基于“一心二融”的高等數學A(一)教學實踐
——以“閉區間上連續函數的性質”為例

李慧敏

(莆田學院 a.數學與金融學院;b.應用數學福建省高校重點實驗室,福建 莆田 351100)

高等數學A(一)是莆田學院理工科、新工科各專業在大一上學期開設的一門公共必修課,具有較強的邏輯性和抽象性。學生在學習本課程之前雖具備函數、導數和定積分的簡單概念,但莆田學院學生對這些知識的掌握和遷移能力略顯不足,特別是知識的綜合應用、證明方面較為薄弱,而且在學生印象中數學是枯燥的,學生對數學有畏懼感。課程自開設以來均采用傳統的線下教學模式,課堂上以教師講授為主。因顧及不同層次學生個性化需求、師生互動途徑及課程思政元素融入較少。在“雙一流”建設扎實推進的今天,積極推進高等數學教學改革,對實現更好的教學效果和學習效果具有重要意義。一方面,線上線下混合式教學模式能夠將在線教學和傳統教學兩者優勢相結合[1,2],重構傳統教學課堂,避免了課堂教學過程中過分使用講授而導致學生認知參與度不足,或者想要深入教學但時間又不夠等問題,可以引導學生由淺到深地進行深度學習,充分發揮教師主導和學生主體作用,提高師生課堂互動有效性,從而提高教學效率[3,4];另一方面,2016年12月,習近平總書記在全國高校思想政治工作會議上提出: 思想政治工作應貫穿于教育教學的全過程,各專業課程需要與思想政治課程同向同行,形成課程思政的協同效應[5]。而在教學過程中充分挖掘并有效地融入課程思政元素,是落實立德樹人這個根本任務的重要途徑[6]。因此,本文將以“閉區間上連續函數的性質”這一教學內容為例,探討如何通過線上線下混合式教學、借助中國大學MOOC平臺及慕課堂,引用國家級精品在線課程進行異步SPOC教學,實現貫徹以學生為中心的教學理念、促進信息技術與教育教學深度融合的同時,潛移默化地融入課程思政,從而達到知識傳授和能力培養的目的,提升高等數學A(一)的教學效果。

一、基于“一心二融”教學實踐的關鍵問題及解決方法

一心即以學生為中心,二融即信息技術與教育教學深度融合、專業知識與課程思政融合。因此,基于“一心二融”教學實踐的關鍵問題包括以下三個方面:

(一)如何貫徹以學生為中心

高等數學A(一)具有較強的理論性、抽象性、邏輯性,有一定的計算要求及應用性。因此教學過程中應以建構主義學習理論和OBE ( Outcome Based Education)教學理念為指導。明確教學目標,根據教學內容特點,選擇合適的教學模式讓學生更易掌握相關知識。如“最值問題”這類應用方面的知識和“有理函數的積分”,這類較難理解的知識采取純線下傳統課堂教學方式;“泰勒公式”這類在傳統課堂中因時間關系不能細講而導致學生掌握不好的知識和“極限存在準則及兩個重要極限”,這類內容較多但有部分較易理解的知識,則采用線上和傳統課堂結合的教學方法;而“導數的概念”這類高中已接觸過的知識和“閉區間上連續函數的性質”這類較易理解和掌握的知識,采用翻轉課堂教學模式。以問題、任務為驅動,做好學習服務支持,充分考慮學生學習的自主性和便捷性,對不同知識點制定不一樣的自主學習要求(如做筆記上傳討論區、完成相關練習等),特別是知識內容較多或較難的,為學生制定學習指南,使他們能夠更有效地學習,從而讓學生更好地理解和應用一元微積分的相關知識,培養學生抽象思維、邏輯推理和熟練的計算能力。

(二)如何促進信息技術與教育教學融合(包括線上和線下深度融合)

在教學實踐過程中有效利用智慧教學工具,根據知識的特點設計合適的教學流程。課前讓學生完成自主學習或預習任務(包括視頻教材學習并做筆記,完成練習、自主學習指南、小組討論及問卷)。課中教師利用教學PPT,適時結合線上教學視頻進一步延伸和補充,以教師講授、小組匯報、師問生答、生講師評、生講生評、答疑、邊講邊練及限時測試等方式引導學生歸納總結知識要點,鞏固加深對自主學習知識的掌握或學習新知識。課后讓學生查看拓展資料、慕課堂發布的問卷、討論話題及公告,學生根據發布的課后公告完成本節課的課后作業及查看下次課的任務安排,做好預習或自主學習等事宜,從而提高課堂互動和自主學習的有效性、學生的自主學習能力、有效溝通能力及團隊協作能力。

