基于剪切效應的加固梁彎曲性能研究*

李政 肖珍 趙恒 劉意中

常德學院 415000

引言

在實際工程中，許多工程結構的構件由于修建年代已久遠，常出現承載能力不足的情況，需要加固來維護結構的安全。為了對古代木建筑進行加固，阿斯哈等［1］研究了對木梁加固的試驗；王磊［2］研究了混凝土加固梁抗彎性能；賀學軍等［3］研究了自鎖碳纖維間接加固混凝土框架中節點的抗震性能；陳超等［4］推導出了預應力CFRP 加固簡支梁的彈性力學解析解；周朝陽等［5］分析計算了貼片加固混凝土梁界面粘結剪應力；瞿爾仁等［6］對FRP 加固混凝土梁層間應力的彈塑性進行了分析；歐陽煜等［7］研究了粘貼片加固混凝土梁的粘接剪應力。在以上關于加固梁的研究文獻中，文獻［1］關注對木梁加固的試驗，文獻［2 -7］關注對混凝土梁加固的理論研究計算，但是都未討論剪力對均布載荷作用下加固梁彎曲變形的影響。經典材料力學理論［8，9］研究了加固梁的彎曲應力計算，但忽略了剪切對梁的影響?；谏鲜鲆蛩?，本文討論了剪切對均布載荷作用下加固梁彎曲變形的影響。

1 計算理論

以圖1 所示均布載荷作用下加固梁為例，來討論剪切對加固梁變形的影響。

圖1 加固梁Fig.1 Reinforced beam

假設加固梁在純彎曲狀態下，其跨中截面應變滿足平截面假定，鋼板與原梁始終保持緊密連接，未發生剝離，處于共同受力狀態，且鋼板與原梁均滿足胡克定律。由材料力學可寫出加固鋼板及原梁純彎曲的正應力為：

式中：E1、E2分別為鋼梁、原梁的彈性模量；ρ為曲率半徑；y為梁截面上點至中性軸的距離。由材料力學可得梁的靜力方程為：

式中：b為梁截面寬度。

把式（1）代入式（2）中可得拉伸區、壓縮區的高度分別為：

式中：h為原梁高度；t為鋼板厚度。

利用材料力學可知梁的彎矩平衡方程為：

式中：M（x）為梁截面彎矩。

把式（1）代入式（4）中可得：

利用式（1）、式（5）可得不考慮剪切影響彎曲應力為：

假設加固鋼板較薄，可認為梁截面剪力全部由原梁承擔。由材料力學可知圖1 所示受壓區（-h2≤y≤0）的剪應力為：

式中：Q為梁截面剪力；下腳2c 代表原梁的壓縮區。

為推導原梁拉伸區（0≤y≤h1）的剪應力，以圖2所示加固梁微段為例，梁截面左邊軸向拉力為：

圖2 加固梁微段Fig.2 Micro-section of reinforced beam

同理，圖2所示加固梁微段右邊軸向拉力為：

由于圖2 所示加固梁微段靜力平衡方程為：

把式（8）、式（9）代入式（10）中可得原梁拉伸區的剪應力：

下面討論剪切對均布載荷作用下加固梁的彎曲應力及撓度的影響。

由彈性理論可知剪應力、剪應變、橫向位移、軸向位移關系為：

式中：i＝1 代表鋼板，i＝2t代表原梁拉伸區，i＝2c代表原梁壓縮區；G2為原梁剪切彈性模量；ui為軸向位移；w為橫向位移。

把式（12）對y積一次分可得：

式中：Ci為待定常數。

加固梁的軸向位移連續條件為：

由于鋼板的剪應力τ1＝0，因此把τ1＝0、式（7）、式（11）代入式（13）中且利用式（14），可得加固梁的鋼板位移、原梁拉伸區位移、原梁壓縮區位移為：

考慮剪切影響時，可知加固梁的彎矩平衡方程為：

把式（16）代入式（17）中，可得加固梁彎曲微分方程為：

把式（18）代入式（16）中可得考慮剪切影響時，加固梁的彎曲應力公式為：

把式（19）對x積分可得考慮剪切影響時，加固梁的撓曲線表達式為：

式中：B1、B2為待定常數。

以圖1 所示簡支加固梁為例，利用式（19）、式（20）可得梁中點的最大彎曲應力及中點撓度分別為：

為了檢驗本文方法的計算精度，令E1＝0、t＝0、E2＝E、G2＝G，且利用可把式（21）、式（22）化為：

式（23）、式（24）與文獻［10］給出的結果是一樣的，而文獻［10］已利用彈性理論證明了式（23）、式（24）的計算精度是比較高的。

2 算例討論

為了討論剪切對均布載荷作用下加固梁彎曲變形的影響，下面以圖1 所示加固梁為例。加固梁的計算參數為：E1＝200GPa，E2＝10GPa，G2＝0.5GPa，b＝0.15m，h＝0.2m，t＝0.012m，［σ1］＝110MPa，［σ2］＝8MPa。

把加固梁計算參數代入式（21）、式（22）中可得：

把式（25）、式（26）計算的結果列在表1、表3 中，以便討論分析。由式（25）、式（26）可知等號右邊第一項皆為材料力學解，在表1、表3括號內的數據皆為材料力學解。計算方法所得到的應力及撓度與材料力學解的誤差分別列于表2、表3 中。

表1 梁中點應力（單位：N／m2）Tab.1 Mid-point stress of beams（unit：N／m2）

表2 梁中點應力誤差（單位：%）Tab.2 Mid-point stress error of beams（unit：%）

表3 梁中點的撓度（單位：m）Tab.3 Mid-point deflection of beams（unit：m）

對表1～表3 進行分析可知：在相同均布載荷作用下，隨著長高比的增大，梁中點的正應力、撓度也逐漸增大。本文方法考慮剪切影響時計算出鋼板的拉應力、原梁的壓應力均大于材料力學解，即使長高比n＝10 時（σ2t）max、（σ2c）max與材料力學解的誤差也超過了5%；本文方法考慮剪切變形影響時計算出梁中點撓度大于材料力學解，即使長高比n＝10 時與材料力學解的誤差也有40%以上。由以上分析可知，在均布載荷作用下剪切對梁撓度、正應力都有較大的影響，其中剪切對梁撓度的影響更大些。以上分析說明材料力學解存在偏于不安全的問題，還應考慮剪切的影響。

3 結論

1.相同均布載荷作用下，隨著長高比的增大，梁中點的正應力、撓度也逐漸增大。本文方法考慮剪切影響時計算出鋼板的拉應力、原梁的壓應力均大于材料力學解。

2.在均布載荷作用下剪切對梁撓度、正應力都有較大的影響，其中剪切對梁撓度的影響更大些。以上分析說明材料力學解存在偏于不安全的問題，建議還應考慮剪切的影響。