考慮輸入和接種的時滯新型冠狀病毒傳播模型的最優控制策略

李雅芝,張香紅,劉利利

(1.黔南民族師范學院 數學與統計學院,貴州 都勻 558000;2.西南大學 數學與統計學院,重慶 400715;3.山西大學 復雜系統研究所,太原 030006)

新型冠狀病毒感染肺炎疫情在我國已流行3年有余,在“乙類甲管”的強有力控制下,我國經受住了全球疫情的多輪沖擊。根據國務院應對新型冠狀病毒感染疫情聯防聯控機制綜合組制定的《關于對新型冠狀病毒感染實施“乙類乙管”的總體方案》,2023年1月8日起,我國對新型冠狀病毒感染疫情開始實施“乙類乙管”。對新型冠狀病毒感染者不再實行隔離措施,不再判定密切接觸者;不再劃定高低風險區,檢測策略調整為“愿檢盡檢”[1]。

使用數學模型研究傳染病的傳播特征及防控措施對實際工作有一定的指導作用,國內外對傳染病流行規律和發展趨勢的數學建模與定量研究已有多年歷史。1927年Kermack等構造了著名的“易感者-感染者-恢復者(susceptible-infective-recovered,SIR)”模型,并在1932年提出了“易感者-感染者-易感者(susceptible-infective-susceptible,SIS)”模型,提出了疾病是否流行的“閾值理論”,為傳染病模型研究奠定了基礎[2]。近20年來,我國傳染病動力學的研究進展極為迅速,大量的數學模型被用于分析各類傳染病問題。在新型冠狀病毒感染疫情暴發初期,陜西師范大學唐三一教授團隊和西安交通大學肖燕妮教授團隊做了非常多有意義的工作[3-6]。近期,張晶等[7]提出了一個改進的蟲口模型描述新型冠狀病毒的傳播動力學過程,利用少量疫情相關數據對局部地區暴發的某一特定疫情進行了預測。于振華等[8]考慮了政府管控和個人防護等措施,在經典的SIR模型基礎上引入了低風險群體,提出了一種新型冠狀病毒傳播動力學“易感者-低風險人群-感染者-恢復者(susceptible-low-risk-infective-recovered,SLIR)”模型,并驗證了模型的有效性。任建強等[9]提出了一個基于機器學習的新型冠狀病毒傳播3步預測模型,將神經網絡和隨機森林等機器學習算法引入到新型冠狀病毒的傳播預測中。李淑萍等[10]建立了帶有環境病毒的新型冠狀病毒傳播模型,分析了模型的動力行為,并將帶有環境病毒、不帶環境病毒的模型與我國早期新型冠狀病毒感染數據進行了擬合。

現有文獻主要集中于“乙類甲管”期間的研究,論文將研究建立符合防控政策的新型冠狀病毒傳播模型。全國整體疫情處于局部零星散發狀態,但新型冠狀病毒并未消失,病毒在人群中的傳播仍持續存在,而且人口的流動也大幅增加,而最有效的防控措施仍是接種疫苗和個人防護。因此,將建立具有外部輸入、疫苗接種、自我防護的新型冠狀病毒傳播模型,探討其最優控制策略[11]。

1 模型建立

首先,將人群分為5個艙室,分別為:易感者S(t)、疫苗接種者V(t)、無癥狀感染者A(t)、有癥狀感染者I(t)和恢復者R(t)。記N(t)=S(t)+V(t)+A(t)+I(t)+R(t)。

其次,做如下模型假設:

1) 考慮無癥狀感染者和有癥狀感染者的外部輸入;2) 考慮免疫消退和疫苗失效;3) 只考慮有癥狀感染者的因病死亡;4) 當前醫療資源已非常充足,感染后需要住院都可以得到滿足,故不考慮住院艙室;5) 恢復者在短期內不會再被傳染。

基于假設1)～5),為了研究自我防護和疫苗接種的力度隨著時間的變化情況,分別加入控制u1(t)和u2(t)。由于易感者和接種者從感染新型冠狀病毒到具有傳播力是有一定滯后的,故可建立時滯微分方程模型(1),該模型的建立可為常態化防控傳染病提供建模思路。

