邊界條件含特征參數的三階微分算子的自伴性和特征值的依賴性

林秋紅, 錢志祥

(廣東理工學院 基礎課教學研究部, 廣東 肇慶 526100)

眾所周知,機械振動、電路、聲學散射等物理上的問題,都涉及到求解微分算子的邊值問題[1-4].微分算子的邊值問題是微分算子理論的一個重要部分,特別是微分算子特征值的擾動問題,近年來引起了廣大學者的關注,并出現了許多有意義的研究成果.其中關于偶數階微分算子的情形,已經有了比較完善的結論[5-14].然而,關于奇數階微分算子的邊值問題,研究成果卻很少.近年來,Ugurlu[15]研究了一類三階微分算子分別在分離,實耦合和復耦合邊界條件下所產生的邊值問題,通過證明問題生成的微分算子是自伴算子得到特征值是實數,進一步研究了特征值關于問題的連續依賴和可微依賴性,得到了相應的微分表達式.同年,Ugurlu[16]考慮了具有轉移條件的情形并得到了類似的結論.在文獻[15]的基礎上,2020年,Li等[17]研究了邊界條件帶有譜參數的三階微分算子的自伴性以及格林函數,2022年,Bai等[18]進一步考慮了這類三階微分算子的特征值關于給定參數的連續性和可微依賴性.同年,孫康等[19]考慮了一類邊界條件含譜參數且具有轉移條件的三階微分算子,運用類似的方法證明了算子的自伴性.

在文獻[15-18]的基礎上,本文考慮一類具有轉移條件且邊界條件帶有特征參數的三階微分算子的自伴性及特征值的連續性和可微性.通過構造相應的Hilbert空間和線性算子T,運用算子理論證明了問題生成的線性算子T是自伴算子,進一步得到問題的特征值是實數,在這個基礎上,考慮了特征值和特征函數的連續性,研究了特征值關于邊值問題參數的可微性,并得到了相應的微分表達式.

1 預備知識

考慮如下三階對稱微分方程:

(1)

兩端具有特征參數的分離型邊界條件:

轉移條件:

式中:-∞

q0,q1,p0,p1,w∈Lloc(J,R),q0>0,w>0

參數αk,βk(k=1,2,3,4)及d1,d2是任意的實數,并且滿足:

(8)

定義y的擬導數如下[20]:

(9)

(10)

式中

Lmaxy=l(y)y∈Hw

最大算子域為

對任意的y,z∈Dmax,通過分部積分可得Largrange恒等式

(11)

式中

(12)

通過擬導數的定義,可將微分方程(1)轉化為以下一階系統

Y′+QY=λWYx∈J

(13)

令直和空間H=Hw⊕C⊕C,對任意F=(y(x),h1,h2)T,G=(z(x),k1,k2)T∈H,hi,ki(i=1,2)均為復數,在空間H中定義內積如下:

(14)

式中:ρ1=1/τ1,ρ2=1/τ2.

顯然H是一個Hilbert空間.定義算子T如下:

式中

(15)

為了簡便,令

(16)

即

因此,可通過在H中討論微分算子方程TF=λF研究邊值問題(1～7).

2 算子T的自伴性

由以上算子T的定義,顯然有如下結論.

引理1邊值問題(1～7)的特征值與T的特征值相同,特征函數是算子T相應特征函數的第一個分量.

引理2算子T的定義域D(T)在H中是稠密的.

證明這與文獻[19]定理2.1的證明過程類似,因此省略.

定理1線性算子T是對稱的.

證明設任意的F=(y(x),M1(y),M2(y))T,G=(z(x),M1(z),M2(z))T∈D(T),由式(10,11)可得

(17)

由邊界條件、轉移條件,式(12,16)可得

由式(12)和式(17,21)得〈TF,G〉-〈F,TG〉=0,因此算子T是對稱的.

定理2線性算子T是自伴的.

