帶非線性擴散的趨化-趨觸模型解的大時間行為

劉錦濤,賈 哲

(臨沂大學數學與統計學院,山東 臨沂 276005)

本文研究如下帶非線性擴散的趨化-趨觸模型

(1)

解的大時間行為.其中Ω?R3是帶光滑邊界的有界域,u,v,w分別代表癌細胞密度、基質降解酶濃度和細胞外基質濃度.H(u),S(u)分別代表趨化敏感項和趨觸敏感項.在本文中假設H,S滿足如下條件:

H(s)≤χs(s+1)-α,其中s≥0且H(0)=0,

(2)

S(s)≤ξs(s+1)-β,其中s≥0且S(0)=0,

(3)

式中,χ,ξ,α,β>0.另外,假設初值滿足

(4)

2016年,Chaplain等[1]提出腫瘤細胞的運動依賴于隨機擴散、趨觸運動和基質降解酶的擴散梯度,并引入了趨化-趨觸模型.之后該方程被廣泛關注(參見文獻[2-10]).當m=1,H(u)=S(u)=u時,Zheng等[2]研究了解的整體存在性和大時間行為.另外,當0

本文主要研究模型(1)弱解的大時間行為,主要結果如下:

1 預備知識

首先回顧模型(1)弱解的整體存在性和有界性結果:

式中,C是與μ無關的常數.

下面介紹在定理1的證明中起到重要作用的兩個引理:

引理2[2-3]假設00,00使得對任意的x∈Ω和t≥1,都有v(x,t)≥K,進一步得到w(x,t)≤‖w0‖L∞(Ω)e-K(t-1).

引理3[6]假設h(t)∈L1(T,∞),其中T>0,h≥0.如果存在常數C>0使得

h(t)-h(s)≤C(t-s),其中t>s>T或h(t)-h(s)≥-C(t-s),其中t>s>T,

2 定理1的證明

受文獻[2-3,7]啟發,定義下面的能量泛函:

則F(t)滿足下面的引理:

證明經計算得

這意味著

再通過模型(1)的第三個式子,然后結合引理1和引理2我們得到

以及

因此,我們得到

(5)

對該式關于時間t在(1,+∞)上積分,得到

上式用到結論-Δw(x,t)≤‖w0‖L∞(Ω)v(x,t)+D,(x,t)∈Ω×(0,Tmax),其中D是正常數(見文獻[8]).結合引理1得

進而由引理3和4得當t→∞時,

再利用H?lder不等式得對任意的p≥2,有

另外,結合模型(1)的第二個式子和引理 1得

利用引理3和4,同樣得到當t→∞時,

再通過Gagliardo-Nirenberg不等式得當t→∞時,

證畢.

3 結論