(1)

模型(1)中各參數的含義如表1所示。由表1可知所用的14個參數的含義。

表1 模型(1)參數含義Tab.1 Description of the parameters of model (1)

模型(1)的初始條件為

S(θ)=φ1(θ),V(t)=φ2(θ),A(t)=φ3(θ),I(t)=φ4(θ),R(t)=φ5(θ),

(2)

其中,φi(θ)∈C且φi(θ)≥0(i=1,2,3,4,5),θ∈[-τ,0]。

定理1在初始條件(2)下,模型(1)的解是非負且最終有界的。

定義函數G2(t)=A(t)+I(t)+R(t),由于βA和βI均小于1,則

dII(t)-μ(A(t)+I(t)+R(t))<

D1+D2+(1-u1)(S(t-τ)+σV(t-τ))-μ(A(t)+I(t)+R(t))≤

2 最優控制問題

主要探討模型(1)的最優控制問題,實際控制總是希望在實施控制的時間段內以最少的成本使得感染者數量達到最少,故定義目標泛函為

(3)

2.1 最優控制的存在性

2.2 最優控制的特征

具體地,λi(t)(i=1,2,3,4,5)滿足下面方程組:

(4)

橫斷條件為

λi(T)=0,i=1,2,3,4,5。

(5)

關于最優控制的特征,有如下結論:

再結合控制約束集Λ的上下界,即可得到最優控制的特征表達。

3 數值模擬

主要通過數值模擬討論以下3方面的內容:外部輸入對模型動力學行為的影響,最優控制隨時間的變化,以及控制對無癥狀和有癥狀感染者感染規模的影響。數值模擬的參數選取為b=300,μ=2.06×10-5,v=0.3,vd=0.1,σ=0.3,βA=0.4,βI=0.5,rA=0.3,rI=0.3,rA=0.3,rI=0.3,δ=0.1,dI=0.01,p=0.5。時滯選取為τ=7。初值選取為:S(θ)=1000,S(θ)=1000,V(θ)=50,A(θ)=5,I(θ)=5,R(θ)=0,θ∈[-τ,0]。

3.1 輸入率的影響

當控制不存在時,通過數值模擬探討外部輸入對易感者、接種者、無癥狀和有癥狀感染者規模的影響,結果如圖1所示。

(a) 易感者數量時間序列 (b) 疫苗接種者數量時間序列

由圖1可知,當無癥狀感染者A(t)和有癥狀感染者I(t)存在外部輸入時,1個月內各類人群規模的變化。由圖1(a)和圖1(b)可知,由于A(t)和I(t)數量的增加,導致更多的易感染者S(t)被感染,因此易感者數量有所下降,相應使得接種者數量下降。對比圖1(c)和圖1(d)可以看出:在第30d時,若無外部輸入,A(t)的量約為40,I(t)的量約為80;但當存在外部輸入時,A(t)的量約為100,I(t)的量約為220,是無外部輸入情形下數量的兩倍多。因此,外部輸入會擴大傳染病在當地的蔓延,需要引起足夠重視。

3.2 最優控制變量的時間序列

當控制存在時,輸入率選取為D1=1.5,D2=1,且在實際中,控制很難做到100%,故控制最大值選取為0.8。

4組不同控制成本下最優控制隨時間變化的結果如圖2所示。由圖2(a)可知,自我防護控制成本遠大于疫苗接種控制成本,自我防護在高成本情形下在最大值持續時間短,為了達到更好的防控效果,疫苗接種由于其成本低可以維持在較高水平。由圖2(b)可知,自我防護控制成本遠小于疫苗接種控制成本,自我防護在低成本情形下可以在最大值持續較長時間,而為了節約成本,疫苗接種始終處于低水平。由圖2(c)可知,自我防護和疫苗接種控制成本一樣且取值較小,此時,自我防護在最大值持續時間較長,而疫苗接種力度保持中等水平。由圖2(d)可知,自我防護和疫苗接種控制成本一樣且取值較大,此時,自我防護在最大值持續時間很短便開始下降,而疫苗接種始終維持在較低水平。

