基于高頻已實現協方差預測的約束的投資組合研究

劉廣應，施科文，徐鳴一，張亦馳

（南京審計大學1.統計與數據科學學院2.數學學院，江蘇 南京 211815）

一、引言

投資組合研究是金融計量學者的研究熱點，金融從業人員也十分關注投資組合的實際投資效果。近年來，最小方差投資組合受到大量學者關注。DeMiguel 等（2009）[1]指出最小方差投資組合的夏普比率表現經常會優于經典的均值方差投資組合。Bollerslev 等（2018）[2]采用最小方差投資組合對構造的協方差矩陣動態預測模型進行經濟學評價。相對于經典的均值方差投資組合，最小方差投資組合模型沒有引入預期收益率，只考慮了協方差矩陣的預測結果，避免了對未來收益率的預測難題。

投資組合的建立主要涉及到多只金融資產收益率的協方差矩陣和預期收益率，其投資表現也主要依賴于協方差和收益率的預測精度。金融高頻數據含有豐富的市場信息，近年來人們可以很便利地獲得金融高頻數據。關于金融高頻數據的研究，特別是協方差矩陣的度量和預測等，都是金融計量領域的研究熱點。Andersen和Bollerslev（1998）[3]提出了已實現波動率，用來度量每日金融資產收益率的波動，該度量無需利用歷史數據，只需利用當日的高頻數據即可得到當日該資產價格的波動率，具有很好的時效性。Andersen 等（2003）[4]發現已實現波動率時間序列具有極強的長期記憶特性，可以利用分整移動自回歸（ARFIMA）模型給予預測。Corsi（2009）[5]提出了異質自回歸（HAR）模型預測未來已實現波動率，該模型預測效果較好，且模型簡單。Barndorff-Nielsen和Shephard（2004）[6]提出了已實現協方差矩陣，用來度量多只金融資產價格收益率的協方差矩陣。已經產生了一些初步預測模型，利用高頻波動率序列的長期記憶性等特性預測未來協方差矩陣。以上實證結果表明，相對于基于低頻日收益率序列建立的協方差模型，基于高頻數據建立的已實現協方差預測模型，其預測效果較優。

由于協方差的估計和預測都面臨高維問題，有較大的誤差，基于帶有誤差的最小方差投資組合通常表現較差。實際數據分析時，最小方差投資組合的風險（方差）較小，但通常存在平均收益也相對較小的問題。為了提高最小方差投資組合實際投資表現，目前主要有兩種方法。一是給投資組合的權重添加適當約束條件，提升投資效果。Fan等（2012）[7]通過限制投資組合允許做空比例改善投資組合績效，提出了L1范數約束的最小方差投資組合。Ding 等（2021）[8]基于因子模型考慮了L1約束下的最小方差投資組合表現。這些文獻協方差矩陣模型未考慮動態建模，只利用歷史協方差矩陣的估計值，分析其投資組合效果，也沒有充分考慮波動率的長期記憶性。二是構建更為準確的協方差矩陣預測模型。Callot 等（2017）[9]首先利用金融高頻數據得到已實現協方差矩陣，然后對其進行對數變換，再進行向量化，利用向量自回歸（VAR）模型進行預測建模，利用LASSO 方法對VAR 模型的回歸系數進行降維估計，得到了LASSO-VAR 預測模型。Oh 和Patton（2016）[10]借鑒動態相關系數模型，將已實現協方差分解為DRD，其中D是由單個資產的已實現波動率構成的對角矩陣，R對應于已實現相關系數矩陣，對D每個元素分別通過單變量HAR模型預測，對R進行向量化后建立向量HAR 模型進行預測，構造了HAR-DRD 波動率矩陣預測模型。Bollerslev 等（2018）[2]對HAR-DRD模型進行拓展，利用HARQ模型預測D的每個元素，構造HARQ-DRD模型預測協方差矩陣。這些文獻在考慮協方差矩陣預測模型的投資組合分析時，都沒有考慮L1約束條件下的投資組合表現。

高頻波動率的長期記憶特性，有助于預測已實現協方差矩陣預測，提升預測效果；具有L1約束的最小方差投資組合實際效果較好。本文將這兩者給予結合，構建高頻已實現協方差矩陣預測視角下L1約束的投資組合。首先，通過日內高頻數據估計得到已實現協方差矩陣，并建立HAR-DRD和HARQ-DRD模型對已實現協方差矩陣序列進行預測，這類模型充分利用了波動率的長期記憶性，可以得到更精確的協方差矩陣預測值；并將預測得到的協方差矩陣應用到投資組合建立中，構建L1約束的最小方差投資組合模型。實證分析表明，與其他模型進行對比，本文提出的基于高頻協方差預測視角的L1約束的投資組合具有優越的績效表現和應用價值。

