新高考背景下基于問題鏈的高中數學課堂教學研究

尹櫻樺　楊立英

［摘 要］文章主要研究新高考背景下基于問題鏈的高中數學課堂——“高中數學概念課”和“高中數學專題課”，旨在為數學概念課和專題課的問題鏈設計提供一定的參考引導，形成可操作性強、指導性強的問題鏈設計指南。

［關鍵詞］新高考；問題鏈；高中數學；概念形成

［中圖分類號］ G633.6 ［文獻標識碼］? A ［文章編號］ 1674-6058（2023）26-0017-04

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調“提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力?！痹跀祵W課堂教學中，合理設計問題并把問題串在一起形成“問題鏈”，是幫助學生自主建構知識的一種重要手段?！皢栴}鏈”是教師將教材知識轉換為層次鮮明，具有系統性、邏輯性、啟發性的一連串的教學問題，是一組有目標、有層次、相對獨立而又相互關聯的問題。從形式上看，“問題鏈”是一問接一問，一環扣一環的；從內容上看，它是問問相連，環環緊扣的；從目標上看，它是層層深入的。教師在進行“問題鏈”設計時，可以根據每個學生的“最近發展區”，根據弗賴登塔爾的“再創造”理論進行教學法加工，使得學生有效經歷數學知識的發生發展過程。教師可利用“問題鏈”為學生搭建再創造的平臺。提問應設計在學生“現有水平”與“最近發展區”的結合點處，同時預設學生的回答，創建能高度應變的幾條問題鏈供課堂選擇，培養學生再創造的技能。

一、高中數學概念課

（一）高中數學概念課問題鏈設計概述

數學概念的教學一般都要經歷概念的形成，所以首先要明確為什么需要學習相應的概念，這有助于激發學生學習概念的好奇心，也能通過認知沖突激發學生進一步探究的欲望。其次讓學生更直觀明了地記住概念，辨析概念中的關鍵詞和核心思想方法，建構嚴謹的學習概念的思維體系，最終達到理解后合理應用概念的目的。課堂可分為五個階段：概念的感知、概念的形成、概念的辨析、概念的應用（包括學習概念時所涉及的數學思想方法和數學工具的運用）、概念的升華和反思。

（二）高中數學概念課問題鏈設計原則

在數學教學過程中，教師要充分發揮學生的主體性，讓學生成為學習的主人，主動參與、勤于思考，培養發現問題和解決問題的能力。這些都要求教師在課堂上要合理設計好問題鏈。在這個背景下，高中數學教育教學應該做到符合時代發展的趨勢，真正有效組織學生探究，用問題鏈打造一個師生互動、生生互動的高效課堂，讓高中數學的教育教學真正發揮出其價值。高中數學概念課問題鏈設計應遵循激發學習欲望原則、邏輯引領原則、循序漸進原則、整體性原則。

（三）高中數學概念課問題鏈案例

【案例1】 函數的基本性質——函數的單調性

1.概念的感知

問題1：下列四幅圖有什么不同？

追問：按圖象上升、下降的趨勢進行分類有什么不同？

設計意圖：直觀感知，從左到右的上升和下降，形成單調性的圖象定義。

2.概念的感知

問題2：觀察這幅圖，其變化規律有什么不同？

設計意圖：直觀看圖，在上升和下降微妙的變化處有爭議，引發認知沖突。

問題3：如果只是觀察圖象無法準確判斷函數是否為增函數，需要進一步用“定量”的方法，對這一性質進行準確刻畫，我們可以借助什么量呢？

設計意圖：讓學生通過矛盾沖突感受“形缺數時難入微”，為概念的引入提供條件；讓學生好奇如何定量判斷函數的單調性，為數學符號語言的引入打下基礎。

3.概念的形成——實驗操作確認概念

問題4：大家都想到了用點的坐標，下面請大家觀察函數[f（x）=x2]在[x∈0，+∞]上的變化規律，完成實驗數據的統計。

設計意圖：讓學生動手收集數據，分析數據，操作確認，從而生成概念。

問題5：通過上述表格數據，從特殊到一般，你能得出什么結論？

追問1：需要滿足什么樣的條件可以得出y隨x增大而增大？

追問2：類似的問題，什么是單調遞減呢？

4.概念的辨析——再創造后構建思維體系

問題6：函數[f（x）=x2]在[x∈]（-∞，+∞）上是單調增函數嗎？

追問：這是從形的角度認知的。利用剛學的概念，從數的角度怎么解釋你的結論呢？

設計意圖：讓學生體會數形結合思想的同時，掌握說明單調性的兩大工具——圖象法和概念法。

問題7：除函數[f（x）=x2]外，你還知道哪些函數在定義域上某些區間單調遞增，而在另一個區間單調遞減的？

問題8：你能舉例在整個定義域內是單調的函數嗎？

設計意圖：通過一系列問題讓學生深刻理解單調性的概念，明確函數單調性是針對定義域內某個區間而言的，是一個局部性質。

5.概念的應用——實踐過程

［例1］根據定義，研究函數[f（x）=kx+b（k≠0）]的單調性。

問題9：通過這個例子，你能歸納用定義證明函數單調性的步驟嗎？

設計意圖：定義的應用讓學生理解函數單調性概念的同時明確其證明步驟。

輔助相應練習：物理學中的玻意耳定律[p=kV]（k為正常數），對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大，試對此函數的單調性進行證明。

