空溝對彈性波散射的時域分析：平面SV 波入射

周鳳璽，梁玉旺，朱順望

（1.蘭州理工大學土木工程學院，甘肅 蘭州 730050；2.西部土木工程防災減災教育部工程研究中心，甘肅 蘭州 730050）

引言

地基振動控制已經成為巖土工程領域亟待解決的課題之一。在地面設置屏障（空溝和填充溝［1-3］、排樁［4-8］、波阻板［9-12］）能夠減弱振動波向被保護區傳播，且地面屏障具有造價低、施工方便、不影響建筑物和波源等優點?？諟媳徽J為是隔振效率最高的屏障，被廣泛應用于隔振工程中。國內外學者對空溝的隔振效果也進行了大量的試驗研究和理論分析。在試驗方面：Woods［3］關于近場和遠場中空溝隔振問題進行了一系列現場原位試驗，提出用振幅衰減比來評價屏障的隔振效果。Ahmad 等［13］和Klein等［14］通過現場試驗對空溝尺寸和位置對隔振性能的影響進行了研究，為隔振設計提出了一些指導原則。之后，Ulgen 等［2］，Celebi 等［15］，Murillo 等［16］研究了激振荷載作用下荷載頻率、土層參數、屏障尺寸等參數對空溝和填充溝隔振規律的影響。在數值模擬方面：Saikia 等［17］利用有限元程序PLAXIS 對簡諧波載荷作用下的空溝隔振問題進行了數值分析。Shrivastava 等［18］通過三維有限元模型研究了空溝和填充溝幾何尺寸對Rayleigh 波的隔離效果的影響?；谶吔缭?，Emad 等［19］分析了任意形狀二維淺溝的隔振效果，發現只有在中頻范圍內淺溝可以減少25%的地基擾動，且空溝形狀對隔振效果的影響較小。巴振寧等［20-21］采用2.5 維間接邊界元方法（IBEM）研究了空溝對層狀飽和地基中列車移動荷載的隔振性能。Andersen 等［22］和Adam 等［23］則借助邊界元-有限元耦合法分析了列車荷載作用下空溝尺寸和位置對隔振效果的影響。結合薄層法和邊界元法，文獻［24-25］分析了二維和三維黏彈性層狀地基中空溝的隔振效果，結果表明地基分層參數對空溝隔振效果的影響顯著。Hamidi 等［26］通過對連續打樁過程中的地面振動進行有限元建模，分析了空溝深度和寬度等關鍵參數對隔振效果的影響。Zhou 等［27］通過完美匹配層來模擬無窮遠幅射邊界條件，利用二維頻域有限元方法研究了空溝-波阻板的隔振性能。在理論分析方面：徐平等［28］和周鳳璽等［29］基于復變函數理論和保角映射方法，通過波函數展開法分別給出了單空溝和多空溝對平面SH 波隔離的理論解答。

綜上，針對空溝隔振的研究主要集中在對不同載荷以及不同地層等條件下的相關分析，但是關于空溝對彈性波隔離的時域分析鮮有研究。比例邊界有限元法是在無限域彈性動力學問題模擬研究的過程中逐步發展起來的數值模擬方法［30-31］，它只需離散邊界而徑向嚴格解析，不需要基本解且能自動滿足無窮遠處輻射邊界條件。該方法目前在研究半無限空間中彈性波散射問題方面已有很多應用［32-34］。本文基于比例邊界有限元方法（Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM），通過土-結構相互作用原理將含有空溝的場地問題分解為近場系統和無限遠場系統；將無窮遠處斜入射的平面SV 波轉化為作用在近場系統邊界上的等效節點力，利用四叉樹對近場計算區域進行網格精細化離散，建立了時域-空間域中彈性波傳播問題的數值模型。分析了空溝對不同入射角平面SV 波的隔離效果。

1 比例邊界有限元法基本公式

采用SBFEM 建立空溝對彈性波隔振問題的計算模型如圖1 所示。將問題域（圖1（a））分解為有界近場系統和無限遠場系統（圖1（b））。通過近/遠場交界面處的相互作用力將兩個部分聯系起來。

