基于虛功原理確定高架車站軌道梁不利位置分析

彭 偉 （中鐵上海設計院集團有限公司，上海 200070）

0 引言

根據結構力學[1-5]中的基本知識，繪制結構的影響線可應用靜力法和機動法。超靜定結構的影響線可用機動法[6]快速確定影響線輪廓，其基本步驟：首先去掉所求量值對應的約束，并沿其正方向代之以未知力Z，形成基本結構；然后，使此基本結構沿未知力Z 的方向發生單位廣義虛位移，繪制出量值的影響線輪廓。當需要確定所求量值影響線的縱標時，將基本結構虛位移視為由未知力Z 引起的，根據位移條件應用力法確定未知力Z的大小，再根據未知力Z的大小得到在此位移狀態下基本結構的彎矩表達式。由彎矩-變形關系，將彎矩表達式進行兩次積分求得變形表達式，再結合位移邊界條件，得到位移曲線的表達式，從而得到影響線的縱標。

機動法在求解量值影響線的縱標時，計算較復雜。本文從求解多余約束支座反力入手，將多余約束支座反力視為外荷載，并作用于結構上。這樣原超靜定結構量值的求解問題就等價于在外荷載和支座反力作用下靜定結構量值的求解。

1 基本原理與步驟

本文基于虛功原理，求解多跨連續梁量值的影響線表達式。首先利用楊迪雄[7]的超靜定結構支座反力計算的單位支座位移法來求解隨外荷載移動多余約束支座反力，然后將超靜定結構轉化為在支座反力和外荷載共同作用下的靜定結構，用虛功原理求靜定結構的影響線的表達式，以簡單明確的步驟求出超靜定結構影響線的縱標。

求解過程共分兩步：①把多余約束支座反力視為外荷載，以多跨連續梁在外荷載和多余約束支座反力共同作用下的狀態視為力狀態。依次在多余約束位置發生廣義單位虛位移，其他多余約束發生符合約束條件的位移，以此為位移狀態。根據力狀態和不同的位移狀態依次列出虛功方程，求解多余約束支座反力的表達式。②將多余約束支座反力視為外荷載作用于結構上，這樣原超靜定結構量值的求解問題就轉化為在外荷載和支座反力作用下靜定結構量值的求解問題，此時可應用機動法列出該量值影響線的方程（即量值與多余約束支座反力的表達式）。

2 以兩跨連續梁為例進行公式推導

2.1 求解超靜定結構的多余約束支座反力

以兩跨超靜定連續梁（如圖1）為例，求解AB跨中D截面的彎矩影響線的表達式。此線彈性結構的力狀態所作用的力有單位荷載和支座B的支座反力FRB（方向向上）；位移狀態（如圖2）為結構在支座B處發生單位虛位移δB'=1（方向同FRB）。根據孫訓方的《材料力學Ⅰ》[8]附錄Ⅳ以及由力法確定的支座B單位位移所需要的力，能夠確定撓曲線方程，從而得到外荷載的橫坐標為x時對應的虛位移δP'的表達式：

圖1 兩跨超靜定連續梁圖

圖2 B支座單位虛位移圖

該結構的體系為剛體體系，結構體系的總虛變形功為0。各個微段的應力合力在變形上的內虛功Wi恒等于外力在位移上下所做的外虛功We。利用功的互等定理，推導超靜定結構支座反力FRB影響線的表達式：

2.2 求解量值影響線的表達式

求解彎矩MD的影響線時，首先去掉D截面處的約束，并以一對大小相等方向相反的力偶MD代替，將B支座處的支座反力FRB視為外荷載。此線彈性結構的力狀態所作用的力有單位荷載、支座B的支座反力FRB以及D界面處力偶MD。沿MD正方向發生單位廣義虛位移，此狀態為結構的位移狀態，如圖3 所示。MD、FRB、位置處的位移用δZ、δB、δP表示。各外力所做虛功的總和為0，根據虛功原理可得：

圖3 MD的單位虛位移圖

由虛設的位移狀態可知，在D位置發生單位轉角δZ，AA1=δZl∕2，根據相似三角形原理，D點的豎向位移為3∕8l（此時應注意結構長度為2l），同時得到虛設位移圖的方程：

在B 支座發生的虛位移δB=l/4。將式（3）與式（4）代入到式（5）中可得，

3 求解多跨連續梁量值的影響線

楊迪雄[7]根據已知的撓曲線方程求解超靜定結構的單個支座反力的表達式,當需要求解多個多余約束反力的表達式時，應用單位支座位移法逐個求解，過程較為復雜。本文將多余約束支座反力視為外荷載，以多跨連續梁在外荷載和多余約束支座反力共同作用下的狀態為力狀態。然后，在多余約束位置上依次發生廣義單位虛位移，其他多余約束發生符合約束條件的位移，以此為位移狀態。根據力狀態和不同的位移狀態依次列出虛功方程，可求多余約束支座反力的表達式。

