Heisenberg群上帶漂移項的次橢圓方程組的Caccioppoli型不等式*

陳蓓蓓,席 婷,牛蒙慧

(贛南師范大學 數學與計算機科學學院,江西 贛州 341000)

0 引言和主要結果

帶漂移項算子具有重要的實際應用,這類算子通常出現在物理學、自然科學和統計模型等傳輸擴散方程中(見文獻[1-3]).本文研究Heisenberg群上帶漂移項的齊次次橢圓方程組,形如

(1)

其中Ω?Hn=2n+1為有界區域,N×2n×N→2n×N.

在弱解的正則性研究中,人們往往利用Caccioppoli不等式來推出所需要的迭代公式.因此,Caccioppoli不等式在方程組弱解的部分正則性的證明中具有舉足輕重的地位(見文獻[4-10]).所謂Caccioppoli不等式,即局部的“能量模估計”,又稱逆Poincare不等式.在次二次增長情形下,將出現負增長指標的情況,這給Caccioppoli型不等式的建立帶來新的困難,為此,本文將引入輔助函數V,建立帶V函數的Caccioppoli型不等式.本文結果對進一步研究弱解的正則性提供理論工具.

其中K(·)∶[0,∞)→[0,∞)是單調遞增的.不失一般性,取K(·)≥1.

由(H1)知:存在一個連續的非負有界函數ω(s,t)∶[0,∞)×[0,∞)→[0,∞)使得

其中ω(s,0)=0,并且對于固定的t,ω(s,t)對s是單調遞增的;對于固定的s,ω(s,t)對t是凹的且單調遞增.

本文的主要結果如下:

定理1在結構條件(H1)-(H3)的假設下,設u∈HW1,2(Ω,N)是方程組(1)的弱解,即

其中K(·)=K(|u0|+|Xl|),ξ1=(x1,…,xn,y1,…,yn)是ξ=(x1,…,xn,y1,…,yn,t)∈Hn的水平分量,γ∈(0,1),σ=max{2m/(m-2γ),m/(m-1-γ)}>2.

1 Heisenberg群基礎知識

Heisenberg群Hn=2n+1定義群乘法為:

其中

定義1設1≤m<∞,Ω?Hn是一個開集,稱集合

HW1,m(Ω)={u∈Lm(Ω)|Xiu∈Lm(Ω),i=1,2,…,2n}.

定義2設Ω?Hn,1≤m<∞,μ≥0,記

在本文中,定義函數V=Vm∶n→n,V(ζ)=ζ/(1+|ζ|2)(2-m)/4.對于每個ζ∈n,n∈和m>1.函數V是n上的局部雙利普希茨雙射.

下面的引理包含了函數V的一些有用的性質.

引理2設m∈(1,2)和V∶n→n是上述定義的函數,那么對于任意的ζ1,ζ2∈n和t>0:

為后面計算方便,這里給出以下兩個簡單的估計,它們可從引理2中推導出來.設ζ1,ζ2∈n和|ζ2|≤M:

|ζ1-ζ2|2≤C(m,M)|V(ζ1)-V(ζ2)|2, |ζ1-ζ2|≤1,

|ζ1-ζ2|m≤C(m,M)|V(ζ1)-V(ζ2)|2, |ζ1-ζ2|>1.

2 Caccioppoli型不等式

本文重點建立方程組(1)滿足的Caccioppoli型不等式,它是建立次橢圓方程組弱解正則性的基礎.下面給出定理1的證明.

(2)

利用假設條件(H2),引理1和初等不等式

1+|a|2+|b-a|2≤3(1+|a|2+|b|2),

(3)

有

λ∮Bρ(ξ0)(1+|Xl|2+|Xφ-Xl|2)(m-2)/2|Xφ|2dξ≥

3(m-2)/2λ∮Bρ(ξ0)(1+|Xl|2+|Xφ|2)(m-2)/2|Xφ|2dξ.

即

(4)

在Bρ/2(ξ0)上取φ=v并應用估計式(3),則(4)的左側可估計為

下面分別估計(4)中右端四項.

注意到Tl=XiXn+il-Xn+iXil=0,則有

利用結構條件(H3)可以得到

為了獲得對I2的合適估計,將球Bρ(ξ0)分成四部分:

Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|>1}∩{|Xφ|≤1},Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|>1}∩{|Xφ|>1},

Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|≤1}∩{|Xφ|>1},Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|≤1}∩{|Xφ|≤1}.

下面將反復使用Young不等式.

第一種情況:在Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|>1}∩{|Xφ|≤1}上可以得到

其中用到了ργ<1和2m/(m-2γ)>2.

第二種情況:在Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|>1}∩{|Xφ|>1}上可以得到

其中用到了ργ<1和m/(m-γ-1)>2.

第三種情況:在Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|≤1}∩{|Xφ|>1}上可以得到

第四種情況:在Bρ(ξ0)∩{|v/ρ|≤1}∩{|Xφ|≤1}上可以得到

因此,I2可估計為

這里σ=max{2m/(m-2γ),m/(m-1-γ)}>2.

利用結構條件(H3)可以得到

∮Bρ(ξ0)K(·)(1+|Xl|)m/2+γ|ρ|γ|Xφ|dξ.

為此,這里將球Bρ(ξ0)分成兩種情況討論.

第一種情況:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|>1}上可以得到

第二種情況:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|≤1}上可以得到

因此,I3可估計為

利用(H1),引理1和(3),可以得到

注意到-1/2<(m-2)/2<0.類似I2的做法,將球Bρ(ξ0)分成四部分分別估計.

第一種情況:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|>1}∩{|Xφ|>1}上可以得到

第二種情況:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|>1}∩{|Xφ|≤1}上可以得到

第三種情況:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|≤1}∩{|Xφ|>1}上可以得到

第四種情況:在Bρ(ξ0)∩{|Xφ|≤1}∩{|Xφ|≤1}上可以得到