基于前饋神經網絡的分數階事件觸發控制器實現及應用研究

于南翔,朱 偉

(1.重慶郵電大學 計算機科學與技術學院,重慶 400065;2.重慶郵電大學 復雜系統智能分析與決策重點實驗室,重慶 400065)

0 引 言

隨著工業化進程的深入推進,對控制系統的精度和效能的要求日益加劇。在眾多控制系統設計中,研究者們不僅要對被控系統進行細致和準確的建模,還必須應對通信網絡帶寬、實時在線資源,以及控制系統的計算與處理能力等實際約束。在這些限制條件下如何高效實施控制流程,已成為現代控制學研究的焦點和挑戰。為了實現高效率的控制,需要對被控制系統進行更為精細和深入的描述,以便更準確地捕捉系統的動態行為,還需要探索和發展更為高效、先進的控制方法。

為了對被控制對象進行深入的理論研究與建模分析,借助分數階微分方程來描述動力系統已經成為一種較為有效的方法,這就是所謂的分數階系統[1]。分數階系統可以視為整數階系統的一種推廣,提供了一種更為精確和通用的描述復雜動態系統的方法,能夠捕捉到整數階模型無法描述的系統動態特性,在物理學、電化學、生物學、粘彈性及混沌系統的研究中展示了獨特的應用潛力[2-6]。近年來,隨著分數階理論在工程領域的應用逐漸增多,分數階系統的理論及其應用研究逐漸成為了眾多學者關注的焦點[7-8]。

當分數階理論在精確描述控制系統方面展現出極大優勢的同時,人們對于控制方法和控制效率的追求也在持續發展和提升。尤其是,伴隨著被控系統實際約束條件的增加,如何降低各類資源消耗,并維持可靠的控制性能是控制器設計需要考慮的關鍵問題之一。如何提高控制系統的控制效能(即保持控制性能的前提下,減少計算資源與通信帶寬消耗)是研究者不斷追求的目標。近年來發展起來的事件觸發控制(event-trigger control,ETC)技術是一種很好的解決策略。ETC策略的主要思想是,在滿足某個預定條件下產生觸發控制動作,相較于傳統的固定時間觸發控制策略,ETC策略可以在保證期望性能的同時顯著減少控制的次數,ETC策略可被認為是一種按需控制理論[9]。1999 年 K. ?str?m和 B. Bernhardson在文獻[10]中比較了傳統等間隔周期采樣控制和基于事件觸發控制2種方法對一階隨機動態系統的控制性能,結論得出,基于事件觸發控制的采樣頻率遠遠小于傳統等間隔周期采樣控制,并且可以達到與后者幾乎完全相同的控制性能?；谑录|發控制理論已成功應用多種控制領域,取得了豐富的理論研究成果[11-14]。 將分數階建模理論與事件觸發控制理論相結合,可實現對復雜分數階系統的高效、精確控制。這種結合不僅能夠更好地描述和分析實際系統的動態行為,還能夠在保證控制性能的同時,優化系統的資源消耗。具有廣泛的應用前景和理論研究價值。

理論研究的終極目標始終是應用于實際,以實現對人類社會的貢獻。這一原則對于分數階事件觸發控制理論的研究亦然。盡管分數階事件觸發脈沖控制領域已有眾多理論成果,但其在實際應用中仍存在顯著差距。這一差距不僅源于現實世界的復雜性,還因為無論是傳統的事件觸發控制方法還是事件觸發脈沖控制方法,其控制算法均依賴于被控制系統的數學模型。在面對難以建?；驘o法建模的被控制系統時,這些傳統方法往往難以施展,尤其是無法直接應用于當前流行的數據驅動系統的控制當中,該類控制系統控制過程以數據流為主,是典型的無模型控制系統[15-16]。因此,開發部分或完全不依賴于模型的事件觸發控制算法顯得尤為重要和迫切。