設計意圖：通過練習讓學生明晰函數單調性的證明步驟并親身體會用嚴謹的數學邏輯證明物理問題，做到學以致用。

問題10：函數[p=kV]更一般化，[V]換成[x]，[x]就沒有了大于0的要求，就是我們的反比例函數[f（x）=kx]（[k>0]），是否可說它在（-∞，0）∪（0，+∞）上單調遞減？

設計意圖：推廣到反比例函數后促使學生能用“概念”檢驗的眼光來認識分段函數的單調性，再次明確函數單調性是針對定義域內某個區間而言的，是一個局部性質。

6.概念的升華和反思

問題11：在證明上述這兩道例題時，觀察自變量大小到函數值大小的變化過程，你發現自變量的大小和函數值的大小間是什么關系？

設計意圖：內化反思函數單調性的定義，進一步發現在定義域某個區間內，增函數就是要求自變量作差和對應函數值作差后符號同號，減函數是異號。

數學概念的教學是整個數學教學中一個非常重要的環節，概念課設計的問題鏈應經歷上述五個階段：概念的感知、概念的形成、概念的辨析、概念的應用、概念的升華和反思。通過設置一系列問題，使學生對概念的學習理解得到拓展和延伸。本節課通過問題鏈從一開始的感知概念到認知沖突，激發學生探索概念的欲望，通過學生操作演算，使數學概念的學習不再是無源之水，無本之木，可感可驗。學生深刻體會數形結合思想，會使用“數”和“形”兩大工具。學生參與了數學概念的形成過程，他們可以結合概念在現實中的原型體會抽象出概念的過程，從符號化和形式表述等多角度理解一個數學概念。概念辨析過程是通過問題鏈使學生對概念有了全面而深刻的認識，認識到數學概念在哲學意義上的辯證統一，認識到數學概念的抽象與具象，嚴謹和靈動，動態和定量的對立統一，進而到概念的應用和內化升華這一過程就水到渠成了。

二、高中數學專題課

（一）高中數學專題課問題鏈設計概述

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，高中數學課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動四條主線。圍繞這些主線內容設計專題課，能使高中數學的學習思維更嚴謹化、系統化和整體化。教師可將每個板塊內容相關的數學基礎知識、能力、思想方法進行歸納總結，并深入挖掘、舉一反三，使學生在原有認知上得到新的啟發，從而建構起更全面的知識體系，進而深化他們對數學知識的認識，提升他們的綜合運用能力，培養他們的數學學科核心素養。在高中數學教學中，專題課是不可或缺的課型。高中數學課程的幾個板塊都可設計出很多相應的專題引導學生展開學習，這使得專題課內容選擇更加多元化。內容選擇上要緊扣教材，符合學情，符合課程標準，教師要發揮智慧，將分散在教材每一章、每一節的知識點進行整合，縱向或橫向地把具有相關性的內容進行分類整理和劃分，形成解題策略，從而展開專題課的教學。這樣的教學能夠根據學生的實際情況，解決學生的一個知識板塊或者解題方法的一系列問題，有更準、更細、更深的特點，是傳統習題課的“濃縮版”和“精華版”。

哲學家卡爾·波普爾認為，愈來愈深化的問題，愈來愈能啟發新問題。這啟發我們把問題鏈引入到專題課中能提升專題復習的效率。一方面，問題鏈搭建起的數學課堂學習框架，具有更好的思維啟發性和復習針對性；另一方面，問題鏈中層層遞進的問題能使學生的思維更發散，解題方法更多樣化，為學生的知識建構提供了無限的可能。把問題鏈有機地融入高中數學專題課中，用問題鏈驅動學生思考與解決專題課中的問題，可使學生掌握相關數學思想方法，更好地實現對數學知識的自主探究與思維的自主建構，從而提升綜合能力。

（二）高中數學專題課問題鏈設計原則

高中數學專題課上，由于學生所用到的知識點以及學習時間是不同的，因此教師需要在開展專題課時幫助學生回顧相關知識，創設相應情境，激發學生的學習熱情。在高中數學專題課上，隨著問題的不斷拓展和深入，學生的數學思維逐漸走向縱深，促進他們不斷發現問題、思考問題、解決問題，學會整體把握相關知識內容，逐步構建完整的數學知識體系。針對課堂學習情況，在專題課后教師還要繼續設計不同層次的練習，促進學生理解相關知識，更好地引導學生內化所學知識，提升學生的綜合能力，從而達到鞏固專題課的教學效果的目的。這完全符合專題課的問題鏈設計原則，即實現激發學習欲望原則、邏輯引領原則、循序漸進原則、整體性原則。

