例析解直角三角形問題的不同模型與解題思路

任勃勃

【摘? 要】? 解直角三角形問題是中考必考的一類幾何問題，因與實際生活密切聯系而具有深刻的考查意義.將不同實際生活模型簡化為三角形問題時，可根據形狀的不同分為不同的模型，常見的有背靠背模型、擁抱模型以及字母模型.熟悉并掌握這些常見模型以及對應的解題思路，有助于更高效地解題，更深刻地理解問題.本文主要對三種不同模型做出分析，以便學生們參考與學習.

【關鍵詞】? 初中數學；直角三角形；解題模型

1? 背靠背型

背靠背模型主要指兩個直角三角形中存在一條公共的直角邊，這類模型的解答應利用公共邊長度推斷其他邊長.也可以根據已知條件構造背靠背模型，如作三角形的高將其看做兩個有公共邊的直角三角形.解答這類問題，常見解題思路為：①分析給出的三角形特點和已知條件，構造背靠背模型；②利用公共邊長長度和相關角度，結合勾股定理或正余弦公式，列式計算求得問題最終解.

例1? 如圖1，河寬米，在點處測得對岸點在點的南偏東方向，則兩點間的距離為____米（結果保留根號）.

分析? 該題為典型的背靠背模型，已知公共直角邊邊長，可結合給出的角度和長度，利用正切公式列出對應等式，其次問題所求屬于兩直角邊之和，分別求得直角邊后相加，即可得到答案.

解析? 在中，，

則米，

在中，∠，

∴米

即米.

2? 字母模型

通常情況下，將兩個擁有同一條高且位于同一側的三角形組成的圖形看作字母模型，求解時需要借助同一條高對問題作出解答.字母模型的構造需要借助等高條件，且兩直角三角形具有重疊部分，是區分其他模型的特點所在.解答這類模型，大致解題思路為：①作公共點的垂線構造字母模型，結合已知條件求得公共高的長度；②利用正余弦、正切公式，求直角三角形的邊長，并列式對問題所求作出解答.

例2? 如圖2，在綜合實踐活動中，某小組想要測量某河流的寬度，小組成員在專業人員的協助下使用無人機測量，在點處測得兩點的俯角分別是和（即，）.若無人機離地面的高有米，且在同一水平直線上，求這條河的寬度.（精確到米，參考數據：）

分析? 求河的寬度需要知道直角三角形的邊長，即解答字母模型的直角三角形問題.首先利用已知高和角度，對直角三角形的邊長作出解答，其次列式求出兩邊之差，也是的長度.

解析? ∵，

∴∠，

∠，

在中，

∵，

∴，

∴米，

在中，

∵，

∴米，

∴米，

答：該河流寬度為米.

3? 擁抱模型

擁抱模型具體是指具有公共直角的兩個直角三角形圖形，形似“擁抱”故得以此名.擁抱模型的構造，可從擁有對頂角的一對三角形著手，延長邊長構造直角從而得到擁抱模型圖形.解答這類問題，大致解題思路為：①在已知圖形基礎上構造擁抱模型；②結合已知邊長和角度，列式運算分別求出兩個直角三角形的具體值，從而得到問題所求.

例3? 如圖3，一座商場大樓的頂部豎立一塊矩形廣告牌，甲學生在地面上分別選擇了三點：（為樓底）、、，分別在處測得廣告牌頂端的仰角為，在處測得商場大樓樓頂的仰角為，已知米，廣告牌高米，求這座商場的高度.（，，甲學生身高忽略，結果保留整數）

分析? 求的長度需要知道與的長度，該題屬于擁抱模型問題，首先應結合正切公式按順序分別求出兩個直角三角形的具體值，根據兩邊長之差得到問題最終答案.

解析? 設米，

∵點處測得商場大樓樓頂的仰角為，

∴，

∴，

∴，

，

∵在處測得商場大樓樓頂的仰角為，

∴，

∴，

∴，

，

解得，

答：商場大樓的高度大約為米.

4? 結語

上述內容分別以典型例題向學生們介紹如何分辨和構造不同模型，背靠背模型、字母模型以及擁抱模型都具有鮮明的圖形特點，都是利用直角三角形的公共邊和角度正切公式列式求解.學生們應加強練習，只有對模型更加熟悉，才能更高效快速地解答解直角三角形問題.

參考文獻：

[1]馬金福.初中數學直角三角形問題解法探討[J].教育教學論壇，2014（23）：123-124.

[2]王旭陽，陳瑞平.中學數學教學中直角三角形問題的探討與應用[J].教育教學論壇，2007（34）：98-99.