另一方面,人工神經網絡模擬了人類大腦的工作機制,是一種通過數學方法構建的分析模型[17]。根據結構的不同,神經網絡可以分為前饋網絡、反饋網絡和自組織網絡。前饋網絡的特征在于神經元被分為多個層次,且僅相鄰層次之間存在連接。反向傳播神經網絡(back propagation,BP)和徑向基函數神經網絡(radial basis function,RBF)是2種較為主要的前饋神經網絡模型。1986年,Rumelhart等[18]提出了多層神經網絡學習過程的數學原理,自此,前饋神經網絡開始受到廣泛的學術關注。研究表明,單隱層的前饋神經網絡能夠以任意精度逼近任意函數[19]。文獻[20]提出了一種基于神經網絡的傳染病模型識別和預測方法,該方法通過識別與時間相關的參數來擬合現有數據,進而量化了大流行病預測及控制措施的不確定性。鑒于前饋神經網絡對數據的高效擬合能力,文獻[21]進一步提出了一種基于多層前饋神經網絡的移動機器人避障控制器,該控制器通過學習混合位置軌跡以及虛擬力,實現了對機器人避障的有效控制。

基于分數階理論在精確描述控制系統方面的優勢、前饋神經網絡能以任意精度逼近任意函數的特性以及事件觸發控制在節約控制資源方面的長處,將前饋神經網絡引入到傳統的分數階事件觸發控制器設計領域將具有非常大的理論意義與應用價值。由于訓練完成的神經網絡可以看成是數據驅動的二端口控制模塊,既可以擺脫對具體數學模型的依賴,又可以提高該控制器的普適性和使用的靈活性。因此,對傳統分數階事件觸發控制器的底層控制規律的學習是實現前饋神經網絡與事件觸發控制充分融合的關鍵。

綜上分析,本文提出一種新的基于前饋神經網絡的分數階事件觸發控制器的實現方法,為了保證系統的控制效能,考慮基于多層前饋神經網絡對現有事件觸發控制器進行有監督學習,通過訓練得到無模型依賴的事件觸發控制器,從而有效地解決了傳統事件觸發控制策略對具體數學模型的依賴的問題。對訓練得到的控制器進行仿真測試顯示,不僅能有效減少控制器對系統的計算資源和網絡帶寬的消耗,同時還能顯著降低事件觸發的控制次數。最后,將所得到的方法應用于房間溫度控制系統中,實驗結果表明,本文所以提出方法的有效性與可移植性較好。

1 準備知識

1.1 分數階微積分理論

相較于其他形式的分數階導數的定義,由于Caputo分數階導數不含超奇異性的部分,另外基于此定義的分數階微分方程具有與傳統整數階微分方程相同形式的初始條件,因此,本文將采用Caputo分數階導數定義來研究相關連續時間動力系統。

定義1函數x(t)的Caputo分數階導數定義如下

(1)

定義2函數φ:[a,b]→R為勒貝格可積函數,則其α∈(0,1)階分數階積分定義如下

(2)

定義3Mittag-Leffler函數定義如下

(3)

當β=1時,該函數變為

(4)

Mittag-Leffler函數通常用于研究分數階動態系統的動態行為。

1.2 傳統的分數階事件觸發控制系統

考慮以下分數階連續時間動態控制系統。

(5)

(5)式中:α∈(0,1);x(t)∈Rn和u(t)∈Rm分別是狀態和系統控制輸入;f:Rn×Rm→Rn滿足f(0,0)=0,相關事件觸發的脈沖反饋控制器如下

(6)

(6)式中:x(t-)表示x(t)的左極限;g:Rn→Rm,h:Rn→Rn,滿足g(0)=0,h(0)=0。事件觸發時刻tk由如下迭代形式確定。

tk+1=inf{t:t>tkandF(t)≥0}

(7)

(7)式中,F(t)被稱為觸發函數,定義如下

F(t)=‖e(t)‖-β‖x(tk)‖

(8)

(8)式中:β∈(0,1),e(t)=x(tk)-x(t)表示測量誤差。

假設以上的控制系統,其控制器的輸入、輸出可以通過某種方式來測量或觀測。本文的研究目標以同步采集到的控制器兩端的數據對為訓練集,構建前饋神經網絡來學習這個控制策略,最終,用訓練得到的網絡替代傳統的控制器。