本文主要貢獻在于：一是將L1約束的投資組合研究應用到高頻數據場景，并與具有長期記憶特性的已實現協方差矩陣預測模型相結合，分析其投資效果。二是針對中國金融市場的高頻數據進行L1約束的投資組合分析，給出實證結果與相關結論。

二、L1 約束的投資組合

均值方差投資組合受到了學術界和業界的極大關注。為了在實踐中實施這一投資策略，需要對預期收益和收益協方差結構進行準確估計和預測。Merton（1980）[11]指出，預期收益的估計比協方差的估計更困難，預期收益的估計誤差對投資組合績效的影響大于協方差估計誤差對投資組合績效的影響，這些困難對經典的均值方差模型實施提出了嚴峻的挑戰。

近年來，最小方差投資組合（MVP）受到了大量的關注。最小方差投資組合與均方差組合有所不同，最小方差組合避免了估計預期收益的困難，但其本身依然為有效投資組合。實證研究表明，最小方差組合與均值方差投資組合相比，通常具有更低的風險和更高的收益率。此外，它也為評估不同的協方差矩陣估計量或預測模型提供了一種方法。

理論上，最小方差投資組合就是在給定p個風險資產的條件下，尋求最小風險投資組合，也即求解如下問題：

上述（1）式的ωt=(ω1,t,ω2,t,…,ωp,t)'為第t天p個資產對應的投資組合權重，Σt為第t天資產收益率的協方差矩陣，表示元素全部為1的一個p維列向量。那么權重向量最優解和最小風險滿足如下表達式：

根據（1）式，如果得到收益率向量的協方差矩陣Σt的估計式，即可計算出最小方差投資組合的最優權重。在高頻數據情況下，時間間隔較小，預期收益率通常很小，當假設預期收益率為0時，經典的均值方差投資組合問題就轉化為了最小方差投資組合問題。因此，在高頻數據情形下，采用最小方差投資組合也更為恰當。在高頻數據下分析投資組合具有如下優點：一方面，大量的觀察值有助于更好地理解收益協方差結構；另一方面，高頻數據允許短時重新平衡，因此投資組合可以快速調整以適應波動率的時間變化。

最小方差投資組合的模型主要由（1）式給出，其最優投資權重和最小風險（方差）主要由（2）式給出。在實踐中，由于（1）式協方差矩陣未知，因此建立最小方差組合前，必須建立協方差矩陣的估計和預測模型。然而由于對實際協方差矩陣估計誤差的存在，其實際表現較差。學者發現最小方差投資組合對投資權重向量沒有約束，允許賣空。在實際進行投資時，會產生賣空比例較大的問題；更新投資組合時，容易出現投資轉換成本較高等問題。為了克服以上問題，需要對投資組合向量進行約束，Fan等（2012）[7]、Ding等（2021）[8]指出可以利用對投資權重向量進行L1范數約束，提出了L1約束的投資組合模型：

式（3）中M為一調節參數，用于控制投資組合權重允許賣空數量。這里施加L1范數約束（又稱總風險敞口約束）可以控制投資組合的賣空頭寸，即控制投資組合的允許做空比例。常數M與允許做空比例具有如下關系：做空比例等于。當M=1時，此時投資組合不允許賣空。

通過L1范數對投資組合進行約束具有如下優點：1.控制投資成本。實際投資中賣空將承擔較大的賣空成本，L1約束將限制賣空比例，進而可以較好地控制賣空成本。2.降低投資組合的轉換成本?，F實中，一個投資組合通常需要經常更新，經過L1約束后的投資組合，更新變化相對較小，因此，投資組合的轉化成本也相對較低。3.采用L1約束的投資組合，每只股票的投資比例都相對平衡，即使遇到個別股票出現較大變化時，整個投資組合收益影響也較小，因此投資組合的風險也較小。

在實際操作中，我們通常希望這個投資組合在未來表現最優，因此，最小方差投資組合模型（1）式、L1約束的最小方差投資組合模型（3）式的Σt，應當是對未來的協方差矩陣的預測值。

三、高頻已實現協方差預測模型

（一）高頻已實現協方差

Barndorff-Nielsen和Shephard（2004）[6]提出了已實現協方差矩陣，用于估計多只股票收益率的協方差矩陣，其定義為：

其中ri,kδn,t表示第i只金融資產在第t天第kδn時刻的對數收益率，RCovij,t表示第i只和第j只金融資產第t天的已實現協方差，p表示資產總個數，K表示一天內高頻數據采樣的數據量。中國股票市場每日交易時間為4小時，當采樣間隔定義為5分鐘時，K=48。因此可以通過當天的高頻收益率數據計算得到當天的已實現協方差矩陣，并且當采樣間隔δn趨于0時，得到的已實現協方差矩陣RCovt是積分協方差矩陣的一致漸近無偏估計，可以利用日內高頻數據估計出每日的協方差矩陣，此時波動率矩陣就變成了可觀測值，進而可以得到已實現協方差矩陣序列。

