濾波辨識(8): 類多變量輸出誤差ARMA系統的濾波輔助模型遞階廣義增廣參數辨識

丁 鋒, 萬立娟, 欒小麗, 徐 玲, 劉喜梅

(1.江南大學 物聯網工程學院, 江蘇 無錫 214122;2.青島科技大學 自動化與電子工程學院, 山東 青島 266061)

濾波辨識理念是針對有色噪聲干擾(即相關噪聲干擾)隨機系統辨識提出的,通過對觀測數據進行濾波,使得有色噪聲干擾的系統轉化為一個白噪聲干擾的辨識模型。它不僅可用于有色噪聲干擾的標量系統、多變量系統、線性系統、非線性系統辨識方法的研究,而且可以結合輔助模型辨識思想、多新息辨識理論、遞階辨識原理等[1-7],以及梯度方法、最小二乘方法、牛頓方法,研究和提出系列遞推辨識方法和迭代辨識方法?！肚鄭u科技大學學報(自然科學版)》上的連載論文將濾波辨識理念與梯度方法和最小二乘方法相結合,研究了有限脈沖響應滑動平均系統、方程誤差自回歸系統、輸出誤差自回歸滑動平均系統濾波遞推辨識方法和濾波迭代辨識方法[8-14]。最近的連載論文研究了類多變量方程誤差自回歸滑動平均(M-EEARMA-like)系統的濾波遞階廣義增廣參數辨識方法,即類多變量受控自回歸自回歸滑動平均(M-CARARMA-like)系統的濾波遞階廣義增廣參數辨識方法[15]。

本研究利用濾波辨識理念、輔助模型辨識思想、遞階辨識原理、多新息辨識理論,研究類多變量輸出誤差自回歸滑動平均(M-OEARMA-like)系統,即類多變量Box-Jenkins (M-BJ-like)系統的濾波輔助模型遞階廣義增廣遞推參數辨識方法。相關工作參見文獻[2,7,16-27]。

1 類多變量輸出誤差ARMA 系統

考慮類多變量輸出誤差自回歸滑動平均模型(multivariable output-error ARMA-like model,MOEARMA-like模型),即類多變量Box-Jenkins(MBJ-like)模型描述的多變量系統[2,7]:

其中y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T∈?m為m維觀測輸出向量,u(t)∈?r為r維觀測輸入向量,v(t)=[v1(t),v2(t),…,vm(t)]T∈?m為m維白噪聲向量,α(z)和γ(z)為單位后移算子z-1的多項式,Q(z)和N(z)為單位后移算子z-1的多項式矩陣, 它們定義為

定義模型參數向量?和參數矩陣θ如下:

定義無噪輸出向量

進一步可以等價寫為

其中無噪輸出信息矩陣ψx（n,t）和輸入信息向量φu(t)定義如下:

定義輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(t):

用γ(z)N-1(z)作為濾波器,定義濾波無噪輸出向量xf(t),濾波輸出向量yf(t)和濾波輸入向量uf(t):

定義濾波無噪輸出信息向量φxf(t),濾波輸出信息向量φyf(t)和濾波輸入信息向量φuf(t):

進一步可以等價寫為

上式兩邊左乘γ(z)N-1(z)可得

將式(8)和(7)代入上式可得

由此可以得到類多變量輸出誤差ARMA 系統(1)的濾波遞階辨識模型:

其中信息矩陣ψ(t)和信息向量φ(t)定義如下:

對于類多變量輸出誤差ARMA 系統(1),系統輸入輸出數據為{u(t),y(t)},在濾波遞階辨識模型(11)中,只有信息矩陣ψ(t)中的輸出信息矩陣ψy(t)是已知的,而無噪輸出信息矩陣ψx(n,t)和ψx(nγ,t)是未知的,信息向量φ(t)中輸入信息向量φu(t)是已知的,而濾波輸出向量φyf(t)和φxf(t)是未知的。這是辨識的困難所在。因此必須借助輔助模型辨識思想,濾波辨識理念和遞階辨識原理,利用系統的觀測數據{u(t),y(t):t=1,2,3,…},通過對未知濾波輸入向量uf(t),濾波輸出向量yf(t)和xf(t),以及無噪輸出x(t)進行估算,研究M-OEARMA-like系統的濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣隨機梯度辨識方法、濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣遞推梯度辨識方法、濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣最小二乘辨識方法,來估計系統參數向量?和參數矩陣θ。

