“瞬時速度”的兩種教學序列探討
——基于學習心理學角度

丁潤康，陳 剛

華東師范大學教師教育學院，上海 200062

人教版高中《物理》必修一“位置變化快慢的描述——速度”一節在瞬時速度概念的獲得過程中，有一句話“當Δt 非常非常小時，運動快慢的差異可以忽略不計，此時，我們就把叫作物體在時刻t 的瞬時速度”［1］。對于教材中的這句話，學生可能會產生疑問——多大的Δt 才是非常非常小的？瞬時速度概念實際上是位置關于時間函數的導數，但是初升高一的學生并沒有對導數進行系統的學習，作為替代需要使用極限推理的方法引導學生獲得相應結論。

對于瞬時速度概念的獲得，通常存在兩種教學序列，一個是從位置－時間函數入手，另一個則是從位置－時間圖像入手，兩種序列均是合乎邏輯的，同時二者又具備著各自的優勢以及不足之處。本文將從學習心理學的角度出發，通過教學任務分析的手段，分析兩種教學序列各自的主要結論以及結論獲得經過的邏輯過程，基于此分析兩種序列的優勢以及不足，并從易于學生理解的出發點給出一種結合兩種序列的教學方案。

1 基于學習心理學的物理概念與規律的信息加工機制

學習心理學通過研究人類的學習機制提出，學生的學習過程是其內部對信息進行加工的過程，并遵循相應的信息加工機制，符合學生學習機制的教學才是真正有效的教學［2］。

1.1 物理概念與規律的結論獲得的邏輯機制

學生在學習物理概念或規律時，總是通過實驗歸納或者理論分析的途徑，并經歷一系列邏輯的信息加工過程獲得結論。符合邏輯的信息加工方式包括穆勒五法（求同法、差異法、共變法、求同求異法和剩余法）以及演繹推理，學生通過以上的信息加工過程可以建立物理量之間的因果聯系，并由此完成對物理概念與規律的學習［3］。

瞬時速度教學的主要結論分別是通過共變法、演繹推理以及極限推理的信息加工方式獲得的。

共變法的運用同樣需要提供若干個場合，這些場合中只有一個先行條件發生變化，被研究的現象同樣發生變化，如此便可以推斷該先行條件與被研究的現象之間存在因果聯系，其結構如表1 所示。

表1 共變法的結構

演繹推理策略是通過已知的具備一般性的前提得出有關特殊性知識的結論的一種推理方式，其最基本的形式是三段論，由大前提、小前提以及結論三個命題構成，其結構如表2 所示。

表2 三段論演繹推理的結構

極限推理的運用需要已知物理量隨著一個先行條件的連續單調變化而同時出現連續單調變化，假設該條件連續單調變化直至達到一個理想的極限狀態，這個極限狀態往往在現實中難以或者無法實現，可以推測被研究的物理量同樣隨之發生連續單調變化并達到對應的一種極限狀態［4］。

1.2 教學任務分析

教學任務分析，可以將一個較為復雜結論的獲得，分解成一系列子結論的獲得，并且梳理完成獲得各子結論的序列以及學習者的必備技能。其重點在于確定教學活動需要獲得的結論，以及對應的一系列子結論，同時需要對子結論獲得所經歷的邏輯過程進行分析，并據此給出學習者參與教學活動的必備技能。根據教學任務分析，教師可以篩選出服務于結論獲得的信息并進行合理有序的呈現，引導學生通過邏輯過程最終習得對應的學習結果。

2 “瞬時速度”兩種教學序列的教學任務分析

2.1 瞬時速度教學需要獲得的主要結論

從位置-時間函數入手的子結論：

從位置-時間圖像入手的子結論：

子結論b-1：x-t 圖像上A，B 兩點間平均速度的大小可以用割線AB 的斜率表示。

子結論b-2：當B 點逐漸靠近A 點時，割線AB 也逐漸向A 點切線靠近。

子結論b-3：當A，B 兩點重合時，割線AB也與A 點切線重合。

子結論b-4：當Δt 趨近于0 時，x-t 圖像上A，B兩點間的平均速度的大小可以用過A 點的切線斜率表示為一個定值。

2.2 結論建立的邏輯過程

2．2．1 從位置－時間函數入手的教學序列

教師可以隨意列出一個表示物體位置x 與時刻t 關系的運動函數，如x（t）=t2-3t+7。取由時刻t 到時刻t+Δt 內的一段時間，則物體對應的位移Δx 可以用x（t+Δt）-x（t）得到。隨意取一個時刻t=1 s，分別在Δt=1 s，0.5 s，0.1 s，0.01 s，0.001 s的條件下計算出位移Δx 以及平均速度的值。

