時變時滯奇異復雜動態網絡的間歇控制與同步

王維峰，黃林，梅俊

（中南民族大學 數學與統計學學院，武漢 430074）

近年來，復雜網絡的同步問題成為熱門的研究課題之一.復雜網絡的同步是指，在不同的初始條件下，經過網絡中節點的相互作用，節點的動態行為隨著時間的推移而逐漸接近并最終達到相同的狀態.同步問題的一個明顯特征是，當前節點如何與整個網絡中的其他節點進行通信，以便完成一個同步任務［1］.

奇異系統又稱為廣義狀態空間系統、描述符系統等.與傳統的復雜網絡相比，奇異復雜網絡多了代數方程部分來描述節點的奇異動態行為.因此，奇異復雜網絡具有更強的實用性.例如，有限的通信資源要分配給不同級別的用戶，在資源的分配過程中，需要構造具有約束條件的復雜網絡模型來實現資源的有效分配［2］.另外，在復雜網絡中，如果節點之間相互作用時出現了時變時滯現象，可能會極大地改變系統的動態行為［3］，比如可能會改變系統的穩定性和遍歷性.因此，為了更加準確地模擬實際網絡，本文考慮了具有時變時滯的奇異復雜系統.

到目前為止，很多學者在具有時變時滯奇異復雜網絡的同步領域上提出了一些控制方法，例如：事件觸發通信機制［1］、線性反饋控制［2］和釘扎控制［4-5］.同線性反饋控制和釘扎控制相比，間歇控制能夠更有效地節約成本.事件觸發控制需要連續或定期檢測反饋控制變量，以驗證變量是否滿足事件觸發條件［6］.而間歇控制的工作原理是將時間區間分為控制區間和非控制區間，控制信號進入控制區間時工作，進入非控制區間時休息，所以間歇控制能夠更加節約控制成本.因此，研究基于周期性間歇控制的時變時滯奇異復雜動態網絡的指數同步具有重要的理論價值和實際意義.

基于上述因素，本文通過設計適當的周期性間歇控制器，以實現具有時變時滯的奇異復雜動態網絡指數同步.由于經典的Lyapunov 函數不能很好地對奇異復雜動態網絡進行穩定性分析，所以本文考慮了一種混合的Lyapunov 函數［7］，結合Wirtinger 型積分不等式［1］和LMI理論［8］，推導出基于周期性間歇控制的時變時滯奇異復雜動態網絡指數同步的充分條件，進一步利用LMI 工具箱求解線性矩陣不等式，并通過數值仿真驗證結論的有效性.

1 模型描述與知識準備

考慮以下由N個具有時變時滯的耦合節點組成的奇異復雜動態網絡，其中第i個節點的動力學方程描述如下：

為簡單起見，本文將模型稱為驅動系統，并且構建對應的響應系統如下：

其中：E為n階奇異矩陣，即rank(E)=r＜n；xi(t)∈Rn，yi(t) ∈Rn是節點i的狀態向量；φi(θ)和φi(θ)分別是驅動系統和響應系統在節點i的初值條件，ui(t)是控制輸入：Rn× R →Rn為一個非線性連續可微向量函數；Γk=diag(γk1，γk2，…，γkn)為內耦合矩陣；ck表示節點i，j之間的耦合強度，k=1，2.定義矩陣D={dij}N×N為耦合構型矩陣：如果節點i與節點j(i≠j)之間有聯系，則dij=dji=1；否則dij=dji=0，D的對角元素為定義函數τ(t)為時變時滯.

定義同步誤差ei(t)=yi(t)-xi(t)，i=1，2，…，N.聯立模型，可以得到下述誤差動態系統：

因此，驅動系統與響應系統的之間的同步問題等價為誤差動態系統的穩定問題.

設計節點i（i=1，2，…，N）的周期性間歇控制器：

其中：Ki∈Rn×n為節點i的增益矩陣，T是控制周期，δ是控制區間的長度.

定義 1［9］對于驅動系統和響應系統，若存在正常數k，N，使得誤差系統的所有解ei(t)滿足：

則驅動系統和響應系統實現指數同步，其中k為指數同步率

假設 1［10］假設時變時滯τ(t)及其導數(t)有界，且

假設 2［3］假設(·)是扇區有界非線性的，即對任意向量x，y∈Rn，有：

其中F1，F2為n階常數矩陣，并且F1-F2＞0.

引理 1［1］對于任意常數正定矩陣Z∈Rn×n，標量α＞0，b＞a，及函數向量x(·) ∈C([a，b]，Rn)，有下述不等式成立：

引理 2［3］設a∈R，A，B，C，D為適當維度的矩陣，克羅內積具有以下性質：

引理 3［11］設Y和Z是具有適當維度的實矩陣，則存在一個正常數?，使得：

2 主要結果

在本節中，將通過周期性間歇控制方法分析具有時變時滯的奇異復雜動態網絡的指數同步問題，并給出驅動系統與響應系統的指數同步性準則.