(三)如何做好課程思政

以立德樹人為指導做好課政結合,引導學生樂觀向上、積極思考、學以致用。線上課程討論區設置關于數學家小故事、章節知識的收獲、學習筆記、微積分發展歷程及應用(如新冠肺炎傳播的數學模型等)等討論話題,引導學生關注社會熱點、難點、痛點問題。線下課堂通過教師講授相關數學史、知識的內涵及思維導圖互評等方式引導學生對教學內容及學習過程中所蘊含的哲學思想進行提煉。增強學生的應用意識和興趣,激勵學生知行合一,培養學生的民族自豪感、創新精神和辯證思維,提高學生學習的積極性、主動性及人文素質。

二、基于“一心二融”的“閉區間上連續函數的性質”教學實施

(一)確定教學目標

根據“閉區間上連續函數的性質”這一內容的特點,確定知識教學目標為兩點:1.能描述出閉區間上連續函數的一些性質(包括最值性、有界性、零點定理及介值定理);2.會利用閉區間上連續函數的性質解決實際問題。

思政教學目標為三點:1.文化素養:引導學生善于觀察、挖掘數學特點,找到規律、發現數學的和諧及統一之美,培養學生的數學文化素養,培養學生用發展的眼光看問題、認識事物內部規律并進行創造性探索的能力;2.能力塑造:在教師的教學過程和學生的學習過程中進行科學素養培養,踐行社會主義核心價值觀,讓學生具有一定的抽象思維、邏輯推理、嚴密思考、熟練計算、自主學習及良好的團隊協作能力;3.學以致用:結合閉區間上連續函數性質的簡單生活應用,培養學生學習數學的興趣和應用意識,提升學生崇尚科學、探索未知、敢于創新的熱情,用科學知識、科學素養和態度去面對問題、解決問題。

(二)選擇教學策略

針對傳統教學課堂中存在的問題,考慮到“閉區間上連續函數的性質”這一教學內容的特點(知識點固定且相對簡單),以任務為驅動,采用線上線下混合式教學模式(翻轉模式),如圖1所示。在課堂教學環節突出學生對重要知識點的認識深化和融會貫通[7],通過提煉知識點“自帶”的思政元素、挖掘知識點“關聯”的思政元素,用來達成本節內容的思政教學目標,具體如表1所示。線上自主學習和線下課堂組織進行合理設計,促進信息技術與教育教學的融合(包括線上和線下的深度融合)、知識與思政的融合,進而達成教學目標。

表1 思政目標達成策略與方法

圖1 線上線下混合式教學模式(翻轉模式)

(三)設計教學過程

“閉區間上連續函數的性質”這一教學內容采用線上線下混合式教學(翻轉模式)的教學模式,教學過程的設計包括線上自主學習的設計和線下課堂組織的設計。

1.線上自主學習的設計

線上教學資源選擇中國大學MOOC平臺上的國家級精品在線課程,通過慕課堂“課外任務”的方式,發布清晰可執行的自主學習任務,并通過該功能查看學生是否完成相應學習,實現對學生的導學、督學;通過布置清晰可執行的自主學習任務(包括要實現的知識目標、觀看教學視頻、閱讀教材、完成相應練習),讓學生知道如何學習,克服對數學的畏懼,培養學生的自主學習能力及利用信息化手段獲取知識的能力。設置的自主學習練習中包含理論知識內容和相關的生活應用,練習以選擇題、判斷題的形式呈現,方便學生及時發現解題中存在的問題,同時也提醒學生在線下課堂上會請同學講解解題思路,在一定程度上減少學生不經思考隨機選擇答案的弊端。

2.線下課堂組織的設計

線上自主學習后的線下課堂組織要銜接線上的視頻教學資源,根據學生練習的正確率,通過提問學生、重點知識歸納拓展及例子講解,讓學生對閉區間上連續函數的性質有更深刻的認識。通過具體例子培養學生學以致用的意識,根據知識特點融入課程思政元素,按課前、課中及課后進行組織教學,形成閉環。具體如下:

(1)課前準備

告知學生這節課的具體安排流程及教學方式,特別強調練習將采用分組討論的方式完成,并約定組內每位成員都完成相應任務,每組在規定時間內完成任務記8分,組內只要有1位同學沒在規定時間內完成相應任務,則全組扣1分。教師選2名完成較好的同學進行講解,講解的同學額外加1分。

(2)課中知識內化、能力提升與情感共鳴

第一環節,進行知識的歸納與深化。通過隨機提問學生回答閉區間上連續函數的性質(最值性、有界性、零點定理和介值定理)的具體內容,并進一步拓展,通過具體例子強調這些性質成立的條件,同時根據定理的特點融入思政元素。如在講完“最值定理”時,結合圖像向學生分享生活感悟:“我們的人生是一條連續的曲線,那么在我們有限的生命內,肯定能達到屬于我們的巔峰時刻,但也肯定有陷入低谷的時候,我們要做的就是在巔峰時刻不驕不躁,在低谷時更要乘風破浪、奮勇前進”,培養學生積極向上的人生觀和價值觀。