表3 運用共變法獲得子結論a-1

遵循極限推理的邏輯方法，對子結論a-1進行極限處理，可以得到子結論a-2：當Δt 趨近于0 時，即t+Δt 十分接近t 時，平均速度的值等于一個定值。

2．2．2 從位置－時間圖像入手的教學序列

教師在位置－時間圖像上隨意繪制一條曲線，并在其上任意取A，B 兩點，如圖1 所示。讓學生找出x-t 圖像中蘊含的A，B 兩點之間的時間ΔtAB以及位移ΔxAB的信息，并借此進一步找到A，B 兩點之間的平均速度在x-t 圖像上的表示方式。

圖1 位置－時間圖像（x-t 圖像）

遵循三段論的演繹推理的邏輯過程，得出子結論b－1：x-t 圖像上A，B 兩點間的平均速度的大小可以用割線AB 的斜率表示。

表4 運用演繹推理獲得結論

第二步，將“平面直角坐標系中直線斜率為縱坐標的變化量與橫坐標的變化量的比值”作為大前提，得到“割線AB 的斜率為，即”。

第三步，將“平均速度vAB的大小與割線AB的斜率大小相等”作為大前提，得到子結論b－1：x-t 圖像上A，B 兩點間的平均速度的大小可以用割線AB 的斜率大小表示。

將B 點逐漸向A 點靠近來縮小兩點的時間間隔Δt，如圖2 所示，并引導學生識別割線AB隨之發生的變化。遵循共變的歸納方法，獲得子結論b－2，其邏輯過程如表5 所示。

圖2 x-t 圖像（取曲線上B1，B2，B3 三點）

表5 運用共變法獲得子結論b－2

遵循極限推理的邏輯方法，對子結論b－2 進行極限處理，當B 點與A 點非?？拷?，直至重合時，獲得子結論b－3：當A，B 兩點重合時，割線AB 也與A 點切線重合。

遵循三段論的演繹推理的邏輯過程，將此前獲得的子結論b－1 和b－3 作為大前提，可以得出子結論b－4：當Δt 趨近于0 時，x-t 圖像上A，B兩點間的平均速度的大小可以用過A 點的切線斜率的大小表示為一個定值。

2.3 兩種教學序列的分析

通過教學任務分析，兩種教學序列均能夠通過符合邏輯的方式引導學生獲得結論，但是二者在具體的結論建立過程中，對學生提出的要求有所不同。

從位置-時間函數入手的教學序列，對于學生而言不具有學習難點。學生易于通過具體的數值獲得隨Δt 變化，并據此進行極限推理。當Δt 不斷減小，趨近于0 時平均速度的值等于一個定值，從而習得瞬時速度的概念。其結論獲得的邏輯過程中選取的函數，雖然是隨意選取的，但由于子結論是針對選取的函數通過相應的邏輯過程獲得的，與具體的數值存在比較強的關聯，而對于其他運動狀態物體的位置-時間函數是否成立未知，需要通過類似的邏輯過程進行證明，普遍性稍弱。該教學序列適合學習基礎稍弱的學生。

從位置-時間圖像入手的教學序列，學生首先需要將平均速度轉化為x-t 圖像上的割線斜率，通過共變法以及極限推理得到子結論后，還需要經過將割線斜率返回到平均速度的過程。相比于從位置-時間函數入手的教學序列，學生需要額外具備與位置-時間圖像相關的識圖能力，同時增加了速度與割線斜率進行轉化的過程，教學過程更加復雜繁瑣，而且給學生帶來的思維負擔也更重。但是，由于位置-時間圖像屬于隨意繪制的一條曲線，同時圖像上的各點同樣是隨意選取的，具備相對較強的普遍性。該教學序列適合學習基礎較強的學生。

3 結合兩種序列的教學詳案

從學生易于理解的角度來看，位置-時間圖像的部分內容適合置于瞬時速度的概念學習之后，作為平均速度以及瞬時速度在圖像上的表示這一部分內容供學生學習，學生在理解瞬時速度的概念之后，更加容易理解瞬時速度以x-t 圖像上對應點的切線斜率表示。

本文接下來將選取位置-時間函數作為出發點，在學生習得瞬時速度概念之后，通過與從位置-時間圖像入手的教學序列類似的邏輯過程，引導學生習得瞬時速度在位置-時間圖像中的表示方式，并以教學問題鏈的形式提供一種啟發式教學的詳案。