(a) B1=12,B2=1時控制變量時間序列 (b) B1=1,B2=12時控制變量時間序列

對比圖2(a)和圖2(b)可知,自我防護控制成本無論是低還是高,其控制力度都較大,說明自我防護對于預防新型冠狀病毒傳染起著無可替代的作用,即使成本高,也應積極采取自我防護措施;而疫苗接種成本一旦升高,只要自我防護做得好,本著節約成本的原則,可以采取低水平疫苗接種控制。對比圖2(c)和圖2(d)可知,當2種控制措施成本同時升高時,自我防護不能長時間維持在高水平,疫苗接種控制也只能維持在低水平。對比圖2(a)和圖2(c)可知,當疫苗接種成本較低且保持不變時,若自我防護成本降低,可以通過加大自我防護控制,適當降低疫苗接種力度;反之,若自我防護成本升高,其控制力度會減弱,但可以通過增大疫苗接種力度達到最佳控制效果的目的。對比圖2(b)和圖2(d)可知,當疫苗接種成本較高且保持不變時,雖然可以通過加大疫苗接種力度彌補自我防護力度的減弱,但疫苗接種力度始終維持在較低水平。

3.3 不同控制力度的影響

為了探討不同控制策略對無癥狀感染者A(t)和有癥狀感染者I(t)感染規模的影響,分別給出3組常數控制及其最優控制下A(t)和I(t)的數量變化,輸入率選取為D1=1.5,D2=1,目標函數中權重選取為B1=12,B2=1,結果如圖3所示。

由圖3可知不同控制組合下無癥狀感染者和有癥狀感染者的數量變化。對比圖3(a)和圖3(b)可知,對于常數控制,隨著控制變量的增大,A(t)和I(t)的數量均在下降,并且在最優控制情況下,A(t)和I(t)的數量達到最少。對比圖3(c)和圖3(d)可知,自我防護的單一控制效果優于疫苗接種的單一控制效果。

4 建議和結論

基于以上發現,為了做好疫情常態化防控,相關部門應特別注意在旅游旺季或某些大型活動等人流量較大的情形下,做好外部輸入引發疫情的風險評判以及應急管理等。當前人們對采取防護措施已經有所松懈,社區或媒體仍應做好自我防護的宣傳和教育,以提高大家的自我防護意識。此外,疫苗接種仍是疫情防控的有效措施,但在無條件接種疫苗的情況下,做好自我防護是最有效的防控措施。最后,在實際工作中,應追求最優綜合控制措施,以達到最佳控制效果。

研究了基于外部輸入的實際情況,考慮了自我防護和疫苗接種,建立了1個五維時滯微分方程模型刻畫新型冠狀病毒在人群中的傳播,以花費最少的成本達到感染者最少為目標,探討了最優控制策略?；跇O值原理得到了最優控制的特征表達,并通過數值模擬討論了外部輸入對疫情的影響,不同控制成本組合對最優控制變量的影響,以及不同控制組合的控制效果。發現:1) 外部輸入使得感染者數量出現大幅增加,進而導致更多的易感者被感染;2) 無論控制成本如何,自我防護的控制力度始終維持在較高水平,但疫苗接種力度會因為控制成本的升高而大幅下降;3) 對于常數控制的不同組合,控制力度越大,感染者數量越少,且最優控制效果最佳;自我防護單一控制力度優于疫苗接種單一控制力度。

研究結果對實踐具有一定的參考價值,可對未來應對處于常態化防控且具有類似特征的傳染病提供防控經驗,然而還有一些方面需要改進。首先,當新發傳染病暴發時,決策者很難及時識別其傳染性和危害性,因此,實施有效防控措施具有一定的滯后。其次,死亡病例主要集中在患有某些潛在疾病的老年人身上,因此,感染具有一定的年齡結構。另外,疾病往往在某個區域暴發,然后向四周蔓延,因此,空間分布也是疾病傳播的一個因素?；谝陨弦蛩?建立更符合實際的數學模型,得到更豐富的研究結果,是未來努力的方向。