變的是形式 不變的是本質

宋柏鋒

數學問題的變化往往是變化題目的條件或結論，轉換問題的內容和形式，而不更換問題的本質特征. 因此，真正理解加權平均數、中位數、眾數、方差等的定義，是準確選擇統計量和計算均衡程度統計量的關鍵本質.

一、選擇統計量的關鍵

關鍵1：與數據位置有關選中位數

例1 在學校舉辦的“數學思維挑戰賽”中，有19名選手進入決賽，前9名將晉級更高一級比賽，他們的決賽成績各不相同，其中一名選手想知道自己是否晉級，除了知道自己的成績外，他還需要了解這19名選手成績的（）.

A. 平均數 B. 中位數 C. 眾數 D. 方差

解析：中位數是通過排序得到的，它不受最大、最小兩個極端數據的影響. 部分數據的變動對中位數沒有影響，當一組數據中的個別數據變動較大時，可用它來描述這組數據的集中趨勢，常應用于“選拔”“錄取”等生活情境. 故選B.

關鍵2：與數據集中度有關選眾數

例2 要在某校選擇256名身高基本相同的女同學組成表演方隊，在這個問題中最值得我們關注的是該校所有女生身高的（填“平均數”或“中位數”或“眾數”）.

解析：眾數是數據中出現次數最多的數，受極端值影響較小. 在這個問題中最值得關注的是隊伍的整齊度，身高必須差不多. 故填眾數.

關鍵3：方差不是越小越好

例3 某田徑隊中甲、乙兩名跳高運動員最近 10 次成績的平均數相同，且在“區運動會跳高紀錄”附近，若甲跳高成績的方差為[s2甲] = 65.84，乙跳高成績的方差為[s2乙] = 285.21，那么單從方差的角度看，為了打破“區運動會跳高紀錄”應選參加區運動會.

解析：方差越小越穩定，但在實際問題中，未必越穩定越好. 尤其是在選拔競技比賽的運動員時，若每名備選運動員的平均水平相當，且都高于對手，則應選擇方差小、發揮穩定的隊員. 若每名備選運動員的平均水平相當，且都低于對手，則要選擇方差大、發揮不穩定的隊員. 因為在對手穩定發揮的前提下，只有超常發揮才有機會戰勝對手贏得比賽. 故填乙.

二、均衡程度統計量計算的關鍵

關鍵1：精準判斷加權平均數中的“權”

例4 （2023·湖南·湘潭）某校組織青年教師教學競賽活動，包含教學設計和現場教學展示兩個方面. 其中教學設計占20%，現場展示占80%. 某參賽教師的教學設計為90分，現場展示為95分，則她的最后得分為（）.

A. 95分 B. 94分 C. 92.5分 D. 91分

解析：加權平均數是將各數值乘相應的權數，然后相加求和，再除以總數.? 加權平均數的權數常常以百分比、比值、頻數的方式出現.? 90 × 20% + 95 × 80% = 94（分）. 故選B.

關鍵2：精準把握中位數中的“位”

例5（2023·湖南·張家界）2023年4月24日是我國第八個“中國航天日”，某校開展了一次航天知識競賽，共選拔8名選手參加總決賽，他們的決賽成績分別是95，92，93，89，94，90，96，88，則這8名選手決賽成績的中位數是___________________.

解析：中位數又稱中值，是按一定順序排列的一組數據中居于中間位置的數. 將數值由高到低或由低到高排序，是求解中位數相關問題的前提. 故填92.5.

關鍵3：靈活掌握方差計算公式

例6 已知一組數據x1，x2，x3的方差是2，那么另一組數據2x1 - 4，2x2 - 4，2x3 - 4的方差是__________________.

解析：如果 x1，x2，…，xn的方差為 s2，則ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2，x1- a，x2 - a，…，xn - a的方差為s2. 故填8.

關鍵4：嚴謹掌握極差的計算

例7 一組數據-3，1，2，x的極差為6，則x的值為__________________.

解析：極差是用來評價一組數據離散程度的統計量，是用一組數據中的最大值減去最小值得到的. 一組數據的極差受極端值的影響較大.

這組數據的極差為 6，而2 - （-3） = 5，由此可知未知數 x 是最值，可能是最大值，也可能是最小值，因此分兩種情況討論得出答案 . 故填3或-4.

分層作業

難度系數：★★解題時間：4分鐘

1. 已知一組數據2，1，x，6的中位數是3，則x的值為__________________.

2. 某超市銷售A，B，C三種礦泉水，它們每瓶的單價依次是2元、3元、3.5元，某天的銷售情況如右圖所示，則這天銷售的礦泉水的平均單價是__________________元. （

（作者單位：大連市第三十七中學）