一類擴散捕食食餌模型的非常數正穩態解*

高建平,張江洪,練文燕

(贛南師范大學 數學與計算機科學學院,江西 贛州 341000)

0 引言

種群生態學中,兩種群間的相互作用關系存在多種形式,其中,捕食關系是一種常見而又基本的種群關系.繼Lotka和Volterra的兩個開創性工作[1-2]之后,越來越多的生物數學家通過建立微分方程模型來研究捕食關系[3-5].基于假設捕食者以logistic形式增長并且其環境容納量與食餌的種群數量成正比,給出如下捕食模型的一般形式:

(1)

其中,u和v分別代表食餌,捕食者的種群密度;r表示捕食者的增長率;1/l表示捕食者捕食食餌的轉化率;p(u,v)是功能型反應函數,它刻畫了捕食者捕食食餌的能力.方程(1)中的捕食者方程是第一次由Leslie和Gower在1960年提出的[6].因此,捕食系統(1)也被稱為Leslie-Gower型捕食食餌模型.針對不同形式下的功能型反應函數p(u,v),有不少研究者給出了模型(1)的動力學行為研究[7-10].

在模型(1)中考慮捕食者和食餌在空間區域內隨機游走,便可得到如下反應擴散的捕食食餌系統

(2)

其中,d1和d2分別代表食餌和捕食者的自擴散系數;Ω是有界光滑區域;n表示邊界?Ω的單位外法向量.在這里,采用了齊次Neumann邊界條件,即在區域邊界?Ω上沒有種群的進出.Shi[11-12]等給出了帶有Ratio-Depenent功能反應和Crowley-Martin功能反應函數的擴散捕食模型(2)的時空斑圖動力學研究.Sun[13]等在(2)中考慮Beddington-DeAngelis功能反應函數,給出(2)穩定性及Turing不穩定性研究.對(2)還存在更多的研究工作[14-16].

基于此,令l=1,本文在(2)加入組分Allee效應并且考慮Beddington-DeAngelis功能反應函數,得到

(3)

這里本文假設0

1 常數平衡點的穩定性

a0u3+a1u2+a2u+a3=0,

(4)

其中,a3=m-a,a2=a+mb+mc+aμ-ab-ac-1,a1=b(a-1)+c(a-1)+μ+1,a0=b+c.注意到a0>0和a3<0,于是,當下述條件成立時,方程(4)具有唯一的正根:

(5)

因此,當條件(5)滿足時,模型(3)具有唯一的內部正常數平衡點E1=(u*,u*).

(6)

定理1E0總是不穩定的;

證明這里只給出的證明.注意到由條件ru*0.同時,對i≥1,tr(Mi)=-αi(d1+d2)+ru*-r,det(Mi)=αi[d1d2αi-d2ru*+d1r]+r(-σ-ru*),顯然,在假設條件下,對i≥1,都成立det(Mi)>0>tr(Mi).于是,Mi=-αiD+JE1的特征值都具有負實部,即Mi的特征多項式φi(λ)=0的兩個根λi1和λi2都具有負實部,其中,φi(λ)=λ2-tr(Mi)λ+det(Mi).

2 非常數正穩態解的存在性與不存在性

與模型(3)對應的穩態解方程為

(7)

要研究模型(3)的非常數穩態解等價于研究橢圓系統(7)的非常數正解.

2.1 先驗估計

給出(7)的任意正解的上下界估計.首先,運用極值原理[26],得到下面這個上界估計結果.

于是

(8)

(9)

2.2 非常數穩態解的不存在性

下面給出大擴散系數下系統(7)非常數正解的不存在性結果.

定理2存在一個正常數d*=d*(m,a,b,c,r),使得當min{d1,d2}>d*時,(7)不存在非常數穩態解.

(10)

(11)

2.3 非常數穩態解的存在性

在條件(5)成立的情形下,本小節將利用Leray-Schauder度理論討論擴散系數變動時模型(3)的非常數正穩態解的存在性,即研究系統(7)的非常數正解的存在性.記

將(7)寫成

(12)

(d1r-d2ru*)2>-4d1d2r(ru*+σ),

(13)

成立時,g(d1,d2;α)=0具有兩個不同的實根α-(d1,d2),α+(d1,d2)且滿足α-(d1,d2)<α+(d1,d2),其中

記Π=Π(d1,d2)={α∶α≥0,α∈(α-(d1,d2),α+(d1,d2))},Γ={α0,α1,α2,…}.令m(αi)是特征值αi的重數,根據文獻[28],可以得到以下引理:

α+(d1,d2)∈(αj,αj+1),α-

(14)

α-(d1,d2)<α+(d1,d2)<α1.

(15)

(16)

一方面,對W∈?Λ,有H(W;t)≠0對所有t∈[0,1]都成立.于是根據Leray-Schauder度的同倫不變性[28]可知,

deg(H(W;0),Λ,0)=deg(H(W;1),Λ,0).

(17)

證明這里證明與定理3類似,這里略去.