證明由于算子T是對稱的,要證明T在H中是自伴的,只需證明:若對任意的F=(y(x),M1(y),M2(y))T∈D(T),有〈TF,G〉=〈F,U〉成立,則G∈D(T),且TG=U.其中G=(z(x),m1,m2)T,U=(u(x),n1,n2)T,即

1)z(x),z[1](x),z[2](x)∈ACloc(J),l(z)∈Hw;

2)m1=M1(z)=α1z(a)-α3z[2](a),m2=M2(z)=d1β1z(b)+d2β3z[2](b);

3)Liz=0(i=3,4,5,6);

4)u(x)=l(z);

5)n1=N1(z)=-α2z(a)+α4z[2](a),n2=N2(z)=-d1β2z(b)-d2β4z[2](b).

下面證明1)～5)成立.

即

〈l(y),z〉w=〈y,u〉w

由經典算子理論[21]可得,z(x)∈D(T),故1)成立.

因為算子T是對稱的,所以有〈TF,G〉=〈F,TG〉,再由上述F的取法可得 〈l(y),z〉w=〈y,l(z)〉w,結合〈l(y),z〉w=〈y,u〉w,得到〈y,l(z)〉w=〈y,u〉w,即l(z)=u.故4)成立.

再由4)可知,對任意的F∈D(T),〈TF,G〉=〈F,U〉,又〈TF,G〉=〈F,TG〉,故有

于是,有

結合式(11)可得

(22)

為了方便,下面記

由Naimark Patching Lemma[22]可知,存在(y1(x),y11,y12)∈D(T),使得

Y1(b)=Y1(c-)=Y1(c+)=0

代入式(22)可得m1=α1z(a)-α3z[2](a).

類似的,存在(y2(x),y21,y22)∈D(T),使得

Y2(a)=Y2(c-)=Y2(c+)=0

代入式(22)可得

m2=d1β1z(b)+d2β3z[2](b)

所以2)成立.利用同樣的方法,可證5)成立.

下面證3)成立.選取(y3(x),y31,y32)∈D(T),使得

代入式(22)可得L3z=0.用同樣的方法,可以得到L4z=L5z=L6z=0.則3)成立.

綜上所述,線性算子T在H中是自伴的.

由算子T的自伴性,可得下面推論.

推論1算子T的特征值是實的,并且沒有有限的聚點.

推論2設λ1和λ2是算子T的兩個不同的特征值,(u1(x),u11,u12)和(u2(x),u21,u22)分別為其對應的特征函數,則u1(x)和u2(x)在下述意義下是正交的:

3 特征值和特征函數的連續性

首先根據常微分理論中解的存在唯一性定理[17]給出邊值問題(1～7)特征值存在的充分必要條件.

為了方便,將邊界條件(2～4)寫成矩陣形式,即

式中

下面給出特征值所滿足的判別函數.

設φ11(x,λ),φ12(x,λ),φ13(x,λ)是微分方程(1)在區間[a,c)滿足初始條件:

的線性無關的基本解組,其中E是三階單位矩陣.它的Wronski行列式與變量x無關,且是關于特征參數λ的整函數,記為W1(λ),則

設φ21(x,λ),φ22(x,λ),φ23(x,λ)是微分方程(1)在區間(c,b]滿足初始條件(5～7)的線性無關解,它的Wronski行列式與變量x無關,且是關于特征參數λ的整函數.

其中ci∈C(i=1,2,…,6).若u(x,λ)滿足轉移條件,則c1=c4,c2=c5,c3=c6.

現在區間J=[a,c)∪(c,b]上定義函數

其中

x∈[a,c)

x∈(c,b]

這里Φ1(c,λ)=Φ(c-,λ),Φ2(c,λ)=Φ(c+,λ).對任意的x∈J,Φ(x,λ)是關于λ的整函數.

引理4一個復數λ是算子T的特征值當且僅當λ滿足Δ(λ)=det(Aλ+BλΦ(b,λ))=0.稱Δ(λ)=det(Aλ+BλΦ(b,λ))為判別函數.

證明結合引理3,通過與文獻[19]定理3.1的類似證明,可得結論成立.

下面引入Bananch空間及相應的范數.

X=L(J)×L(J)×L(J)×R5×M2×2(R)×M2×2(R)

對任意的ω=(p0,p1,ω,θ,a,b,c-,c+,A,B)∈Ω?X,在空間X的范數定義為

其中

引理5設ζ∈J=[a,c)∪(c,b],y=y(·,ζ,c0,c1,c2,p0,p1,p2,w)是微分方程(1)和(13)滿足條件y[j](ζ,λ)=cj(j=0,1,2.)的解,則該解對其所有的變量都連續.