2 計算未知量的輔助模型

根據信息矩陣ψx(n,t)定義式的結構,用輔助模型的輸出向量定義無噪輸出信息矩陣ψx(n,t)的估計:

根據信息向量φxf(t)定義式的結構,用濾波輔助模型的輸出向量定義濾波無噪輸出信息向量φxf(t)的估計:

根據信息向量φyf(t)定義式的結構,用濾波輔助模型的輸出向量定義濾波輸出信息向量φyf(t)的估計:

根據信息向量φuf(t)定義式的結構,用濾波輔助模型的輸出向量定義濾波輸入信息向量φuf(t)的估計:

根據式(12),用信息矩陣ψx(n,t)和ψx(nγ,t)的估計和,以及輸出信息矩陣ψy(t)定義信息矩陣ψ(t)的估計:

根據式(13),用輸入信息向量φu(t),以及濾波輸出信息向量φyf(t)和φxf(t)的估和定義信息向量φ(t)的估計:

根據式(3)的結構,用參數估計向量,參數估計矩陣,信息矩陣和信息向量φu(t)定義估算x(t)的輔助模型:

可認為是x(t)的估計。根據定義式(7)的結構,用參數估計向量和,參數估計矩陣和,信息矩陣和,以及信息向量φu(t)和定義估算xf(t)的輔助模型:

可認為是xf(t)的估計。根據定義式(8)的結構,用參數估計矩陣,參數估計向量,濾波輸出信息向量和輸出信息矩陣ψy(t)定義估算yf(t)的輔助模型:

可認為是yf(t)的估計。根據定義式(9)的結構,用參數估計矩陣,參數估計向量,濾波輸入信息向量和輸入信息矩陣ψu(t)定義估算uf(t)的輔助模型:

可認為是uf(t)的估計。

因為濾波遞階辨識模型中涉及一些未知變量,如噪聲向量v(t-i),濾波輸入向量uf(t-i),濾波輸出向量yf(t-i),所以辨識方案需要采用遞推算法或迭代算法來交替估計參數向量和參數矩陣,以及涉及的未知變量。

3 濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機梯度辨識方法

基于濾波遞階辨識模型(11),定義準則函數

未知信息矩陣ψ(t)和信息向量φ(t)用其估計和代替,聯立式(14)～(19)和輔助模型(20)～(24),以及式(4)～(6),可以得到辨識類多變量輸出誤差ARMA 系統(1)對應的濾波遞階辨識模型(11)參數向量?和參數矩陣θ的輔助模型濾波遞階廣義增廣隨機梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HGESG 算法),或濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HGESG 算法)[7,20-21]:

從F-AM-HGESG 辨識算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階隨機梯度辨識算法。

1)當nγ=0和nn=0,即γ(z)=1和N(z)=1時,F-AM-HGESG 辨識算法(25)～(48)退化為類多變量輸出誤差(M-OE-like)系統的輔助模型遞階隨機梯度算法(auxiliary model hierarchical stochastic gradient algorithm,AM-HSG 算法)[20]。

2)當nγ=0,即γ(z)=1時,F-AM-HGESG 辨識算法(25)～(48)退化為類多變量輸出誤差滑動平均(M-OEMA-like)系統[25]的濾波輔助模型遞階增廣隨機梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical extended stochastic gradient algorithm,FAM-HESG 算法) 或輔助模型濾波遞階增廣隨機梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical extended stochastic gradient algorithm,AM-FHESG 算法)[7,20]。

3)當nn=0,即N(z)=1時,F-AM-HGESG 辨識算法(25)～(48)退化為類多變量輸出誤差自回歸(M-OEAR-like)系統[16]的濾波輔助模型遞階廣義隨機梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical generalized stochastic gradient algorithm,F-AMHGSG 算法), 或輔助模型濾波遞階廣義隨機梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical generalized stochastic gradient algorithm,AM-F-HGSG算法)。

4)讀者可以寫出類多變量輸出誤差自回歸滑動平均(M-OEARMA-like)系統[21,23,36]的加權濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機梯度(W-F-AM-HGESG)算法或加權輔助模型濾波遞階廣義增廣隨機梯度(W-AM-F-HGESG)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機梯度(FF-F-AM-HGESG)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣隨機梯度(AM-F-FF-HGESG)算法、加權遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣隨機梯度(W-FF-F-AMHGESG)算法或加權輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣隨機梯度(W-AM-F-FF-HGESG)算法。

F-AM-HGESG 算法(25)～(48)計算參數向量和參數矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設定初值。

