非等壓圓形巷道圍巖塑性分析

尚陽光，楊自友，高 鵬，張煜

（安徽建筑大學土木工程學院，合肥 230601）

引言

地下巷道的開挖會使圍巖產生塑性區，塑性區的大小和形態往往決定著圍巖的穩定性[1]。在多數情況下，圍巖應力計算過程中常常以雙向等壓為基本條件[2-3]，此時得到的塑性區形態都是圓形，但地下巖體一般都處于非等壓應力狀態，圍巖的塑性區形狀往往呈蝴蝶形、十字形或舌狀[4]。因此有必要研究非等壓巷道的圍巖塑性區特征，以便對實際工程提供理論參考。

在非等壓圓形巷道研究過程中，王衛軍等[5]和孫珍平等[6]用Mohr-Coulomb(M-C)強度準則，分別推導了支護反力和滲流力作用下的巷道圍巖塑性區邊界方程的近似解，但是M-C 強度準則本身并沒有考慮到中間主剪應力的影響，計算結果往往偏于保守。陳立偉等[7]和關曉迪等[8]運用統一強度理論推導出了塑性區邊界線方程式、圍巖應力和塑性區半徑解析解，但統一強度理論未能考慮最小主剪應力的影響。

高江平等[9]在雙剪統一強度理論的基礎上提出了三剪應力統一強度理論，該理論能夠考慮3 個主剪應力同時作用于材料的影響，是所有非凸性強度理論和外凸性強度理論的上限，且數學表達式簡潔，已經在工程理論的計算中得到了初步的應用[10-11]。本文基于該理論，推導出了非等壓圓形巷道的塑性區邊界方程式、圍巖應力以及塑性區半徑解析解，并結合工程實例，研究了側壓力系數和主剪應力參數對圍巖塑性區和應力的影響。

1 三剪應力統一強度理論

三剪應力統一強度理論認為：當作用于菱形十二面應力單元體上的正應力（σ13、σ12、σ23）及剪應力（τ13、τ12、τ23）的影響函數達到某一極限值時，材料的破壞才開始發生。此理論下的抗剪強度參數cs和φs由下式計算：

式中，φ0為巖體內摩擦角（°）；c0為巖體粘聚力（MPa）；c為最小主剪應力τ23和正應力σ23綜合影響的作用系數，取值范圍為[0～1.0]；b為中間主剪應力τ12和正應力σ12綜合影響的作用系數，取值范圍為[0～1.0]；m為中間主應力系數，在彈性區域，m=2ν（ν為泊松比）；在塑性區域，m=1。

三剪應力統一強度理論應力單元體如圖1所示。

圖1 菱形十二面應力單元體

根據參數b、c的不同取值，三剪應力強度理論可以退化成M-C 準則（b=0，c=0）、雙剪應力準則（b=1.0，c=0）、三剪應力準則（b=1.0，c=1.0）以及雙剪統一強度理論（0 ≤b≤1.0，c=0）。另外，當b、c分別取0～1.0 之間的其他值時，可以退化成一系列新的強度準則。

在平面應變問題中，當巖體處于塑性破環狀態時，m→1，且中間主應力σ2=(σ1+σ3)/2[12]。聯立式(1)～(3)，可以得到平面應變狀態下的三剪應力強度理論線性表達式：

在平面應變情況下，非均勻場中主應力和各應力分量之間的關系為：

式中，σθ為圍巖中任一點的環向應力（MPa）；σr為圍巖中任一點的徑向應力（MPa）；τrθ為圍巖中任一點的剪應力（MPa）。

聯立式(4)和式(5)，可得平面應變狀態下巖體的屈服方程：

2 非等壓圓形巷道圍巖塑性區求解

2.1 力學模型

針對平面應變下的非等壓圓形巷道，給出以下幾點假設：1)巷道的圍巖可以視為各向同性、連續、均勻的理想彈塑性材料；2)原巖應力為非等壓狀態，側壓力系數為λ，圍巖豎直應力為P0,水平應力為λP0，巷道半徑為R0，巷道的塑性區半徑為R，巷道圍巖中任意一點到巷道中心的距離為r，方位角為θ，范圍取[0°～90°]，支護阻力為Pi；3)忽略巷道影響范圍內的巖體自重，可以簡化成平面應變狀態。具體力學模型如圖2所示。

圖2 非等壓圓形巷道力學模型

2.2 非等壓巷道圍巖彈性狀態應力場

根據文獻[13]可知，當側壓力系數λ≠1.0時，對于深埋圓形硐室的彈性區圍巖應力，通常將其計算簡圖分解成軸對稱圍巖彈性應力狀態和反對稱圍巖彈性應力狀態。因此，非等壓巷道圍巖力學模型可轉化為兩種應力狀態的疊加，具體如圖3所示。