圖1 彈性波入射半空間計算模型Fig.1 Calculation model of elastic wave incident half space

近場系統的SBFEM 動態剛度矩陣方程為［31-32］：

式中ω為圓頻率；S(ω)為動態剛度；E0，E1，E2和M0為有限元組裝元素的系數矩陣，詳細表達式如下：

式中B，D和J分別為應變位移轉換矩陣、材料本構矩陣和雅可比矩陣；N(η)為SBFEM 單元邊界形函數；ρ(η)為質量密度；η為SBFEM 的環向坐標。

遠場系統的SBFEM 動態剛度矩陣方程可類似地表達為［31-32］：

式中M，K和C分別為近場系統的質量矩陣、靜力剛度矩陣和阻尼矩陣，其中，下標“s”表示近場域內部的節點，下標“b”表示近/遠場交界面上的節點；分別為節點的總位移、總速度和總加速度，其中ut(t)由散射位移場us(t)和自由位移場uf(t)組成；Ft(t)為總的力場?？刹捎肗ewmark-β法對方程（4）進行求解：

式中Fs(t)和Ff(t)分別為由散射位移場us(t)和自由位移場uf(t)引起的力場。

式中t和τ分別為持續時間和離散時間。

現階段混合動力汽車主要有4種類型，如表1所示。壓縮天然氣、液化石油氣和天然氣是燃氣汽車的主要燃料，與傳統的普通汽車相比，其二氧化碳排放量得到了大大的降低，并且能夠造成空氣污染的有害氣體也明顯減少，有利于資源節約和環境保護。

將式（7）代入式（6）進一步得：

近/遠場交界面上的相互作用力可表示為：

式（7）～（9）中關于時間的卷積積分詳細計算見文獻［31，35］。

2 平面SV 波的輸入

考慮平面SV 波以入射角θ1入射半平面，當入射角θ1小于臨界角θc時，入射波遇到自由表面會產生反射SV 波和反射P 波；當入射角θ1大于臨界角θc時，入射波遇到自由表面僅產生反射SV 波［36］，如圖2（a）所示。

圖2 平面SV 波入射半空間示意圖Fig.2 Schematic diagram of plane SV wave incident half space

由圖2（b），觀測點P 處的自由場運動可表達為：

式中ν為半空間土體介質的泊松比。

假定入射平面SV 波波前到達C(x0，y0)點的時刻為t=0，則入射SV 波、反射SV 波和反射P 波在交界面上任意觀測點P(x，y)處的分量可分別表達為關于時程響應g(t)的激勵函數［32-33，37］：

式中H為近場區域的高度。

由彈性力學中胡克定律幾何方程，可得到應力-位移的關系：

式中σ(x，y)為應力張量；D為半空間土體介質的本構矩陣；ε(x，y)=L(u)為應變張量，其中，L 為微分算子，u為位移張量。

自由場運動在近/遠場交界面上產生的等效節點力可由交界面上的單元形函數和表面牽引力確定［32-33］：

式中N為近/遠場交界面上單元的形函數；為單元表面牽引力；ds為單元表面；n為單元節點的外法向量。將式（10）代入式（14）可得自由場應力張量σf。

3 算例分析

通過比例邊界有限元法，實現了SV 波在半無限空間中的輸入問題。本節將給出兩個數值算例，第一個算例研究了入射平面SV 波在自由場（不含空溝）中的運動位移情況，便于與文獻［36］的解析解進行對比，以驗證本文方法及編程計算的正確性；第二個算例研究了空溝（溝寬為w，溝深為h）對彈性波的散射，用以分析平面SV 波入射下空溝對彈性波的隔振效果。

3.1 自由場

將近場區域截取為矩形，其寬度為100 m，高度為50 m，自由場的近場區域通過四叉樹網格離散，網格大小為0.625 m＜λf/10（λf為主剪切波波長），如圖3（a）所示。該區域能夠保證觀察到平面SV 波入射下彈性波入射和反射的運動過程。假定半空間為均勻的、各向同性的彈性介質，其物理屬性如表1所示。

表1 彈性半空間的物理屬性Tab.1 Physical properties of the elastic half-space

圖3 近場區域四叉樹網格離散Fig.3 Near-field region quadtree grid discretization

選用Ricker 子波作為時程響應函數：

式中Amax，f和t0分別為時程最大幅值、傅里葉譜主頻率和位移達到峰值的時間，并分別取值為Amax=0.001 m，f=10 Hz 和t0=0.5 s，則主剪切波波長為λf=9.2 m。函數g(t) 的位移時程和頻率如圖4所示。

圖4 脈沖激勵的時程響應和頻率響應Fig.4 Time history response and frequency response of impulse excitation