2)采集輸入輸出數據u(t)和y(t)。用式(36)～(38)構造輸入信息向量φu(t),輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(t)。

4)用式(28)計算r(t),用式(26)計算新息向量e(t),用式(25)刷新參數估計向量,用式(27)刷新參數估計矩陣。

5)從式(43)的中讀出參數估計向量和,從式(46)的中讀出參數估計矩陣和。用式(39)～(42)計算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

4 濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機梯度方法

設p為新息長度?；贔-AM-HGESG 算法(25)～(48),根據多新息辨識理論[6,28],按照式(59)～(64)定義堆積輸出向量Y(p,t),堆積輸出矩陣Y1(p,t),堆積信息矩陣Φ(p,t),堆積信息向量Φ1(p,t),堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),將式(25)中信息矩陣擴展為堆積信息矩陣Ψ(p,t),新息向量e(t)擴展為一個大新息向量E(p,t),得到

將式(27)中信息向量擴展為堆積信息矩陣Φ(p,t),新息向量e(t)擴展為新息矩陣E1(p,t),得到

將式(28)中信息矩陣擴展為堆積信息矩陣Ψ(p,t),信息向量擴展為堆積信息矩陣Φ(p,t),得到

聯立式(49)～(53)和式(29)～(48),就得到辨識類多變量輸出誤差ARMA 系統(1)參數向量?和參數矩陣θ的輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣隨機梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-GESG 算法),或濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-GESG 算法)[7,20]:

從F-AM-HMI-GESG 辨識算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階多新息隨機梯度辨識算法。

1)當nγ=0和nn=0時,F-AM-HMI-GESG 辨識算法(54)～(80)退化為類多變量輸出誤差(MOE-like)系統的輔助模型遞階多新息隨機梯度算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation stochastic gradient algorithm,AM-HMISG 算法)[7]。

2)當nγ=0 時,F-AM-HMI-GESG 辨識算法(54)～(80)退化為類多變量輸出誤差滑動平均(MOEMA-like)系統的濾波輔助模型遞階多新息增廣隨機梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-ESG 算法),或輔助模型濾波遞階多新息增廣隨機梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-ESG算法)[7]。

3)當nn=0 時,F-AM-HMI-GESG 辨識算法(54)～(80)退化為類多變量輸出誤差自回歸(MOEAR-like)系統的濾波輔助模型遞階多新息廣義隨機梯度算法 (filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized stochastic gradient algorithm,F-AM-HMI-GSG 算法),或輔助模型濾波遞階多新息廣義隨機梯度算法 (auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized stochastic gradient algorithm,AM-F-HMI-GSG 算法)。

4)讀者可以寫出類多變量輸出誤差自回歸滑動平均(M-OEARMA-like)系統的加權濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機梯度(W-F-AM-HMIGESG)算法或加權輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣隨機梯度(W-AM-F-HMI-GESG)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機梯度(FF-F-AM-HMI-GESG)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣隨機梯度(AM-F-FFHMI-GESG)算法、加權遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣隨機梯度(W-FF-F-AM-HMIGESG)算法或加權輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣隨機梯度(W-AM-F-FF-HMI-GESG)算法。

F-AM-HMI-GESG 算法(54)～(80)計算參數向量和參數矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設定新息長度p,初值。

2)采集輸入輸出數據u(t)和y(t)。用式(72)～(74)構造輸入信息向量φu(t),輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(t)。

4)用式(59)和(60)構造 堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t),用式(61)和(62)構造 堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t),用式(63)和(64)構造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(58)計算r(t),用式(55)計算新息向量E(p,t),用式(54)刷新參數估計向量,用式(57)計算新息矩陣E1(p,t),用式(56)刷新參數估計矩陣。

6)從式(79)的中讀出參數估計向量和,從式(80)的中讀出參數估計矩陣和。用式(75)～(78)計算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出和。

5 濾波輔助模型遞階廣義增廣遞推梯度辨識方法

根據類多變量輸出誤差ARMA 系統(1)的濾波遞階辨識模型(11),定義準則函數。

仿照遞階梯度算法的推導[5,7],使用梯度搜索,極小化準則函數J2(?,θ),未知信息矩陣ψ(t)和信息向量φ(t)用其估計和代替,聯立式(29)～(48),便得到辨識類多變量輸出誤差ARMA 系統(1)參數向量?和參數矩陣θ的輔助模型濾波遞階廣義增廣遞推梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended recursive gradient algorithm,AM-F-HGERG 算法),簡稱為濾波輔助模型遞階廣義增廣梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended gradient algorithm,F-AM-HGEG 算法)[7,14]:

從F-AM-HGEG 辨識算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階遞推梯度辨識算法。

1)當nγ=0 和nn=0 時,F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化為類多變量輸出誤差(M-OElike)系統的輔助模型遞階梯度算法(auxiliary model hierarchical gradient algorithm,AM-HG 算法)[7]。

2)當nγ=0 時,F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化為類多變量輸出誤差滑動平均(M-OEMA-like)系統的濾波輔助模型遞階增廣梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical extended gradient algorithm,F-AM-HEG 算法),或輔助模型濾波遞階增廣梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical extended gradient algorithm,AM-F-HEG算法)[7]。

3)當nn=0 時,F-AM-HGEG 算法(81)～(104)退化為類多變量輸出誤差自回歸(M-OEARlike)系統的濾波輔助模型遞階廣義梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized gradient algorithm,F-AM-HGG 算法),或輔助模型濾波遞階廣義梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized gradient algorithm,AM-FHGG 算法)。

4)讀者可以寫出類多變量輸出誤差自回歸滑動平均(M-OEARMA-like)系統的加權濾波輔助模型遞階廣義增廣梯度(W-F-AM-HGEG)算法或加權輔助模型濾波遞階廣義增廣梯度(W-AM-FHGEG)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣梯度(FF-F-AM-HGEG)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣梯度(AM-F-FF-HGEG)算法、加權遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣梯度(WFF-F-AM-HGEG)算法或加權輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣梯度(W-AM-F-FF-HGEG)算法。

F-AM-HGEG 辨識算法(81)～(104)計算參數估計向量和參數估計矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設定新息長度p,初值i=1,2,…,p+max[n,nγ,nn],p0=106。給定參數估計精度ε。

2)采集輸入輸出數據u(t)和y(t)。用式(96)～(98)構造輸入信息向量φu(t),輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(t)。

4)用式(82)計算r1(t),用式(83)計算向量ξ1(t),用式(84)計算矩陣R1(t),用式(81)刷新參數估計矩陣?1(t)。

5)用式(86)計算r2(t),用式(87)計算向量ξ2(t),用式(88)計算矩陣R2(t),用式(85)刷新參數估計矩陣θ1(t)。

6)從式(103)的?1(t)中讀出參數估計向量和,從式(104)的θ1(t)中讀出參數估計矩陣和。用式(99)～(102)計算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

6 濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣遞推梯度方法

設正整數p為新息長度?；贔-AM-HGEG算法(81)～(104),根據多新息辨識理論[6,28],按照式(113)～(118)定義堆積輸出向量Y(p,t),堆積輸出矩陣Y1(p,t),堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),堆積輸入信息向量Φ1(p,t),堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),將式(81)～(84)中新息向量y(t)-擴展為一個大新息向量Y(p,t)-,輸出信息矩陣擴展為堆積輸出信息矩陣Ψ(p,t),得到式(105)～(108),再將式(85)～(88)中新息向量擴展為新息矩陣,輸入信息向量擴展為堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),得到式(109)～(112),聯立式(89)～(104),能夠得到辨識類多變量輸出誤差ARMA 系統(1)對應的濾波遞階辨識模型(11)參數向量?和參數矩陣θ的輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣遞推梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended recursive gradient algorithm,AM-F-HMI-GERG 算法),簡稱為濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended gradient algorithm,F-AMHMI-GEG 算法)[7,14]:

從F-AM-HMI-GEG 辨識算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階多新息梯度辨識算法。

1)當nγ=0和nn=0時,F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化為類多變量輸出誤差(M-OElike)系統的輔助模型遞階多新息梯度算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation gradient algorithm,AM-HMIG 算法)[7]。

2)當nγ=0時,F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化為類多變量輸出誤差滑動平均(M-OEMA-like)系統的濾波輔助模型遞階多新息增廣梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multiinnovation extended gradient algorithm,F-AMHMI-EG 算法),或輔助模型濾波遞階多新息增廣梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended gradient algorithm,AM-F-HMI-EG 算法)[7]。

3)當nn=0時,F-AM-HMI-GEG 算法(105)～(134)退化為類多變量輸出誤差自回歸(M-OEARlike)系統的濾波輔助模型遞階多新息廣義梯度算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized gradient algorithm,F-AMHMI-GG 算法),或輔助模型濾波遞階多新息廣義梯度算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized gradient algorithm,AM-F-HMI-GG 算法)。

