],給出了方程(1)所有解的顯式表達式.但是有一些表達式還不是顯式表達式,還需進一步挖掘.由于受到丁玖教授對對和矩陣[10-11]和冪等矩陣[6-7]的研究,陳冬梅教授[13]給出了系數矩陣為特征值為{1,α,0}的可對角化矩陣時,方程(1)所有解的表達式;沈冬梅教授和魏木生教授[14]則給出了系數矩陣為兩個不同特征值時方程(1)解的顯式表達式,但實際上還未完全解決.陳冬梅教授還得出系數矩陣為可對角化矩陣的方程(1)的所有解一定可對角化,且非零特征值只能是系數矩陣A的特征值,其代數重數也不超過A的對應特征值[15].本文的主要目的是應用文獻[15]的結論,尋找系數矩陣A是滿足Ak=A時,Yang-Baxter矩陣方程(1)的所有解.

1 k次冪等矩陣的解

為了闡述主要結果,首先給出下面引理.

引理1[15]設J=diag(λ1In1,λ2In2,…,λtInt),其中λ1λ2…λt≠0,λ1,λ2,…,λt的代數重數分別為n1,n2,…,nt.矩陣方程ZJZ=JZJ有如下性質.

(2)

由于Z4未在(2)中出現,因此Z4可以取任意矩陣.

證畢.

若k=2,即A2=A,那么存在可逆矩陣T使得A=Tdiag(Im,0)T-1,可得到如下推論.

若k=3,即A3=A,那么存在可逆矩陣T使得A=Tdiag(It,-Is,0)T-1,可得到如下推論.

例1設A=diag(1,1,-1,0),則A2≠A,但A3=A.根據推論2可知,存在一個非奇異矩陣P,使得P-1Z1P=Λ,不考慮對角線元素編排順序的條件下,Λ可能情況如下:

2 結論

當系數矩陣A滿足Ak=A時,本文給出了矩陣方程AXA=XAX所有解的結構.定理1中的非奇異矩陣P還未完全確定,如何確定這個矩陣,這將是以后的一個研究課題.