會聚球面波的泰伯效應

陳 然,孫中皋,程世紅

(遼寧師范大學 物理與電子技術學院,遼寧 大連 116029)

1836年,泰伯(Talbot)發現用單色平行光垂直照射周期性物體時,在該物體后特定距離處會出現物體清晰的像。這種不用透鏡,僅靠光的衍射即可對周期性物體成像的現象稱為Talbot效應或無透鏡成像效應[1]。隨著現代光學的快速發展,泰伯效應不僅被應用于通信[2]中,還在光刻技術[3]以及顯微成像[4]中得到應用,并且在非線性光學[5]及量子光學[6]等領域也具有一定的研究價值,所以泰伯效應是光學中很有意義的一個研究課題。目前,對于泰伯效應的研究和應用中光源通常為平行光,而對于光源為球面光產生的泰伯效應研究或應用較少。1995年,文獻[7]分析了球面波入射一維光柵的類平面波成像現象。2010年,文獻[8]對球面波光源入射一維光柵的泰伯效應進行分析并給出了該條件下的分數泰伯效應的解析式。2021年,文獻[9]分析了球面波入射到二維振幅型光柵的泰伯效應并進行了實驗驗證。球面波包括發散球面波和會聚球面波,文獻[7]至[9]探討的均是發散球面波作為入射光的泰伯效應,對于會聚球面波作為入射光的泰伯效應的討論尚未見報道。

本文對會聚球面波入射二維振幅型光柵的泰伯效應進行研究,首先從理論上應用傅里葉變換和菲涅爾-基爾霍夫衍射理論推導了該情況下像面光場分布表達式,分析了泰伯像、對比度反轉的泰伯像以及分數泰伯像的成像條件;其次通過實驗對理論分析進行驗證并討論了泰伯像的變化規律,實驗中選擇合適的級次,通過改變頻譜面至光柵的距離,得到對應實際測量的泰伯距離,并與該級次的理論值進行對比。

1 理論分析

圖1 會聚球面光的單光柵衍射系統

1.1 像面光場分布表達式

與文獻[9]對發散光下像面光場分布表達式推導類似,會聚球面光下的光場分布推導采用傅里葉變換和菲涅爾-基爾霍夫衍射理論。

二維光柵透過函數的傅里葉級數形式為

(1)

其中d為二維光柵的光柵常數,m和n為正常數。

由會聚波的性質,在O′之前距離為Z0的物體前表面的光場復振幅分布為[11]

(2)

A是與振幅相關的常數,x0,y0是光柵面任意點的坐標,則光柵出射面光場復振幅分布為

U(x0,y0)=u0(x0,y0)·t(x0,y0) 。

(3)

根據傅里葉變換形式的菲涅爾衍射公式,可得光傳播距離為Z1時的光場復振幅分布為

(4)

式(4)整理可得

(5)

(6)

1.2 成像條件

1.2.1 泰伯像

(7)

1.2.2 對比度反轉泰伯像

(8)

1.2.3 分數泰伯像

(9)

由公式(9)可見,像面光場復振幅分布空間相位均延遲或超前π/2,此時的像成為泰伯子像。

1.3 成像規律

依據成像條件可以看出,泰伯像與對比度反轉泰伯像是交替出現的。并且若Z0固定,當Z1小于Z0時,N取正值,并隨著Z1的增加,周期放大率M逐漸縮小且一直小于1,表現為像逐漸減小。當Z1大于Z0時,N取負值,并隨著Z1的增加,周期放大率M逐漸變大,表現為像逐漸放大,其中Z1=2Z0時,像與光柵等大。像面大小的變化特性隨級數N的改變如圖2所示。

圖2 像面大小隨級數N的變化情況示意圖

2 實驗驗證

2.1 實驗裝置

如圖3,成像系統由平行導軌、激光光源、透鏡組、樣品光柵以及CCD相機組成。光源選用氦氖激光器(波長為632.8 nm),經由擴束鏡和焦距為100 mm的透鏡組成的透鏡組準直擴束并形成會聚球面光。樣品光柵為15 mm*20 mm的二維振幅型光柵,周期為0.5 mm,不透光方形孔邊長為0.3 mm。

圖3 成像系統實物圖

2.2 實驗分析

(a) Z1=620 cm

通過選定特定級數,改變光柵到頻譜面的距離Z0,測量得到相應的實驗值Z1,并將其與公式所計算的理論值對比進行驗證。實驗發現,當N取正時,像面過亮并且變化較快,不易測量準確值,故取N為負值時的第一泰伯像進行驗證,當N=-1時Z0與Z1的關系滿足

(10)

通過物像公式算得點光源的像點(即光柵的頻譜面)位于148 cm處,光柵起始位置置于78 cm處,以2 cm為單位逐步縮小Z0,得到的部分泰伯像如圖5所示。

(a) Z0=52 cm;Z1=156 cm

隨著頻譜面至光柵面的距離Z0的變化,Z1和周期放大率M也隨之變化。圖5(a)～(d)的周期放大率理論值分別為ma=1.923;mb=2.776;mc=4.266;md=7.786,實拍圖片也驗證了這種放大現象。實驗中由于成像距離逐漸變遠,成像亮度有所降低。

將實驗設定的Z0值、運用理論計算得到的Z1值以及實際測量的Z1值記錄如表1所示。

表1 改變z0時成像距離z1的實驗值與理論值對比

圖6為Z0以2 cm為單位改變時,Z1理論值與實驗值的數據變化對比。

Z0/cm圖6 成像距離Z1實驗值與理論值隨Z0的變化

3 結 論

對會聚球面波入射產生的泰伯效應進行了理論分析,得到了相應的成像條件,實驗驗證了測量結果和理論推導一致。會聚球面光照射光柵在N取正時可以獲得縮小的泰伯像,在N取負時可以獲得放大的泰伯像。同時獲得大小可調的光柵的像有利于拓展光柵自成像的應用。本文的實驗以及相關的理論研究完善了泰伯效應理論,有利于拓展泰伯效應的實際應用。