（二）DRD分解

DRD分解是金融領域中用于處理已實現協方差矩陣的一種重要方法。該方法的主要目標是將已實現協方差矩陣分解為兩部分：已實現波動率矩陣D和已實現相關系數矩陣R，以實現數據降維，以及更準確地捕捉資產波動性和關聯性的變化特征。針對p×p維已實現協方差矩陣RCovt的DRD分解為：

其中：

這里Dt為已實現波動率組成的對角矩陣，Rt為已實現相關系數矩陣，反映了資產之間的關聯程度。實際數據分析表明，Dt和Rt具有不同的動態特征，分別對它們進行預測將有助于更準確地捕捉市場變化的趨勢，降低預測誤差。此外DRD分解還可以保證協方差矩陣的正定性，因而成為金融領域中用于波動率建模和風險管理的重要工具，對投資組合管理和風險控制具有重要意義。

（三）HAR-DRD模型和HARQ-DRD模型

為了刻畫高頻數據波動率的長期記憶性，Corsi（2009）[5]提出了異質自回歸（HAR）模型，這一模型比較簡單，在實證研究中取得了很好的預測效果。Chiriac和Voev（2011）[12]借鑒HAR模型的思想，針對已實現協方差矩陣進行建模，將異質自回歸HAR模型擴展為向量HAR模型。注意到已實現協方差矩陣RCovt為對稱正定矩陣，將RCovt下三角部分拉直成向量，得到對應向量St=vec?(RCovt)，其維數是，對St(t=1,2,…T)建立向量HAR模型：

Oh 和Patton（2016）[10]借鑒Engle（2002）[13]的動態條件相關系數模型（DCC）思想，構建了HAR-DRD 模型。該模型構建步驟如下：（1）將高頻已實現協方差矩陣RCovt按照DRD分解得到Dt和Rt；（2）將Dt進行對數變換得到lnDt，對lnDt的每個分量建立單變量HAR模型進行預測；（3）由于Rt是對稱矩陣，因此只需取Rt下半部分得到vec?(Rt)后建立向量HAR模型進行預測，最后將預測值與按照（5）式相乘即可得到協方差矩陣的預測值。

HAR 模型在建模時沒有考慮已實現方差的估計誤差，Bollerslev 等（2016）[14]將估計誤差引入到已實現方差的預測模型，建立變系數HAR 模型，即HARQ 模型。利用已實現方差估計積分波動率的估計誤差方差，可以利用已實現四次變差來估計。第i個資產已實現四次變差定義為，故單變量HARQ模型定義為：

其中RVi,t=RCovi,i,t,分別表示第i個資產已實現方差和h天的平均值。

Bollerslev等（2018）[2]提出了HARQ-DRD模型，該模型的構造與HAR-DRD模型類似，區別在于HARQDRD模型的第二步，對lnDt分量用了單變量HARQ模型（8）式進行預測，其余步驟一致。

四、實證分析

（一）實際數據

本文選取了上證50成分股中的10只股票的收益率數據進行預測分析，選取其中股票代碼排在前10的股票，數據起止時間為2004年1月2日至2019年12月31日，高頻數據采樣間隔為5分鐘，數據來源于銳思數據庫。在剔除異常值數據后一共有3 834個交易日數據，對于數據缺失值進行填補后得到了完整的5min高頻收益率數據集。本文將整個數據集劃分為兩部分：樣本內數據和樣本外數據。樣本內數據用于訓練模型參數，樣本外數據用于評價模型泛化效果。選取2004年1月2日至2015年5月6日共2 704個交易日作為樣本內數據，2015年5月7日至2019年12月31日共1 130個交易日作為樣本外數據。

圖1給出了10只股票已實現波動率RDt和已實現相關系數Rt的均值時間序列圖。從圖1可以發現已實現相關系數相較于已實現波動率其變化程度更大，波動更加明顯，已實現相關系數的時序圖軌跡更加粗糙，而已實現波動率時序圖有明顯的波峰，變化小且相對更加穩定。由此我們可以發現已實現波動率RDt和已實現相關系數Rt兩個部分分別有不同的動態特征，因此將已實現協方差矩陣通過DRD分解成Dt和Rt后，再對兩部分分別進行建模，這樣能利用到更多有效信息，更加科學合理。

圖1 已實現波動率RDt 均值和已實現相關系數Rt 均值的時間序列圖

（二）評價標準

在對協方差矩陣進行預測時，需要對其預測效果進行評價。本文通過模型預測得到的協方差矩陣與樣本外數據計算得出的真實協方差矩陣進行對比，分別計算出各個模型的MSE、RMSE和MAE，通過這三個指標來衡量模型預測的準確度，公式如下：