取入射角θ1=20°，由圖5 給出了平面SV 波入射自由場時水平位移隨時間變化的情況。從圖5 中可以明顯看出，輸入平面SV 波的入射角經測量為20°，當入射波遇到地表邊界時產生了反射SV 波和反射P 波，并且反射SV 波的反射角測量值為20°，反射P 波的反射角測量值為26.5°，與式（11）的計算結果一致。說明本方法可以有效地模擬彈性波在半無限空間中的傳播。

圖5 平面SV 波入射自由場時的位移云圖Fig.5 Displacement cloud diagram of plane SV wave incident in free field

為進一步驗證本文計算精度的可靠性，取平面SV 波入射角為20°，以圖3（a）中的點A，B 和C 作為觀測點，繪制水平位移時程響應圖如圖6 所示，并與文獻［36］進行對比。從圖6 中可以明顯看出，兩者計算結果非常吻合，說明本文方法精度滿足計算要求。

圖6 半空間中觀測點A，B 和C 處的位移響應Fig.6 Displacement response at observation points A，B and C in half space

3.2 空溝對彈性波的散射

同樣假定半無限空間為均勻的、各向同性的彈性介質，介質的物理屬性如表1 所示。將近場區域截取為寬度為100 m、高度為50 m 的矩形，以保證能夠觀察到空溝對彈性波的隔離情況。近場區域的網格離散如圖3（b）所示，其中網格大小為0.625 m＜λf/10。為了說明空溝對彈性波的隔振情況，取空溝寬度w=1 m，深度h=8 m，入射角θ1=20°，不同時刻的水平位移響應云圖如圖7 所示。從圖7 中可以看出，當彈性波遇到空溝邊界時，空溝前側的位移被放大（t=1.15 s）；隨著彈性波的進一步傳播，空溝前側有左行波產生（t=1.3 s），這是由于空溝對彈性波的散射、反射等作用所致，這種作用會減弱彈性波的傳播，從而達到對彈性波的隔振作用。

圖7 不同時刻的水平位移響應云圖Fig.7 Cloud diagram of horizontal displacement response at different time

為了進一步分析不同入射角和空溝深度對隔振性能影響，將其他參數歸一化到空溝寬度，并引入位移衰減比AR來評價空溝的隔振效果：

其中，AR值小于1 時說明有隔振效果，且AR值越小隔振效果越好。

3.2.1 入射角的影響

不同h/w取值下，入射角對隔振性能的影響規律如圖8 所示。從圖8 中可以看出，當入射角θ1=0°時，即入射波垂直于地表面入射，由于空溝對彈性波的散射作用，靠近空溝周邊位置處的位移被放大，空溝沒有隔振效果；空溝對入射角較大的彈性波更容易起到反射和散射等作用，因此，隨著入射角的增大，靠近空間前側位置處的位移放大現象越來越明顯，同時空溝后側位移響應明顯減小了。說明空溝對入射角較大的彈性波有更好的隔振效果。

圖8 入射角對空溝隔振性能的影響Fig.8 Effect of incidence angle on the vibration isolation performance of the open trench

3.2.2 空溝深度的影響

不同θ1取值下，空溝深度對隔振性能的影響規律如圖9 所示。從圖9 中可以看出，當入射角θ1=0°時，靠近空溝周邊位置處的位移放大現象隨著深度的增大而增大，這是因為深度越大，空溝對彈性波的散射效率越高；靠近空溝前側周邊位置處振幅衰減比AR隨著深度的增大而明顯增大，空溝后側的振幅衰減比AR隨著深度的增大而明顯減小，即隔振效果更好，這是因為深度越大，彈性波越容易被空溝所阻隔。

圖9 深度對空溝隔振性能的影響Fig.9 Effect of depth on the vibration isolation performance of the open trench

4 結論

本文基于SBFEM 理論，將問題域劃分為近場系統和無限遠場系統，利用四叉樹對近場計算區域進行網格精細化離散；利用位移單位-脈沖響應矩陣表示近場和遠場交界面上的相互作用力；將無窮遠處斜入射的平面SV 波轉化為作用在近場系統邊界上的等效節點力，建立了半無限空間中空溝對彈性波隔離問題的數值模型。通過數值計算，得出了以下結論：

（1）入射角對隔振效果的影響非常明顯，隨著入射角增大，空溝隔振效果越來越好。

（2）當入射角較小時，可以通過增大空溝深度來提高空溝的隔振效果。

（3）隨著深度的增大，越靠近空溝周邊位置處位移放大現象越明顯，實際工程中應根據隔振需求開挖合理的深度，以減少護壁耗資。