4)可以寫出類多變量輸出誤差自回歸滑動平均(M-OEARMA-like)系統的加權濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣梯度(W-F-AM-HMI-GEG)算法或加權輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣梯度(WAM-F-HMI-GEG)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣梯度(FF-F-AM-HMI-GEG)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣梯度(AM-F-FF-HMI-GEG)算法、加權遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣梯度(W-FF-F-AMHMI-GEG)算法或加權輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣梯度(W-AM-F-FF-HMI-GEG)算法。

F-AM-HMI-GEG 辨識算法(105)～(134)計算參數估計向量?︿(t)和參數估計矩陣θ︿(t)的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設定新息長度p,初值。給定參數估計精度ε。

2)采集輸入輸出數據u(t)和y(t)。用式(126)～(128)構造輸入信息向量φu(t), 輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(t)。

4)用式(113)和(114)構造 堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t),用式(115)和(116)構造堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t),用式(117)和(118)構造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(106)計算r1(t),用式(107)計算向量ξ1(t),用式(108)計算矩陣R1(t),用式(105)刷新參數估計向量?1(t)。

6)用式(110)計算r2(t),用式(111)計算向量ξ2(t),用式(112)計算矩陣R2(t),用式(109)刷新參數估計矩陣θ1(t)。

7)從式(133)的?1(t)中讀出參數估計向量和,從式(134)的θ1(t)中讀出參數估計矩陣和。用式(129)～(132)計算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

7 濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘辨識方法

根據濾波遞階辨識原理,令J2(?,θ)分別對?和θ的偏導數為零,未知信息矩陣ψ(t)和信息向量φ(t)用其估計和代替,聯立式(89)～(104),便得到辨識類多變量輸出誤差ARMA 系統(1)參數向量?和參數矩陣θ的輔助模型濾波遞階廣義增廣最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized extended least squares algorithm,AM-F-HGELS算法),或濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized extended least squares algorithm,F-AM-HGELS算法)[7,20]:

從F-AM-HGELS辨識算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階最小二乘辨識算法。

1)當nγ=0和nn=0時,F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化為M-OE-like系統的輔助模型遞階最小二乘算法(auxiliary model hierarchical least squares algorithm,AM-HLS算法)[7,19-20]。

2)當nγ=0 時,F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化為M-OEMA-like系統的濾波輔助模型遞階增廣最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical extended least squares algorithm,FAM-HELS算法),或輔助模型濾波遞階增廣最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical extended least squares algorithm,AM-F-HELS 算法)[7,20]。

3)當nn=0 時,F-AM-HGELS 算法(135)～(157)退化為M-OEAR-like系統的濾波輔助模型遞階廣義最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical generalized least squares algorithm,FAM-HGLS算法),或輔助模型濾波遞階廣義最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical generalized least squares algorithm,AM-F-HGLS 算法)。

4)讀者可以寫出類多變量輸出誤差自回歸滑動平均(M-OEARMA-like)系統的加權濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘(W-F-AM-F-HGELS)算法或加權輔助模型濾波遞階廣義增廣最小二乘(WAM-F-HGELS)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘(FF-F-AM-HGELS)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣最小二乘(AM-FFF-HGELS)算法、加權遺忘因子濾波輔助模型遞階廣義增廣最小二乘(W-FF-F-AM-HGELS)算法或加權輔助模型濾波遺忘因子遞階廣義增廣最小二乘(W-AM-F-FF-HGELS)算法。

F-AM-HGELS辨識算法(135)～(157)計算參數估計向量和參數估計矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設定初值。

2)采集輸入輸出數據u(t)和y(t)。用式(149)～(151)構造輸入信息向量φu(t), 輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(t)。

4)用式(136)計算新息向量e(t),用式(137)計算增益矩陣L1(t),用式(138)計算協方差矩陣P1(t),用式(135)刷新參數估計向量,用式(140)計算增益矩陣L2(t),用式(141)計算協方差矩陣P2(t),用式(139)刷新參數估計矩陣。

5)從式(156)的中讀出參數估計向量和,從式(157)的中讀出參數估計矩陣和。用式(152)～(155)計算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

8 濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘方法

設p為新息長度。根據多新息辨識理論[6,28],基于F-AM-HGELS 算法(135)～(157),按照式(170)～(175)定義堆積輸出向量Y(p,t),堆積輸出矩陣Y1(p,t),堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),堆積輸入信息向量Φ1(p,t),堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t),將式(135)中新息向量e(t)擴展為一個大新息向量E(p,t),得到