證明由一階系統(13)和文獻[23]定理 2.7可得結論.

定理3設λ=λ(ω)是算子T的特征值,對ω0=(p00,p10,w0,θ0,a0,b0,c0-,c0+,A0,B0),有λ=λ(ω)在ω0處連續.即對任意的ε>0,存在δ>0,使得對任意的ω∈Ω,當

‖ω-ω0‖=

|θ-θ0|+|a-a0|+|b-b0|+|(c-)-

(c0-)|+|(c+)-(c0+)|+

‖A-A0‖+‖B-B0‖<δ

有|λ(ω)-λ(ω0)|<ε.

證明這與文獻[18 ]定理3.2的證明過程類似,因此省略.

引理6設ω0=(p00,p10,w0,θ0,a0,b0,c0-,c0+,A0,B0)∈Ω,λ=λ(ω)是算子T的一個特征值.若λ(ω0)是單重特征值,則在Ω中存在ω0的某鄰域U(ω0),滿足對?ω∈U(ω0),λ(ω)是單重特征值.

證明若λ(ω0)是單重特征值,則Δ′(λ(w0))≠0.因為Δ(λ)是λ的整函數,由定理3可知結論成立.

定義1設u(x)滿足邊值問題(1～7),u1=M1(u),u2=M2(u)且有

成立,則稱(u(x),u1,u2)T為規范化特征函數.

定理4設λ=λ(ω)(ω∈Ω)是Ω內ω0的某個鄰域內所有ω的n(n=1,2,3)重特征值.若

(uk(x,ω0),uk1(ω0),uk2(ω0))∈H(k=1,2,3)

證明首先證明λ=λ(ω)(ω∈Ω)是算子T的單重特征值時結論成立.

設λ=λ(ω0)是算子T的單重特征值,(y(x,ω0),y1(ω0),y2(ω0))∈H是其對應的特征函數,且滿足:

由引理6知,存在ω0的鄰域M,滿足對?ω∈M,λ(ω)是單重特征值.由定理3知:

當ω→ω0時,λ(ω)→λ(ω0)成立.

令邊界矩陣(Aλ,Bλ)3×6(ω)=(Aλ(ω),Bλ(ω))3×6,則當ω→ω0時,(Aλ,Bλ)3×6(ω)=(Aλ,Bλ)3×6(ω0).由文獻[5]中定理3.2可知,當ω→ω0時,存在特征值λ(ω)對應的特征函數(y(x,ω),y1(ω),y2(ω))∈H,使其第一個分量y(x,ω)在區間J上滿足:

(23)

再由式(15,16)可得,當ω→ω0時,

y1(x,ω)→y1(x,ω0),y2(x,ω)→y2(x,ω0)

(24)

下面令λ(ω0)對應的規范化特征函數(u(x,ω0),u1(ω0),u2(ω0))T及第一個分量的擬導數u[k](x,ω0)(k=1,2)分別為

類似的,令λ(ω)對應的規范化特征函數(u(x,ω),u1(ω),u2(ω))T及第一個分量的擬導數u[k](x,ω)(k=1,2)形式分別為

由式(23,24)知結論成立.

設特征值λ(ω)關于ω0的某一鄰域內所有ω的重數為n(n=2,3).由定理3和文獻[6]中定理3.5可知,當ω→ω0,存在n個線性無關的特征函數

(yk(x,ω),yk1(ω),yk2(ω))∈Hk=1,…,n

使其第一個分量yk(x,ω)在區間J上滿足:

通過類似上面的討論可得定理的結論.

4 特征值的可微性

定義2[6]設Γ是Banach空間X到Banach空間Y上的映射,若存在有界線性算子dΓx:X→Y,對h∈X,當h→0時,有

|Γ(x+h)-Γ(x)-dΓ(h)|=ο(h)

則稱映射Γ在點x處是Fréchet可微的.