（三）高中數學專題課問題鏈設計案例

［案例2］專題課——圓錐曲線的光線性質

1.復習回顧——認知拓展鏈

問題1：三種圓錐曲線的共性是什么？

設計意圖：從學生的“最近發展區”引入問題，起到復習舊知識，引導學生從已有的認知結構感知新知識學習必要性的作用，激發學生進一步探索的欲望?！罢J知拓展鏈”設計可以遵循“回顧—感知—激發—探求”這個邏輯順序展開。

2.情境創設——思維導向鏈

問題2：相傳在古希臘的西西里島上有一個橢圓形山洞，敘拉古的暴君杰尼西亞用這個山洞囚禁犯人，囚犯們多次密謀逃跑，但是每次都失敗，起初，囚犯們懷疑有內奸，但是始終沒有查出內奸是誰，奇怪的是，無論囚犯們說了什么，看守總能知道，因此這個恐怖山洞被稱為“杰尼西亞的耳朵”。這個山洞究竟有什么秘密呢？

設計意圖：情境創設源于生活，激發學生的求知欲，明確專題歸納拓展的方向和專題解決的問題?！八季S導向鏈”使學生經歷完整的數學發現的過程，從而達到學會學習的目的。

問題3：回顧前面學過的知識，思考從橢圓的一個焦點發出的聲音，經過橢圓反射后，有什么特點。

設計意圖：把聲波的傳播類比到光線的傳遞，實現知識的遷移?！八季S導向鏈”的設計可以遵循“引導—類比—遷移—歸納” 這個邏輯順序展開。

3.類比總結——內化提升鏈

問題4：類比橢圓的光學性質，猜想：從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線有什么特點？

設計意圖：類比總結出三種圓錐曲線光學性質的特性，提煉共性為后面強化知識應用做鋪墊。

問題5：一位導游帶領游客到一面巨大的雙曲線形（一支）的圍墻前欣賞壁畫，導游面對壁畫大聲給游客講解，游客們覺得很納悶，為什么感覺聲音是從墻外某地方傳來的。你能用剛才所學的知識解釋這個“隔墻有聲”嗎？

設計意圖：進一步感知圓錐曲線的光學性質在生活中處處都有，學會應用很有必要，也使學生愈發覺得探索有意思，激發出更強烈的求知欲。

問題6：類比橢圓和雙曲線的光學性質，猜想：從拋物線的焦點發出的光線，經過拋物線反射后，反射光線有什么特點呢？

設計意圖：進一步拓展、歸納整體知識的覆蓋范疇，“內化提升鏈”在專題課中處于核心的地位，可以遵循“拓展—歸納—深入”這個邏輯順序開展。

問題7：傳說公元前三世紀，阿基米德為抵抗羅馬軍隊的侵略，帶領敘拉古人民制作了一面大拋物面凹鏡（名曰點火鏡），使對方船只產生高溫，焚燒起來，從而成功擊退敵軍，你能解釋這是為什么嗎？

設計意圖：通過圓錐曲線的光學性質在生活中的應用自然而然地過渡到總結其共性的應用上來。

4.應用升華——拓展應用鏈

小結：圓錐曲線共性——光學性質

從橢圓的一個焦點發出的光線，經過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一焦點上；從雙曲線的一個焦點發出的光線，經過雙曲線反射后，反射光線反向延長交于雙曲線的另一焦點上；從焦點發出的光線，經過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸。

問題8：已知橢圓（雙曲線）的一個焦點，怎樣找到另一個焦點的位置？

設計意圖：圓錐曲線的光學性質不光在生活中有所應用，也可以反向應用，找到圓錐曲線的焦點位置?！巴卣箲面湣笨梢宰裱皯谩獜娀此肌边@個邏輯順序開展。

問題9：根據所學怎樣確定拋物線焦點的位置？

設計意圖：學生實驗操作更好地強化光學性質的應用。

問題10：如果不是從圓錐曲線焦點發出的光線，經圓錐曲線（不妨先考慮在橢圓中反射的情形）反射后會出現什么情形呢？

設計意圖：開闊眼界，橢圓中不經過焦點的光線反射后有不同情形甚至運行軌跡會形成雙曲線，再次讓學生感受到圓錐曲線有意思的“統一”升華，這也是專題學習的價值。

本文旨在形成有利于高中數學課堂使用的問題鏈的設計操作指南，根據這個指南針對不同課型使用不同的問題鏈設計方式，用問題鏈打造一個師生互動、生生互動的高效課堂， 鼓勵學生進行思辨。學生在思考、回答、再思考、再回答的過程中思維能力得到提升，掌握思辨方法，并學會主動進行探究和反思。這樣教學，可讓學生數學學習興趣增加的同時能夠更好地建構知識體系，更好地培養學生的數學學科核心素養。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 常全奎.新高考背景下的高中數學教學原則與策略分析［J］.數理化解題研究，2022（12）：62-64.

［2］? 方樹麗.新高考背景下高中數學學習評價研究［J］.數理化解題研究，2022（3）：32-34.

［3］? 黃光榮. 問題鏈方法與數學思維［J］.數學教育學報，2003（2）： 35-37.