第二環節,隨機提問學生回答視頻及自主學習練習中個別題目的解法,以此來檢測學生是否真正地自主完成了學習任務和掌握了相關知識。講授與生活相關的例子,初步體會數學建模思想,讓學生體會數學知識的應用。結合PPT歸納總結利用定理求解問題的基本方法和思路,加深對知識的理解和應用。通過引導學生注意由零點定理到介值定理的過程,讓學生體會從特殊到一般的數學思想方法;通過簡單的生活應用例子,引導學生認識生活中處處有數學。數學的邏輯、嚴謹性可以為我們進行科學的分析和作出正確的決策提供理論依據,讓學生初步理解數學建模思想,培養學生學習數學的興趣和學以致用的意識。

第三環節,給出相關題目進行分組討論練習,并請兩位完成較好的同學上臺講解解答過程并點評,教師選擇與實際相關的例子,在反饋學生學習情況的同時融入思政元素。通過分組練習,從具體的練習題拓展到數學上的理論、應用及名人故事,融入社會主義核心價值觀的教育,培養學生勇于創新的精神,同時讓學生明白貌似毫無關系的很多客觀現象,究其數學本質卻是一樣的,讓學生體會數學自身的優勢。如設置一道關于不動點的練習,即設函數f(x)在閉區間[0,1]上連續,并且對[0,1]上任一點x有0≤f(x)≤1。試證在[0,1]中必存在一點x0,使得f(x0)=x0(x0稱為函數f(x)的不動點)[8]。引導學生去發現這個函數可以看作是從一個區間到自身的連續映射,經過這樣的映射至少有一個點是保持不變的,稱之為一維不動點定理。以此拓展到布勞威爾不動點原理(包括1維及多維兩種情形)和巴那赫壓縮映像原理(它還適用于無窮維的情形),并引入實際生活中的不動點原理,如拉一根橡皮筋、咖啡拉花、北斗導航系統的定位服務等。借助名人故事,比如有經濟學家利用不動點理論解釋了一般均衡理論,經濟學家阿羅(Arrow)和德布魯(Debreu)還因此分別于1972年及1983年獲得了諾貝爾經濟學獎,激勵學生鍥而不舍、勇于創新。

第四環節,通過提問的方式進行內容小結,加強鞏固學生對所學知識內容的理解和掌握,并簡要布置下次課的學習任務。

(3)課后拓展、反饋與下一次任務

通過慕課堂的公告功能布置本次課的課后作業及下次課的具體學習任務和方法,發布關于閉區間上連續函數的性質生活實例討論話題及問卷,引導學生對所學知識進一步鞏固、思考和拓展。

(四)教學實踐成效

從課堂活動中可以看出,學生通過自主學習能熟練記住并清晰地表達出重難點知識,結合線下課堂教學,提高了對知識的理解程度并能更熟練應用這些知識解決實際問題,實現了教學目標,達到了知識與能力共同發展的目的。相較于傳統的純線下教學方式,基于“一心二融”的“閉區間上連續函數的性質”教學方式,更好地實現了知行意行的合一,主要成效體現在以下幾個方面:

1.根據知識特點及學生的水平,設置合適的線上自主學習任務,提供具體的自主學習方法,全班同學在線下課堂前均能完成自主學習和練習,提高了學生自主學習的有效性。

2.采用師問生答、生講師評的方式幫助學生梳理自主學習的知識要點,更好地將線上教學資源和線下課堂有機地結合起來,增強課堂互動的有效性,從課堂氛圍和學生的練習情況可以看出提高了學生對知識的理解程度。

3.采用分組討論的方式進行練習,培養了團隊協作意識及有效溝通能力;通過生練生講,提高了學生的語言表達能力。

4.通過提煉知識點“自帶”和挖掘與知識點“關聯”的思政元素,并在教學過程中有機地融入,引導學生樹立正確的人生觀、價值觀,培養學生探索創新的精神。

三、結論

在高等數學A(一)的教學實踐過程中,通過線上線下混合式教學,充分利用SPOC平臺,立足于學生的發展和教學的有效性,克服了以往采用純線下教學模式中存在的學生課上練習時間不足、對知識掌握的總體水平不是很好等問題。同時,適時融入課程思政,培養重心從“知識獲得”變成“能力培養”,讓學生從“知識接受者”轉變為“知識探索者”,從而提高教學效果。根據學期末的問卷調查,80%以上學生更喜歡混合式教法,94%以上的學生認為本課程的思政教育會對他們現在乃至以后的學習、生活和工作產生積極正面的影響。另外,課程思政建設是一個長期、持續的過程,不是簡單的“課程”加“思政”,要避免將德育內容生硬加入專業知識的傾向,兩者應有機融合、相互促進、協調發展[9],最終應該形成常態化的合理育人局面。