以三跨超靜定連續梁（如圖4）為例，對多余約束支座反力FRB和FRC進行求解。此線彈性結構的力狀態所作用的力有單位荷載和支座反力FRB、FRC。位移狀態Ⅰ（如圖5 所示）為結構在支座B處發生單位虛位移δBB（下標左字母表示位置，右字母表示位移引起的原因，以下位移表示同理），支座C發生符合約束條件的位移。同理，位移狀態Ⅱ（如圖6所示）為結構在支座C處發生單位虛位移δC，支座B發生符合約束條件的位移。以a表示多余約束支座到原點A的距離（用下標區別不同支座），則由支座單位虛位移引起的x位置處的撓度yR可表示為：

圖4 三跨超靜定連續梁

圖5 B支座單位虛位移圖

圖6 C支座單位虛位移圖

將B支座的坐標aB代入到式（7）中，即可得到在位移狀態Ⅰ（如圖5 所示）中單位外荷載FP在移動過程的位移δPB以及此狀態下C支座的位移δCB。同理，將C支座的坐標aC代入到式（7）中，可得位移狀態Ⅱ中的δPC和δBC。根據力狀態和位移狀態Ⅰ與力狀態和位移狀態Ⅱ（如圖6所示）分別列出虛功方程：

聯立式（7）、式（8）、式（9），可得到多余約束支座反力FRB和FRC的表達式。將多余約束支座反力FRB和FRC視為外荷載作用于結構上，這樣三跨連續梁量值的求解問題就轉化為在外荷載和多余約束支座反力FRB和FRC作用下簡支梁量值的求解問題，此時可應用機動法列出該量值影響線的方程，具體過程可類比2.2 節中求解量值影響線表達式的方法。

4 多跨高架車站軌道梁的不利位置確定

4.1 高架車站結構形式

高架車站的類型分為橋建分離和橋建合一，按照《地鐵設計規范》（GB 50157-2013）規定，橋建分離車站的設計計算按照建規計算即可；橋建合一結構的計算需要結合建規和鐵軌兩種規范進行包絡設計，在橋建合一的結構形式中，軌道梁和橫梁框架是剛接的，而且是多跨連續的。軌道梁的截面是保持一致的，剛度參數可以保持一致。

4.2 高架車站軌道梁上部移動荷載類型

高架車站軌道梁上部移動荷載在鐵軌規定中稱為列車荷載，不同的軌道交通方式對應不同的鐵路荷載圖示。一般地鐵設計采用的是《地鐵設計規范》（GB 50157-2013）的列車荷載圖示，根據不同的車型來確定相應的荷載圖示；市域鐵路按照最新的市域鐵路列車荷載圖示，市域鐵路荷載圖示是由王麗等研究人員根據我國的市域鐵路運輸特征和地鐵規范的主要運營列車和參數，做相應的比較，得出采用ZS荷載圖示。

4.3 軌道梁在列車移動荷載組作用下的情況

我國的列車主要參數一般如圖7 所示。列車的長度分為三部分，即兩倍的軸距、鄰軸距、車輛定距?，F在按照最不利的荷載圖示（即ZS 荷載圖示），軸重采用190kN，鄰軸距4.5m、軸距2.5m、車輛定距7.0m。按照第三節部分虛功原理求得影響線如圖8 所示，為五跨連續軌道梁，圖示為中間跨跨中位置的彎矩影響線。如圖9 所示為五跨連續軌道梁，跨中位置的剪力影響線。

圖7 列車軸距示意圖

圖8 跨中彎矩影響線

圖9 跨中剪力影響線

圖10 跨列車載荷模型

五跨連續軌道梁，每一跨的跨度均為12m，總跨度為60m?，F將列車荷載的最右端作用在第三個支座處，列車從左到右移動視為工況一；再將列車荷載的最左端作用在第四個支座，列車從右向左行駛視為工況二。朱慈勉[4]在荷載組移動時，采用臨界荷載法，分別讓荷載從左到右行駛和從右到左行駛，將影響線與每個支座的切線夾角設為 ，根據公式S=∑jFRjyj分別求得荷載在往右移動和往左移動時的內力值，如果兩次的計算結果是異號，則可以說明荷載為臨界荷載，根據公式即可求得跨中位置的最大剪力和最大彎矩，同樣也可以求出其余計算目標位置的剪力和彎矩。如果列車的載荷形式不一樣，還可以根據荷載的類型不同，同樣按照這種極限方法求得最不利的位置以及最不利位置的彎矩和剪力。

5 結語

5.1 單位位移法求量值影響線

本文基于單位位移法進行理論推導，基本思路是現根據原有的撓曲線方程，列出不用工況下的撓曲線方程，并且定義相應的邊界條件；再根據曲線方程求得相應做魚支座處的虛位移，再根據虛功原理求得支座反力；最后根據反力再求量值影響線。本文的推導不同于其他論文的地方是利用虛功原理求得最終的影響線量值，相對于機動法更加準確。

5.2 高架車站軌道的影響線量值分析

本文根據單位支座位移法原理，利用已知的撓曲線方程求解了超靜定結構在移動外荷載作用下的多余約束反力，再推導了量值影響線縱標的表達式。在這個基礎上再根據列車荷載圖示的情況，按照結構力學的臨界法求得最不利位置以及不利位置的最大剪力和最大彎矩，對之后的結構施工圖繪制有一定的參考意義。