一類多參數不確定非線性級聯系統的自適應穩定控制

何秋錦, 張 健

(1. 廣州城市理工學院 計算機工程學院, 廣東 廣州 510800; 2. 鄭州大學 數學與統計學院, 河南 鄭州 450001)

不確定非線性系統因其系統模型的一般性,更符合實際工程建模的需要,一直都受到國內外學者的廣泛關注.有關該類系統的分析和綜合問題,目前已取得了很多有意義的研究成果,其中最為常見的控制設計方法有魯棒控制、自適應控制以及結合兩者優點的魯棒自適應控制[1].特別是Kanellakopoulos等[2]、張強等[3]、Liu等[4]提出的Backstepping方法,其利用系統的結構特性遞推構造整個系統的Lyapunov函數,使得控制器的設計結構化、系統化,已成為處理非線性系統控制問題的主要方法之一.該方法消除了經典無源設計中系統相對階為1的限制,放寬了系統非線性項的增長性條件和匹配性條件,能更有效解決具有下三角結構的非線性級聯系統[5]的控制設計問題.特別是,結合了自適應設計思想的自適應Backstepping方法可有效地處理系統中存在的不匹配不確定項,其將系統分解成若干個子系統,然后為每一個子系統設計相應的Lyapunov 函數、虛擬控制器以及適當的參數自適應更新律,迭代直至最終完成實際控制器的構造以確保整個閉環系統滿足預期的控制目標.

一般來說, 在系統建模過程中難免要考慮實際工程環境對系統的各種約束,例如常見的系統輸入飽和、狀態或輸出受限以及其他為了保證系統性能或安全提出的一些約束條件,如果在建模中不考慮這些約束條件, 將會降低所設計控制器的性能甚至破壞系統[6].此外,約束條件的提出不僅是因為實際工程的需要,而且也有理論上的必要,如在用人工神經網絡逼近未知函數時,須限制未知函數的自變量在一個有界集中以確保逼近的有效性[7].在處理非線性系統中的約束條件時,可考慮利用約束區間構造Backstepping方法中所需的Lyapunov函數,即所謂的障礙Lyapunov函數.不同于常見的在整個狀態空間上有定義且徑向無界的Lyapunov函數,障礙Lyapunov函數在受約束量趨向于約束區間邊界時,函數值將趨向于無窮大.故而,只要所構造的障礙Lyapunov函數沿著系統的軌跡是有界的,那么就可避免在系統運行中違背這些約束條件,從而保證受約束量始終在約束區間內.通常的障礙Lyapunov函數可分為對稱和非對稱兩種情形,后者可允許約束變量的初值約束區間是非對稱的.利用基于障礙Lyapunov函數的Backstepping方法,可解決輸出受限以及全狀態受限等多種情況下非線性系統的綜合問題,目前已有很多有意義的研究成果[8-10].

此外,實際工程系統中的執行器、傳感器或者部分組件難免會發生故障,這會造成系統性能惡化甚至于發生事故[11-13].系統容錯控制就是在考慮系統發生故障的情況下設計控制器,以提高系統可靠性并保證在所有可能情況下的系統穩定性.容錯控制一般可分為被動式和主動式,前者是一種針對先驗故障集的魯棒控制技術,而后者則是通過在線的故障檢測和診斷實時配置控制器,以維持整個閉環系統的穩定性以及實現預期的性能指標.容錯控制目前已經廣泛地應用到各類系統的控制設計中,特別是針對執行器故障模型,目前已取得很多豐富的結果[12-15].然而,在已有執行器故障相關文獻中[12-15],盡管涉及到自適應控制問題,但很少考慮系統受限的情況.正如前文所述,系統存在約束條件是難免的、必要的,在該情況下研究具有執行器故障的自適應控制問題是有理論和實際研究價值的.

因此,本文針對一類具有多個未知參數的非線性級聯系統,在系統具有狀態約束和執行器故障的情況下,研究其自適應狀態反饋穩定控制問題.具體而言,利用自適應Backstepping方法,基于系統的狀態反饋信息設計自適應控制器使閉環系統達到期望的穩定控制目標,即閉環系統的所有狀態有界,且原系統的狀態不僅滿足指定的受限約束條件,還漸近收斂于原點.值得指出的是,本文利用光滑投影算子設計系統未知參數的在線估計更新律,其可確保在Backstepping迭代設計中對參數更新律可導的要求[16-17],并能有效地處理由系統未知參數帶來的控制設計難點.通過基于Lyapunov函數的穩定性分析,證明所設計的自適應狀態反饋控制器達到預期的穩定控制目標.本文貢獻主要在于提出了一種有效地結合光滑投影算子、障礙Lyapunov函數的自適應設計策略,成功地解決一類具有執行器故障和全狀態受限的不確定非線性級聯系統的穩定控制問題.所得理論結果,拓展了魯棒自適應Backstepping設計方法的適用范圍,豐富了非線性控制設計理論.

