極值方法在中學數學解題中的應用

呂實戰

【摘? 要】? 近年來，隨著中學數學教學改革的深入及主題單元教學的提出，更強調知識點之間的聯系.本文主要研究利用高等數學的思想方法構造初等數學的解題方法，而極值方法是初等數學和高等數學的銜接知識點之一.本文借助極值方法研究中學數學中最值問題的解法，從而進一步探究不同知識板塊之間的聯系.

【關鍵詞】? 高中數學；極值方法；解題技巧

近年來，隨著中學數學教學的改革，微積分、概率、空間向量等高等數學的知識點被引入中學數學教育．這給中學數學教學帶來新的挑戰，也為中學數學解題策略帶來新的方向，高等數學中的一些解題方法為初等數學問題的解決提供了更為廣闊的空間．最值問題廣泛滲透在中學數學各知識塊，最值問題的求解是中學階段的一個主要內容，不但需要有扎實的基礎知識，而且需要較高的運算技巧，因而是較難突破的內容，而極值方法的引入為解決這類問題帶來新方向.

1? 極值簡介

1.1? 無條件極值

對于函數的自變量除了定義域內的限制，再無其他條件限制，這類極值問題稱為無條件極值問題.以下簡要介紹二元無條件極值的求解、判斷過程.

求函數極值的基本步驟：

（1）解方程組求得定義域內的所有駐點；

（2）對于每一個駐點，求出二階偏導數的值，，

；

（3）算出的符號，判斷是否為極值，極大值還是極小值.

1.2? 條件極值

條件極值是指在一定的約束條件下求解極值的問題，其中拉格朗日乘數法是最常用的方法之一.在中學階段有很多具有實際背景的問題，通過數學建模轉化為二元函數求最值的題型，用中學所學知識解決較為困難或運算難度大，這類問題一般可轉化為在一定約束條件下求解最值問題，從而通過條件極值解決這一類問題.以下簡要介紹求解二元條件極值的拉格朗日乘數法.

用拉格朗日乘數法求解函數在約束條件下條件極值的基本步驟：

（1）作輔助函數；

（2）設，

則

（3）解上述方程組，可得駐點；

（4）判斷駐點是否為條件極值點.若是實際問題，由實際問題判斷；若不是實際問題，可由二階微分判斷.

這樣把求解函數在約束條件下的條件極值問題轉化為函數的無條件極值問題.該方法可推廣到多元最值問題.

2? 無條件極值在中學數學解題中的應用

距離、面積等最值問題是中學數學學習中的常見題型，也是考試中的高頻考點.以下引進極值法來嘗試求解這類問題.

例1? 在直角坐標平面上求一點，使它到三直線的距離平方之和為最小.

解法1? 設所求點為，

則到三直線距離為，

則距離平方和為：，

構造恒等式：，

其中為點到坐標原點的距離與到直線的距離之和，猜測要最小，最小，而的最小為坐標原點到直線的距離，此時點在過坐標原點且垂直直線的直線上，

則，

整理得，

所以當時最小，

則使最小的點為.

解法2

求得唯一可能極值點，根據問題本身可知，距離平方和最小的點必定存在，所以所求點即為.

上述解法1為中學階段的解法，可看出運算技巧性很強，過程繁難，解題過程中還用到合理猜想，對學生要求太高，可操作性低；解法2為極值法求解，解題過程較簡單，可操作性強.

例 2? 直線過點且與軸正半軸相交于點，與軸正半軸相交于點，為坐標原點，

（1）當三角形的面積取最小時，求的方程；

（2）當取最小時，求的方程.

解法1? （1）設直線的斜率為，由于直線與軸正半軸相較于點，與軸正半軸相較于點，因此，由點斜式知直線方程可表為.

令可得點坐標；

令可得點坐標；

因此三角形的面積可表示為

因為，所以，

由基本不等式得，

因此

且當，

即時，

此時可得直線方程為，

化簡得..

（2）的值可表示為

（3）

因為，

所以.

當且僅當，即時，取得最小值，此時可得直線方程為，

化簡得.