引理7[6]假設函數f∈Lloc(J),則

定理5設ω=(p0,p1,w,θ,a,b,c-,c+,A,B)∈Ω,λ=λ(ω)是算子T的特征值,(y(x,ω),y1(ω),y2(ω))∈H是其對應的規范化的特征函數.E為單位矩陣,S為2×2實數矩陣.若λ(ω)在ω的某一鄰域內的幾何重數不變,則λ關于方程系數函數p0,p1,權函數w,邊界條件參數θ和特征參數依賴的邊界條件矩陣A、B都是可微的且導數公式如下:

1) 固定ω中除p0之外的所有變量,令λ=λ(p0)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

h∈L(J)

2) 固定ω中除p1之外的所有變量,令λ=λ(p1)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

h∈L(J)

3) 固定ω中除w之外的所有變量,令λ=λ(ω)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

h∈L(J)

4) 固定ω中除θ之外的所有變量,令λ=λ(θ)為特征值,則λ是Fréchet可微的,有

5) 固定ω中除邊界條件參數矩陣A之外的所有變量,令λ=λ(A)為特征值,且det(A+S)=-τ1,則λ是Fréchet可微的且有

6) 固定ω中除邊界條件參數矩陣B之外的所有變量,令λ=λ(B)為特征值,且det(B+S)=-τ2,則λ是Fréchet可微的且有

證明為了方便,對于給定的參數γ,令λ=λ(γ)和λ=λ(γ+h)所對應的規范化特征函數分別為

(25)

式中

(26)

1) 固定ω中除p0之外的所有變量,令λ=λ(p0)和λ=λ(p0+h)所對應的規范化特征函數分別為F(p0)和G(p0),F(p0)和G(p0)具體如式(25,26).

由空間H上內積定義可得

由式(1)和分部積分法,可得

(27)

(28)

(29)

(30)

由式(18,19,27～30)可得

(31)

由擬導數的定義(9)可知:

把式(32)和(33)代入式(31),可得

因此,1)成立.

2) 固定ω中除p1之外的所有變量,令λ=λ(p1)和λ=λ(p1+h)所對應的規范化特征函數分別為F(p1)和G(p1),類似1)的方法,由分部積分法可得

因此,2)成立.

3) 固定ω中除w之外的所有變量,令λ=λ(w)和λ=λ(w+h)所對應的規范化特征函數分別為F(w)和G(w),F(w)和G(w)具體如式(25,26),則有

由式(1,25,26)可知:

i[q1z′+(q1z)′]+p1z}

i[q1y′+(q1y)′]+p1y}

因此有

(34)

由式(18～21,34)可得

因此3)成立.

4)～6)與文獻[18]定理4.1證明過程類似,因此省略.

定理6設ω=(p0,p1,ω,θ,a,b,c-,c+,A,B)∈Ω,λ=λ(ω)是算子T的特征值,(y(x,ω),y1(ω),y2(ω))∈H是其對應的規范化的特征函數.若λ(ω)在ω的某一鄰域內的幾何重數不變,則λ關于內部不連續點c左右兩側c1,c2和邊界點a,b是可微的且導數公式如下:

1) 固定ω中除c1之外的所有變量,令λ=λ(c1)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

λ′(c1)=Y*(c1)KY′(c1)

2) 固定ω中除c2之外的所有變量,令λ=λ(c2)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

λ′(c2)=-d1d2Y*(c2)KY′(c2)

3) 固定ω中除a之外的所有變量,令λ=λ(a)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

λ′(a)=-Y*(a)KY′(a)

4) 固定ω中除b之外的所有變量,令λ=λ(b)為特征值,則λ是Fréchet可微的且有

λ′(b)=d1d2Y*(b)KY′(b)

證明1) 固定ω中除c1之外的所有變量,令λ=λ(c1)和λ=λ(c1+h)所對應的規范化特征函數分別為F(c1)和G(c1),F(c1)和G(c1)具體如式(25,26),則有

(35)

注意到當h→0時,

由引理7可知:

所以對式(35)兩邊同時除以h,并取極限h→0,得

因此1)成立.

2) 固定ω中除b之外的所有變量,令λ=λ(b)和λ=λ(b+h)所對應的規范化特征函數分別為F(b)和G(b),F(b)和G(b)具體如式(25)和(26),則有

(36)

注意到當h→0時,有

由引理7可知:

因此對式(36)兩邊同時除以h,并取極限h→0,得

因此4)成立.

2),3)的證明同1),4)類似.