圖3 非等壓圓形巷道應力分解模型

將兩種應力場疊加,即可得巷道在非等壓下的圍巖彈性應力場為：

2.3 圍巖塑性區邊界線方程

目前對于非等壓圓形巷道塑性區的求解尚無理論解，國內外學者通常用近似解法來求解塑性區范圍，通過彈性理論求得圍巖應力。近似解法通常有近似隱式法和應力構造法兩種[15]，前者是將彈性圍巖應力代入塑性屈服條件，從而求出塑性區邊界方程來確定塑性區的范圍；后者是把塑性區的力學模型視為軸對稱平面應變問題，然后利用彈塑性交界面上應力分量連續的特點，得出塑性區邊界解。

近似隱式法所求的邊界方程雖然是一種近似解，但能在一定程度上反映圍巖塑性區形態，對于分析巷道圍巖塑性區形態有重大意義。本文采取此方法，推導出了圍巖塑性區邊界方程。

將式(10)代入式(6)中，可求出塑性區邊界線方程式為：

當側壓力系數λ=1.0 時，均布壓力作用于圍巖，邊界方程可以寫成：

由邊界方程推出均勻應力場下的圍巖塑性區半徑為：

2.4 非等壓圓形巷道圍巖彈塑性交界面應力

根據式(9)，出現塑性區時的非等壓圓形巷道彈性區應力場表達式可以寫成：

式中，σR為圍巖彈塑性分界面上的徑向應力。

當巷道任意一點半徑r=R時，由式(14)可以推出巷道圍巖彈塑性分界面處的應力表達式：

10名蘭德研究人員搬進荷蘭德爾夫特科技大學的辦公室。蘭德歐洲被稱為歐洲-美洲政策分析中心，其目標是創造一個獨特的永久性歐洲辦事處，它的首批舉措就包括聘請當地的研究人員。

聯立式(15)與式(6)，可以得出基于三剪應力統一強度理論的圍巖彈塑性交界面上的應力場表達式為：

2.5 非等壓巷道圍巖塑性區應力及半徑

非等壓圓形巷道圍巖的平衡微分方程為[17]：

支護反力作用下，圍巖應力邊界條件為：

聯立式(17)、式(18)和式(7)，可以得到基于三剪應力統一強度理論推出的塑性區應力表達式為：

當巷道圍巖任意一點半徑r=R時，由式(15)可知，彈塑性交界面處圍巖應力滿足如下關系式：

由于巷道圍巖彈塑性交界面上應力分量連續，將式(19)代入式(20)中，通過應力構造法，可推出非等壓圓形巷道圍巖塑性區半徑為：

3 算例分析

為了更好地分析側壓力系數和主剪應力系數對圍巖應力和塑性區的影響，以安徽淮南潘一東礦-848 m 充電整流硐室為例進行參數分析。該巷道基本力學參數如下：等效開挖圓巷道半徑R0=2.95 m，巷道圍巖粘聚力c0=2.89 MPa，內摩擦角φ0=27.83°，初始豎向地應力P0=28.86 MPa，巷道支護反力Pi=0.1 MPa。

3.1 不同側壓力系數下的塑性區形態和大小

將算例數據代入式(21)中，可得到在不同側壓力系數下圍巖塑性區形態如圖4所示。

圖4 不同側壓力系數下圍巖塑性區形態

以λ=0.7 和1.5 為例，分別研究側壓力系數在小于1.0 和大于1.0 的情況下巖體的主剪應力參數對非等壓圍巖塑性區大小的影響，具體如圖5所示。

圖5 不同主剪應力系數下圍巖塑性區大小

巷道圍巖塑性區范圍受中間主剪應力系數b值、最小主剪應力系數c值的影響，且b值、c值越大，圍巖塑性區半徑越小。從圖5(a)可見，當側壓力系數λ=0.7，θ=0°（巷道兩幫）時，b值、c值影響下的塑性區半徑變化最為明顯。以b=0、c=0為參照，b=1.0、c=0和b=1.0、c=1.0計算出的塑性區半徑分別減少了18.5%、51.8%。從圖5(b)可見，當側壓力系數λ=1.5，θ=90°（巷道頂板）時，b值、c值影響下的塑性區半徑變化較為明顯，也以b=0、c=0 為參照，b=1.0、c=0和b=1.0、c=1.0 計算出的塑性區半徑分別減少了24.5%、54.0%?？梢娫诜堑葔簯鲋?，主剪應力參數對水平和豎直方向上的塑性區范圍影響顯著。