1.3 前饋神經網絡

鑒于單隱層的前饋神經網絡已被證實能以任意精度逼近任意函數[19],且最新的研究進一步揭示了其能夠以任意精度逼近具有有限間斷點的非線性復雜函數映射,展現出在非線性映射能力、泛化能力及容錯能力方面的顯著優勢[22],因此,基于該網絡學習實現事件觸發控制器是完全切實可行的。

典型的前饋神經網絡通常包含輸入層、隱層和輸出層。一般隱層數越多,模型的非線性表示能力越強,因而模型能夠擬合的結果就越復雜。本文采用雙隱層的前饋神經網絡,各層的形式如下。

1)輸入層。x1,x2,…,xn為神經網絡的n個輸入,表示為向量形式如下

X=[x1,x2,…,xn]T

(9)

2)第一隱層。

(10)

(10)式中,m為第一隱層神經元的數量。

②加權求和與激活:第一隱層神經元完成對輸入信號的加權求和,并加上閾值偏置,然后通過激活函數f1(·) 進行非線性變換得到輸出為

(11)

(11)式中,f1為激活函數,常用的激活函數包括Sigmoid函數、雙曲正切函數(tanh)等,本文中選用第2種形式,其表達式為

h1(z)=tanh(z)

(12)

3)第二隱層。

①權值和閾值:第一隱層到第二隱層的權值矩陣表示為W2;第二隱層的閾值向量表示為b2。

②加權求和與激活:第二隱層神經元對第一隱層的輸出進行加權求和,加上閾值偏置,然后通過激活函數f2(·)進行非線性變換得到輸出為

(13)

激活函數形式同上。

4)輸出層。

①權值和閾值:隱層到輸出層的權值向量表示為v,輸出層的閾值為標量c。

②輸出計算:輸出層神經元的最終輸出是通過加權求和和激活函數計算得到

y=g(vTh2+c)

(14)

(14)式中,g(·)是輸出層的激活函數,同樣可以根據任務的不同選擇不同的函數形式。

訓練過程中,對于第k組樣本,神經網絡的輸出值與期望值的平方誤差為

(15)

(16)

本文涉及的事件觸發控制器本質上是一個兩輸入、一輸出非線性函數。后續基于前饋神經網絡學習并替代該控制器,對傳統分數階事件觸發控制器的學習為一個有監督學習過程。

2 算法實現

為了得到無模型依賴的事件觸發控制器,本文采用前饋神經網絡在線學習的方式實現,具體結構如圖1所示。前饋神經網絡的有監督學習數據源于傳統事件觸發控制器的兩端,通過同步觸發實現有監督學習的數據采集獲取,零階保持器(ero-order holder,ZOH)輔助完成數據的轉發,最終完成網絡訓練。

圖1 基于神經網絡(NN)的有監督學習Fig.1 Neural network (NN) based supervised learning

神經網絡(neuro network,NN)通過2個零階保持器(zero-order holder,ZOH)同步獲取事件觸發控制器的輸入與輸出數據,用以完成在線有監督學習。本文搭建的神經網絡的輸入層含有2個神經元,分別對應事件觸發函數中的‖e(t)‖和‖x(tk)‖。實際構建的神經網絡的2個隱層分別含有8和5個神經元,輸出層含有1個神經元對應于事件觸發控制器的輸出,該網絡的具體結構如圖2所示,為全連接形式的前饋神經網絡。

給定神經網絡相應的輸入層、隱含層以及激勵函數之后,訓練過程便是結合期望輸出與實際輸出的平方誤差值,調整網絡的連接權重,最終完成網絡訓練。

圖2 前饋神經網絡結構Fig.2 Feedforward neural network structure

本文在前述相關理論的基礎上,利用MATLAB的深度學習工具箱,搭建雙層前饋神經網絡,訓練過程所使用的數據采集自實際的分數階事件觸發控制系統的控制器輸入、輸出信號,隱含層數為2層,隱含神經元13個,權值的調整規則選用梯度下降法。

3 仿真分析

為了驗證所提出的算法的有效性,在仿真環境中搭建了一個由傳統事件觸發控制器控制的主從混動同步系統。我們選取分數階Jerk混沌系統作為主從系統的實例,利用同步采集到的傳統控制器兩端的數據作為訓練集,進行前饋神經網絡的訓練。這樣做的目的是最終實現一個不依賴于具體模型的事件觸發控制器。