在實際金融市場中，建立投資組合時需要考慮到投資組合的交易成本、資產集中度和賣空成本等因素。因此本文計算了投資組合第t天到第t+1天的周轉率TOt、集中度COt和賣空資產權重SPt來度量投資組合的優劣，具體計算公式如下：

在考慮了交易成本和賣空成本后，投資組合ωt在第t天的實際收益率計算方式如下：

其中c1代表交易成本率，c2表示賣空時貸款利率。本文取c1=0.1%、c2=6%/360，分別表示交易成本為成交金額的0.1%、賣空時的貸款年利率為6%。

（三）實證結果

本文除了給出HAR-DRD和HARQ-DRD協方差預測模型的實證結果，還給出了向量自回歸VAR模型、向量異質自回歸HAR模型以及基于Cholesky分解的HAR-CHOL 模型等對比模型的實證結果。向量自回歸VAR 模型為直接對已實現協方差矩陣的下三角進行拉直向量化，利用一階向量自回歸建模預測得到未來已實現協方差矩陣；向量HAR 模型即為模型（7）式。HAR-CHOL 模型為首先對已實現協方差矩陣進行Cholesky 分解，對分解后的下三角矩陣進行向量化，然后利用向量HAR 進行建模預測未來已實現協方差矩陣。

表1給出5種已實現協方差矩陣預測模型在樣本外數據集（2015年5月7日至2019年12月31日）已實現協方差矩陣的預測實證結果。由表1 可以得出以下結論：1.將估計誤差信息考慮在內HARQ 模型相較于HAR模型預測效果略優。2.相較于簡單地將已實現協方差矩陣拉直成向量后直接進行預測的VAR模型和HAR 模型，先將已實現協方差矩陣進行分解處理再進行預測的HAR-CHOL、HAR-DRD、HARQ-DRD 模型預測效果更優。3.采用DRD分解的HAR-DRD模型和HARQ-DRD模型相較于直接建模的HAR模型、VAR模型和基于Cholesky分解的HAR-CHOL模型預測精度更高，說明DRD分解能夠捕捉波動率矩陣的動態特征，對具有不同動態特征的Dt和Rt分別進行建模有助于提升模型預測精度。

表1 已實現協方差矩陣模型預測結果（括號內為排名）

表2和表3給出了L1約束的最小方差投資組合和無約束的最小方差投資組合實證結果，表2為考慮交易成本和賣空成本情形，表3為考慮了交易成本和賣空成本情形。為了分析基于高頻數據的協方差矩陣估計量和基于低頻數據的協方差矩陣估計量在投資組合中的差異，還考慮了基于Fan 等（2013）[15]提出的POET協方差矩陣估計量的投資組合結果，POET協方差矩陣估計量只利用低頻日收益率數據，未利用高頻數據。

表2 L1 約束的投資組合與最小方差投資組合實證結果（未考慮交易成本和賣空成本）

表3 L1 約束的投資組合與最小方差投資組合實證結果（考慮交易成本和賣空成本）

根據表2和表3我們可以得出以下結論：1.相同協方差矩陣預測模型得出的L1約束最小方差組合，相對于最小方差投資組合，其周轉率TO、集中度CO、和賣空頭寸SP 都相對更低，投資組合更加均勻穩定，風險較低，收益相對較高，夏普比率也更高，可見在對投資組合的賣空頭寸進行限制后能夠顯著改善投資組合表現。2.基于高頻數據的已實現協方差矩陣預測模型得出的投資組合相較于基于低頻數據的POET協方差矩陣估計量得出的投資組合表現更好，說明使用日內高頻數據估計協方差矩陣相較于低頻數據能夠獲取更多有效信息，改善投資組合績效表現。3.結合表1結果，已實現協方差矩陣預測越準確的模型，對應的投資組合效果也越佳，采用L1約束的HARQ-DRD投資組合模型綜合表現最佳。

五、結語

本文結合高頻已實現協方差矩陣預測模型，研究了L1約束下最小方差投資組合。通過已實現協方差矩陣預測模型，構建了基于高頻數據的L1約束最小方差投資組合。實證分析表明：1.與無約束最小方差投資組合相比，具有L1約束的最小方差投資組合風險較低、成本較小、夏普比率較高。2.采用高頻數據已實現協方差預測模型的投資組合，其投資效果也優于基于低頻數據協方差預測模型的投資組合。3.采用了DRD分解的模型相較于沒有采用DRD分解的模型，無論是協方差矩陣預測精度還是投資組合績效表現都存在一定優勢，分解后針對相關系數矩陣R和已實現波動率矩陣D的單獨建模，有助于捕捉各自規律，具有較低的預測誤差，表現出更好的投資效果。