1 問題描述及預備知識

本文考慮一類由以下微分方程組描述的多參數非線性級聯系統[5](Nonlinear Cascade System):

(1)

同時,考慮系統⑴存在執行器故障,即控制u為容錯控制器,具體的執行器故障模型如下:

u(t)=μ(t)ν(t)+δ(t)

不失一般性,類似于文獻[12-15],本文對執行器故障模型做如下假定:

具體而言,本文的控制目標是:設計適當的自適應狀態反饋控制輸入ν,以確保系統(1)對應的閉環系統所有狀態有界,狀態x滿足受限約束條件且漸近收斂到原點.為實現控制目標,必須處理系統(1)中未知向量參數θ帶來的設計困難.為此,本文引入如下基于光滑投影算子的自適應參數更新律:

2 非線性自適應狀態反饋穩定控制設計策略

本文采用Backstepping迭代設計框架解決系統(1)的自適應狀態反饋穩定控制問題.具體而言,基于李雅普諾夫(Lyapunov)穩定性分析理論,利用投影算子逐步設計虛擬控制器以及相應的參數更新律以保證每一步子系統的穩定性,并最終在第n步構造出整個系統的實際控制律v以確保閉環系統達到期望的控制目標.為此,首先引入如下坐標變換:

(2)

式中:αi,i=1,…,n-1是待設計的虛擬控制器,將在相應步的迭代設計中給出具體的表達形式.

步驟1取候選Lyapunov函數:

故基于變換(2)的定義,有

從而有式(3)成立:

(3)

注2選擇適當的虛擬控制器在Backstepping迭代設計中不可或缺,若系統維度n=1,即x2是待設計的控制輸入,則令x2=α1即可.然而x2是系統狀態,故迭代設計中引入變量z2=x2-α1作為變量x2對虛擬控制器α1的誤差,并在下一步中分析其動力學行為.

步驟2由于z2=x2-α1,故有

將系統(1)代入,可得

令候選Lyapunov函數:

則類似于步驟1可有式(4)成立:

(4)

(5)

式中:候選Lyapunov函數:

由系統(1)可知:

取候選Lyapunov函數:

(6)

可得

可得

即第i(3≤i≤n-1)步迭代設計完成.

步驟n由上面迭代設計可知,當i=n-1時,有式(7)成立,

(7)

式中:zn=xn-αn-1.故由系統(1)可知:

取候選Lyapunov函數:

則類似于前述步驟,由第一節給出的投影算子的性質2)并注意到u為容錯控制器,即u=μ(t)ν(t)+δ(t),可得

(8)

進而有

其中:σ(t)>0且σ(t)∈L[0,+∞),即

(9)

(10)

(11)

(12)

第n步的設計完成,基于上述迭代設計,給出如下定理以刻畫本文的主要結果.

證明對任意t>0,將式(12)兩邊在區間(0,t)上積分可得

(13)

?t≥0

(14)

此外,由式(13)以及參數ci(i=1,…,n)的選擇方式可知:

3 仿真算例

通過兩個算例仿真驗證本文所得理論結果的正確性和有效性.

算例1考慮以下二階非線性級聯系統

圖1 閉環系統狀態軌跡圖Fig.1 The trajectories of closed-loop system states

造控制器的作用下,閉環系統達到預期的控制目標.

算例2考慮如圖2所示的受控平面單擺系統[5],其動力學方程如下:

圖2 平面單擺系統

圖3 時的閉環系統狀態軌跡圖

圖4 時的閉環系統狀態軌跡圖Fig.4 The trajectories of closed-loop system states when

4 結論

本文解決了一類非線性級聯系統的自適應狀態反饋穩定控制問題.盡管系統存在向量參數化的不確定性、全狀態受限約束以及具有未知性的執行器故障,但通過構造適當的障礙Lyapunov函數和基于光滑投影算子的自適應設計方法,成功地為系統設計了一個自適應狀態反饋穩定控制器,其可確保閉環系統所有狀態在時間區間(0,+∞)上一致有界,且原系統狀態x(t)滿足約束條件且漸近收斂到原點.然而,需要指出的是,本文控制設計要求系統所有狀態都是可量測的,若僅系統輸出可測時,如何設計相應的自適應輸出反饋穩定控制器也是一個非常有意義的問題,這是進一步的研究方向.