3.2 巷道圍巖彈塑性交界面應力分布情況

同樣以λ=0.7 和1.5 為例，分別研究側壓力系數在小于1.0 和大于1.0 的情況下，巖體的主剪應力參數對非等壓圍巖彈塑性交界面上應力的影響。側壓力系數λ為0.7時，圍巖彈塑性交界面應力分布曲線如圖6所示。

圖6 λ=0.7時圍巖彈塑性交界面應力分布曲線

由圖6 可知，λ小于1.0 時，巷道圍巖彈塑性交界面上徑向應力、環向應力均受到b值和c值的影響，呈現出隨著b值、c值增大，徑向應力減小，環向應力增大的特點，并且彈塑性交界面上應力會隨著θ角的增大而減小。在θ=0°時，b值、c值影響下的圍巖應力差值最為明顯，以b=0、c=0為參照，b=1.0、c=0和b=1.0、c=1.0 計算出的徑向應力分別減小了16.4%、54.1%，環向應力分別增大了5.3%、20.0%。

側壓力系數λ為1.5時，圍巖彈塑性交界面應力分布曲線如圖7所示。

圖7 λ=1.5時圍巖彈塑性交界面應力分布曲線

由圖7 可知，巷道圍巖彈塑性交界面上徑向應力和環向應力均受到中間主剪應力系數b值和最小主剪應力系數c值的影響，同樣呈現出隨著b值、c值增大，徑向應力減小，環向應力增大的特點，且彈塑性交界面應力均會隨著θ角的增大而增大。在θ=90°時，b值、c值影響下的圍巖應力差值最為明顯，以b=0、c=0 為參照，b=1.0、c=0和b=1.0、c=1.0 計算出的徑向應力分別減小了17.9%、59.8%，環向應力分別增大了9.8%、26.9%。

3.3 公式退化分析

三剪應力統一強度理論可以通過改變b值、c值，退化為M-C 強度準則（b=0，c=0）、雙剪應力準則（b=1.0，c=0）和三剪應力準則（b=1.0，c=1.0）等一系列強度準則。為了更好地分析文中所求塑性區半徑的三剪應力系列解，取側壓力系數λ=1.0，分別代入式(13)、式(21)中，塑性區半徑隨b值、c值的變化情況分別見表1、2。其中表1給出了c取0，不同b值下的塑性半徑變化情況；表2 給出了b取1.0，不同c值下的塑性半徑變化情況。

表1 不同b值下的塑性區半徑計算結果 m

表2 不同c值下的塑性區半徑計算結果 m

從表1、2 可見，近似隱式法求得的塑性區半徑跟應力構造法求出的塑性區半徑差別較大，但隨著b值、c值的增大，兩者之間的誤差逐漸減小。從總體的計算結果來看，均勻應力場下的塑性區半徑隨著b值、c值的增大而減小，其中M-C 準則求出的塑性半徑最大，三剪應力準則所求的塑性區半徑最小，雙剪應力準則求出的塑性區半徑介于前兩者之間。M-C 準則計算出的結果偏于保守，三剪應力統一強度理論覆蓋了現有的各種強度理論，更符合巖體的實際受力情況，在工程中若一定程度上考慮主剪應力對巖體的影響，選取適當的b值、c值，可以得到更為經濟合理的方案。

4 結論

本文基于三剪應力統一強度理論，針對非等壓巷道圍巖開展塑性分析，推導出了巷道塑性區邊界線方程式、圍巖應力和塑性區半徑解析解，豐富了非均勻應力場下巷道圍巖的彈塑性分析理論計算方法，主要結論如下：

1）側壓力系數λ對彈塑性交界面應力和圍巖塑性區有著較大影響。當方位角θ處于第一象限時，若側壓力系數λ＜1.0，巷道塑性區半徑和應力隨著θ值的增大而增大，且在θ=90°時增加至最大；若λ＞1.0 時，兩者隨著θ值的增大而減小，在θ=90°時減小至最小。

2）中間主剪應力系數和最小主剪應力系數越大，圍巖的塑性區范圍就越小，尤其對非等壓巷道頂、底板和兩幫位置處的塑性區范圍影響顯著。

3）中間主剪應力系數和最小主剪應力系數越大，圍巖的彈塑性交界面上的徑向應力越小、環向應力越大。當中間主剪應力系數和最小主剪應力系數達到最大時，若側壓力系數λ＜1.0，巷道兩幫處圍巖應力差值達到最大；若側壓力系數λ＞1.0，巷道頂、底板處圍巖應力差值達到最大。