3.1 瞬時速度的概念（從位置－時間函數入手）

生：可以采用物體在某一時刻附近的很小一段時間內的平均速度來近似表示物體在該時刻的速度。

師：我們來分析一下同學們的想法是否可行。要求平均速度需要知道哪些物理量？

生：物體運動的一段時間Δt 以及這段時間內的位移Δx。

師：我們隨意取一個物體的運動過程，其位置x 與時間t 存在關系：x（t）=t2-3t+7。取由t 到t+Δt 的一個時間段，這個時間段內物體的位移如何表示？

生：末位置坐標值減去初位置坐標值，即Δx=x（t+Δt）-x（t）。

師：該時間段內的平均速度怎么表示？

師：現在我們要將時間段縮短并接近時刻t，那么Δt 應怎樣？

生：非常小。

師：怎么做到非常小呢？隨意取某一個時刻，比如在時刻t=1 s 時，我們先分別取Δt=1 s，0.5 s，0.1 s，0.01 s，0.001 s，不斷將Δt 變小，觀察這段時間內的平均速度的值是怎樣變化的（表6）。

表6 位置－時間函數的各數據隨Δt 的變化

生：隨著Δt 的變小，平均速度在不斷接近一個定值（子結論a-1）。

師：按照同學們的想法，我們讓Δt 不斷減小，使得Δt 無限小，甚至等于0，同學們認為此時的平均速度會怎么樣？

生：平均速度會等于那一個定值（子結論a-2）。

師:經過分析，當Δt 無限小，趨近于0 時，即t+Δt 十分接近t，平均速度會成為一個定值，可以把此時的平均速度稱為物體在時刻t 的瞬時速度，大小就等于這一個定值。

3.2 瞬時速度在位置－時間圖像上的表示方式

師：一個物體的位置與時間的關系，除了位置－時間函數以外，還能以位置－時間圖像的形式表示出來。物體位置變化的快慢可不可以在x-t圖像上表示出來？

生：相同的橫坐標變化，即相同的時間間隔內，位置變化越大，表現為縱坐標變化大。物體位置變化快，則整體圖像會“陡”一些。

師：x-t 圖像能夠表現物體位置變化的快慢，那么也就是說，它能夠體現出物體的速度，具體是如何表示的？ 比如說這里有一個x-t 圖像（如圖1），這條曲線上面任取A，B 兩點，如何表示兩點之間的平均速度？ 根據平均速度的定義來思考。

師：因為A，B 兩點是任取的，所以可以證明x-t 圖像上任意兩點之間的平均速度可以用經過兩點的割線的斜率表示。那么，瞬時速度又是如何表示的呢？ 首先回想一下，我們是如何獲得瞬時速度的概念的？

生：平均速度隨著Δt 的減小而不斷接近一個定值，在極限情況下，當Δt 趨近于0 時，平均速度就等于那個定值，此時的就是物體在時刻t 的瞬時速度。

師：我們要求瞬時速度在x-t 圖像的表示方式，同樣可以遵循這一套步驟。第一步需要做什么？

生：減小Δt 的值。

師：我們可以將B 點逐漸向A 點靠近，依次取B1，B2，B3三個點（如圖2），滿足Δt 逐漸減小。接下來做什么？

生：觀察平均速度即割線斜率隨Δt 的變化。

師：發現隨著Δt 的變小，割線逐漸向A 點的切線靠近（子結論b－2）。接下來——

生：取極限情況，當Δt 趨近于0 時，割線就成為A 點的切線（子結論b－3）。

師：此時平均速度就是物體在A 點對應時刻的瞬時速度vA。那么，A 點的瞬時速度在x-t圖像中如何表示？

生：A 點的瞬時速度就是x-t 圖像上該點的切線斜率（子結論b－4）。

師：因為A，B 兩點是隨意選取的，所以x-t圖像上的任意一點的瞬時速度可以用該點的切線方向表示。

4 總 結

對于瞬時速度概念獲得的兩種教學序列，從學習心理學角度運用教學任務分析的手段，對各自需要獲得的主要結論及其邏輯過程進行分析，得到了以下結論：從位置－時間函數入手進行教學，學生相對易于理解，但是由于獲得結論的過程只對選取的函數有效，降低了結論的普遍性；而從位置－時間圖像入手進行教學，其主要結論的獲得過程適用于位置－時間坐標系上的任意一條曲線，普遍性相對更高，但是需要學生對速度與圖像上對應的割線或切線的斜率進行轉換，在一定程度上又增加了學生的理解難度。

為便于學生理解，對于“位置變化的快慢——速度”一節“瞬時速度”部分的教學可以選擇從位置－時間函數入手，經歷對應的邏輯過程習得瞬時速度的概念以及在位置－時間圖像中的表達方式，從符合學生學習機制的角度進行教學。