將誤差系統寫成克羅內積形式：

定理 1假設存在自由權矩陣Nj，Tj∈Rn×n(j=1，2)和n階正定矩陣P，Q，R，Z，以及標量α1＞0，α2＞0，?＞0，λ＜0，使得下面的矩陣不等式成立，則誤差系統實現指數同步.

其中：ETP=PE ≥0，Q＞0，R＞0，Z＞0.

當t∈ [nT，nT+δ)，n∈N，V1(e(t)，t)沿誤差系統的軌跡關于時間t求導：

接下來將分析Lyapunov-Krasosvkii 泛函V(t)的上界.對于任何n∈N，

當t∈)[nT，nT+δ，聯立（25）式和（31）式，可得：

假設存在常數ν滿足0 ＜ν≤min{λmin(P1E)，λmin(P2E)}，使得下述條件成立：

另一方面，從Lyapunov-Krasosvkii 泛函V(t)的構造中，可以推出：

綜上所述，由（34）～（36）式，可得：

因此，根據定義1，誤差系統是指數穩定的.即在周期性間歇控制器下，驅動系統與響應系統實現指數同步.

證畢.

由于定理1的條件不是以線性矩陣不等式的形式存在的，所以節點i控制增益矩陣Ki不能用LMI工具箱直接求解.接下來，將對定理1中的矩陣不等式進行線性化，并得到以下基于LMI 的指數同步條件.

定理 2對于誤差系統，假設存在矩陣Gj∈Rn×n，Mj∈Rn×n(j=1，2)，Vi∈Rn×n，和n階正定矩陣L，，以及標量η1＞0，η2＞0，?＞＜0，使得下述線性矩陣不等式成立，則誤差系統實現指數同步，并且節點i的增益矩陣為Ki=ViP，i=1，2，…，N.

由（14）式和（15）式可知，Ω22＜0，Θ22＜0，則sym{(IN?T2)}和sym{(IN?N2)}是負定的，因此(IN?T2)和(IN?N2)可逆.設：

證畢.

3 數值仿真

考慮如下由6個耦合節點構成的具有時變時滯的奇異復雜動態網絡，對于驅動系統和響應系統，其中的參數如下：

對于給定參數：τ(t)=0.08+0.02sin(t)，c1=0.2，c2=0.1，T=0.2，δ=0.16.利用MATLAB 的LMI工具箱求解定理2 中的線性矩陣不等式，得到如下控制增益矩陣：

設驅動系統（1）和響應系統（2）的初值為：

在周期性間歇控制器（4）的作用下，圖1 和圖2分別描述了誤差系統（3）的狀態向量分量ei1(t)和ei2(t)(i=1，2，…，6)的運動軌跡.可以看出誤差系統的狀態變量隨著時間的增加快速地趨于零點，即：驅動系統與響應系統實現指數同步，這證實了定理1的結論是有效的.

圖1 同步誤差分量ei1(t)(i=1，2，…，6)的運動軌跡圖Fig.1 Motion trajectory diagram of synchronous error component ei1(t)(i=1，2，…，6)

圖2 同步誤差分量ei2(t)(i=1，2，…，6)的運動軌跡圖Fig.2 Motion trajectory diagram of synchronous error component ei2(t)(i=1，2，…，6)

圖3 和圖4 分別描繪了周期性時間觸發控制器ui(t)(i=1，2，…，6)的軌跡圖，圖中縱坐標的值不等于0時，對應的時間區間是控制區間；如果縱坐標的值等于0時，對應的時間區間為非控制區間.

圖3 周期性間歇控制器分量ui1(t)(i=1，2，…，6)的軌跡圖Fig.3 Trajectory diagram of the periodic intermittent controller component ui1(t)(i=1，2，…，6)

圖4 周期性間歇控制器分量ui2(t)(i=1，2，…，6)的軌跡圖Fig.4 Trajectory diagram of the periodic intermittent controller component ui2(t)(i=1，2，…，6)

4 結語

針對具有時變時滯的奇異復雜動態網絡的指數同步問題，已有文獻大都采用事件觸發控制、釘扎控制和線性反饋控制方法.本文采用了一種新的方法，即通過設計周期性間歇控制器，使奇異復雜動態網絡實現了指數同步，再利用Lyapunov-Krasosvkii穩定性理論，得到了具有時變時滯的奇異復雜動態網絡指數同步的穩定性準則，數值模擬驗證了結論的有效性.