解法2? （1）設直線的斜率為，由解法一知三角形的面積可表示為

令，可得唯一駐點.

又，

故函數在時取極小值.

因駐點唯一，極小值點為最小值點，即時三角形的面積最小，

此時可得直線方程為，

化簡得.

（2）的值可表示為

令，

由可得唯一駐點.

又，故函數在時取極小值.

因駐點唯一，極小值點為最小值點，

即時的值最小，

此時可得直線方程為，

化簡得.

本題是中學經典例題，這兩種解法各有千秋，解法1是中學的常規解法，適用于一元和二元的解題過程及結果較簡單的最值求解問題；解法2是極值法，它除了可求解一般最值問題，更適應于求解多元的，較復雜的最值求解問題.

3? 條件極值在中學數學解題中的應用

帶條件最值問題求解在中學階段有著廣泛應用，在函數、數列、不等式、解析幾何、三角函數及解三角形等等各知識塊都有應用，是中學數學教學的主陣地之一，下面，我們用兩種方法進行求解并進行比較.

例 3? 已知平面上兩定點，.試在橢圓上求一點，使三角形的面積最大.

解法1? 設橢圓參數方程為，其中為參數，

則，

又直線AB方程為，

即，

則點C到直線AB距離為：

，

，

則△ABC的面積為

（其中），

因為，

所以（其中），

則當即時，

.

此時三角形面積最大.

解法2? 設點的坐標為，由高等數學向量積的定義可知△ABC的面積為

則問題轉化為在條件下，求函數的最大值.

作拉格朗日函數，

解方程組

可得唯一駐點，

對應面積為.

而，，比較可知當點的坐標為時，△ABC的面積最大.

在中學階段對這類問題求解途徑有以下幾種：1.（幾何法）通過求與直線AB平行并且與橢圓相切的直線，得到切點，則切點到直線AB的距離為△ABC的邊AB上高的最大值或最小值，從而求出面積的最大值，但本例有限制條件，橢圓為第一象限部分，為問題解決帶來較大的困擾；2.（代數法）在橢圓上取點，再求點P到直線AB的距離d，再求面積，這種方法在討論距離d的最值時需要較強的解題技巧和扎實的運算能力；3.（參數法）通過橢圓參數方程設點，再用點到線距離公式求三角形的高，再求面積.解法1即為參數法求解，設參達到消元的目的把問題轉化為三角函數最值討論，解法2即為拉格朗日乘數法；從上述過程可看出，解法2有較強的可操作性.

例 4? 在三角形中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若.

（1）求A；

（2）求的取值范圍.

解法1? （1）略，可得.

（2）由（1）及余弦定理可得：

，

設，

則，

因為，

所以，

則可得：，

即，

可得：.

解法2? 作拉格朗日函數，

解方程組：

可得：，

此時取得最小值，

即.

本例為新編人教版高中數學必修第二冊54頁第22題改編題，是高中數學考試中的高頻考點，解法1為中學階段的解答思路，它需要較高的運算技巧，且對相同題干求不同式子取值范圍又有不同的運算技巧，這是大部分中學生通過大量訓練都感覺不好把握的解題方法；解法1是采用極值法求解，可以作為通用的方法通用的思路，可操作性強.

4? 結語

隨著課程改革的深入，主題單元教學是趨勢，它強調知識點之間的聯系；初等數學與高等數學的聯系也越來越密切，高等數學知識面更廣，難度更大，思維層次更高，它可以從不同角度、高觀點的分析許多初等數學知識，對很多初等數學的解題具有指導作用.初等數學知識點多，但研究比較淺，停留在面上，更多是解題技巧，知識點之間聯系也較少，高等數學恰好能在初等數學知識點的串聯上起作用，就如本文研究的極值法就能解決處于不同知識板塊的最值問題，能很好地串聯起知識，從而減少學生重復做同樣的題目和做太難的題目，減少把大量的時間花在解題技巧上，提高中學生學習效率.所以在中學數學教學中可適當滲透高等數學的一些思想方法，對提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，提高學生的數學素養有重要的意義，也讓老師能更好地駕馭課堂，提高效率.

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