將式(139)中新息向量e(t)擴展為新息矩陣E1(p,t),得到

式(137)～(138)中信息矩陣擴展為堆積信息矩陣Ψ(p,t),即式(164)～(165),式(140)～(141)中輸入信息向量擴展為堆積輸入信息矩陣Φ(p,t),得到式(168)～(169),聯立式(158)～(161)和(65)～(80),便得到辨識類多變量輸出誤差ARMA 系統(1)參數向量?和參數矩陣θ的輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized extended least squares algorithm,AM-FHMI-GELS算法),或濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized extended least squares algorithm,F-AM-HMI-GELS 算法)[7,20]:

從F-AM-HMI-GELS辨識算法,可以得到一些特殊的濾波輔助模型遞階多新息最小二乘辨識算法。

1)當nγ=0和nn=0時,F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化為M-OE-like系統的輔助模型遞階多新息最小二乘算法(auxiliary model hierarchical multi-innovation least squares algorithm,AM-HMILS算法)[7,20]。

2)當nγ=0時,F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化為M-OEMA-like系統的濾波輔助模型遞階多新息增廣最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation extended least squares algorithm,F-AM-HMI-ELS算法),或輔助模型濾波遞階多新息增廣最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation extended least squares algorithm,AM-F-HMI-ELS算法)[7,20]。

3)當nn=0時,F-AM-HMI-GELS算法(162)～(191)退化為M-OEAR-like系統的濾波輔助模型遞階多新息廣義最小二乘算法(filtered auxiliary model hierarchical multi-innovation generalized least squares algorithm,F-AM-HMI-GLS 算法),或輔助模型濾波遞階多新息廣義最小二乘算法(auxiliary model filtered hierarchical multi-innovation generalized least squares algorithm,AM-FHMI-GLS算法)。

4)讀者可以寫出類多變量輸出誤差自回歸滑動平均(M-OEARMA-like)系統的加權濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-F-AM-HMIGELS)算法或加權輔助模型濾波遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-AM-F-HMI-GELS)算法、遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘(FF-F-AM-HMI-GELS)算法或輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣最小二乘(AM-F-FFHMI-GELS)算法、加權遺忘因子濾波輔助模型遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-FF-F-AM-HMIGELS)算法或加權輔助模型濾波遺忘因子遞階多新息廣義增廣最小二乘(W-AM-F-FF-HMI-GELS)算法。

F-AM-HMI-GELS辨識算法(162)～(191)計算參數估計向量參數估計矩陣的步驟如下。

1)初始化: 令t=1,設定新息長度p,初值106。給定參數估計精度ε。

2)采集輸入輸出數據u(t)和y(t)。用式(183)～(185)構造輸入信息向量φu(t),輸出信息矩陣ψy(t)和輸入信息矩陣ψu(t)。

4)用式(170)和(171)構造堆積輸出向量Y(p,t)和堆積輸出矩陣Y1(p,t), 用式(172)和(173)構造 堆積信息矩陣Φ(p,t)和堆積信息向量Φ1(p,t),用式(174)和(175)構造堆積信息矩陣Ψ(p,t)和Ψ1(p,t)。

5)用式(163)計算新息向量E(p,t),用式(164)計算增益矩陣P1(t),用式(165)計算協方差矩陣L1(t),用式(162)刷新參數估計向量。

6)用式(167)計算新息矩陣E1(p,t),用式(168)計算增益矩陣L2(t),用式(169)計算協方差矩陣P2(t),用式(166)刷新參數估計矩陣。

7)從式(190)的中讀出參數估計向量和,從式(191)的中讀出參數估計矩陣和。用式(186)～(189)計算輔助模型的輸出,濾波輔助模型的輸出,和。

9 結 語

針對類多變量輸出誤差自回歸滑動平均(MOEARMA-like)系統,利用輔助模型辨識思想,濾波辨識理念和遞階辨識原理,研究和提出了濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣隨機梯度辨識方法、濾波輔助模型遞階(多新息)遞推廣義增廣遞推梯度辨識方法、濾波輔助模型遞階(多新息)廣義增廣最小二乘辨識方法。這些濾波輔助模型遞階廣義增廣辨識方法可以推廣到其它有色噪聲干擾下的線性和非線性多變量隨機系統中[30-44]。