主系統方程如下

Dαx(t)=Ax(t)+f(x(t))

(17)

(17)式中,α=0.99,f(x)=[0,0,|x1|+1]T,

從系統方程為

Dαy(t)=Ay(t)+f(y(t))-u(t)

(18)

(18)式中,u(t)為控制輸入,其定義為

(19)

文獻[23]已經證明在傳統的事件觸發控制下,該主從系統能夠實現指數穩定意義下的同步,傳統事件觸發控制下的同步控制效果以及脈沖控制時刻分別如圖3和圖4所示。

圖3 Jerk主從系統同步效果圖Fig.3 Synchronization effect of master-slave Jerk system

圖4 傳統事件觸發脈沖控制時刻Fig.4 Traditional event-triggered impulsive instants

以傳統的事件觸發控制器的輸入、輸出為數據源,對其進行有監督學習,最終訓練得到基于神經網絡的事件觸發控制器。在被控系統參數不變的條件下,將傳統控制器替換成訓練得到的神經網絡控制器?；谇梆伾窠浘W絡的事件觸發控制器的脈沖控制時刻如圖5所示。從圖5可以看出,在保證同步控制效果的同時,觸發的次數相較于傳統的事件觸發控制方法明顯減少。因而可以進一步節約系統的帶寬以及控制資源的消耗。另外,基于前饋神經網絡的事件觸發控制器相對于傳統的事件觸發控制器的一個明顯優勢是不再依賴被控系統的數學表達式,具有更強的普適性,能夠方應用于其他控制場景。

為了驗證本文提出的基于前饋神經網絡得到的事件控制器的可移植性,圖6展示的是將MATLAB內置范例House Heating System中的溫度控制器換成本文訓練得到的事件觸發控制器,溫度控制過程中事件觸發控制仿真結果表明,只需添加一定的比例調整以及零階保持器,即可完全替代傳統的控制系統,仿真過程中外部環境溫度以正弦信號代替,本系統可實現將房間溫度保持在設定溫度附近可靠工作。圖7展示的是事件觸發控制器的脈沖控制時刻,由于采取的是事件觸發控制思想,因此,本文所提出的控制器,優于傳統的連續溫度控制算法,可在減少非必要能源消耗的同時,保證用戶對環境溫度的控制效果。

圖5 基于前饋神經網絡的事件觸發脈沖時刻Fig.5 Feedforward neural network-based event-triggered impulsive instants

圖6 房間溫度控制系統Fig.6 Room temperature control system

圖8為房間溫度及室外環境溫度曲線。從圖8可以看出,本文訓練得到的控制器對房間溫度有較好的調控效果,能夠將環境溫度穩定控制在23 ℃附近,擺脫了對控制系統模型的依賴。同時,仿真實例進一步說明控制器有較好的移植性,即本文通過前饋神經網絡對某一分數階事件觸發過程進行學習,最終得到不依賴被控系統數學模型的控制器,完全可以應用于其他控制系統當中。另外需要說明的是,本實驗原始的溫度控制系統是一整數階系統,這進一步說明本文得到的分數階控制器完全能夠適用于整數階情況。

4 結束語

本文借助前饋神經網絡對傳統分數階事件觸發控制器進行有監督學習,從而得到無模型依賴的事件觸發控制器。又由于分數階系統可以看成是整數階系統的推廣,因此,本控制器能夠適用于整數階系統當中。研究表明,本文提出的基于前饋神經網絡的分數階事件觸發控制器能夠有效克服傳統事件觸發控制器對具體數學模型的依賴,能夠在保證事件觸發控制算法優勢的同時具備較好的移植性。為相關的研究提供了新的思路。仿真結果進一步顯示本文算法具有較好的收斂性與可靠性。未來擬在非監督學習方向進一步開展相關研究。

圖7 房間溫度調節控制脈沖時刻Fig.7 Room temperature adjustment impulsive times

圖8 房間溫度與戶外環境溫度Fig.8 Room temperature and outdoor ambient temperature