寬帶噪聲激勵下分數階黏彈性碰撞系統的穩定性分析和隨機分岔

盛正大, 張建剛, 王 媛

(蘭州交通大學 數理學院, 蘭州 730070)

在實際工程應用中, 由于存在摩擦、 形變和材料間隙等不同干擾因素, 使工程中的應用材料經常發生碰撞, 這些不可避免的碰撞導致工程系統不穩定. 因此研究實際工程中存在的非線性碰撞動力學問題, 深入了解工程系統動態特性具有重要意義: 首先可避免碰撞現象導致的損失; 其次可提高工程系統的工作效率并延長其使用壽命等. 由材料間隙、 沖擊、 干摩擦和不可微剛度等非光滑因素導致的碰撞動力學問題具有強非線性[1-2]: 文獻[3-4]根據動力系統理論研究了碰撞振動系統的動力學行為; Nordmark[5-6]利用局部映射方法研究了碰撞系統特有的擦邊分岔現象; Luo等[7-8]采用數值模擬發現碰撞系統存在Torus分岔和Hopf分岔的動力學現象; 李群宏等[9-10]分析了碰撞系統的穩定性條件和判據, 并得到有關單碰周期n次諧運動的存在性判據依據和穩定性條件. 對于隨機激勵下的碰撞系統, Dimentberg等[11-13]將碰撞系統轉化為無碰撞的非光滑系統, 分析了隨機碰撞系統的響應問題; Jing等[14-15]研究了高斯白噪聲作用下的單自由度碰撞系統, 并獲得了概率密度的解析解.

近年來, 黏彈性材料在汽車和航天等工程領域應用廣泛, 根據其黏性和彈性兩種機理制成的阻尼器在減振儲能等方面具有優良表現. 因此研究基于黏彈性材料構建的碰撞模型, 在減振和隔振等工程領域具有重大意義. 徐偉等[16]研究了黏彈性對系統的兩種效應: 經典阻尼效應和剛度效應; Xu等[17]從正弦輸入為起點, 推演出黏彈性阻尼器關于能量耗散的算法; Zhu等[18]介紹了隨機平均法與能量包絡平均法在黏彈性動力系統中的應用.

實際工程應用中黏彈性材料可將結構間的振動轉化為熱能, 從而抑制結構振動. 分數階導數具有描述各種過程記憶和遺傳特性的優越性, 分數階項可較好描述系統歷史發展的依賴過程, 在描述復雜的物理問題時配合非線性模型, 表述更簡潔且更貼近真實的物理本構關系[19-21]. 目前對隨機激勵下基于分數階黏彈性材料構造的約束碰撞系統的研究文獻報道較少, 基于此, 本文基于Kelvin-Voigt材料的分數階本構模型構造黏彈性Van der pol減振模型, 并分析在寬帶噪聲激勵下系統的隨機穩定性和隨機分岔行為[22-24].

1 構建模型

黏彈性材料Kelvin-Voigt的分數階本構模型[21]為

(1)

將寬帶噪聲激勵下的具有黏彈性材料阻尼的單自由度非線性碰撞系統寫為

(2)

(3)

其中τ=η/E表示黏彈性參數.通過非平滑Zhuravlev變換, 將系統(3)轉化為

2 隨機平均法

設φ(t)=ω0t+θ, 令式(4)的解為

(5)

可得

(6)

將式(6)和式(5)聯立, 可得

(7)

(8)

將式(5)和式(8)代入系統(4)中, 可得

(10)

其中

(11)

因此將Caputo形式的分數階微分Dαx(t)寫成雙積分形式

(12)

(13)

則式(13)滿足

(14)

將式(5)代入式(14)可得

(15)

解得

(16)

其中c根據初始條件ψ(y,0)=0決定.將式(16)代入式(13)可得

(17)

(18)

由于a(t)和θ(t)為時間慢變量,φ(t)為快變量, 因此經隨機平均和確定性平均后, 所得漂移系數和擴散系數為

(19)

其平均振幅

(20)

是一維Markov過程, 其中

3 隨機穩定性

3.1 局部穩定性

討論U2=U3=U4=U5=0, 將式(20)變換為

(21)

其中m(0)=U1,σ(0)=(U3/8)1/2.可得線性It隨機微分方程Lyapunov指數近似解為

系統的局部穩定性分析列于表1.

表1 系統的局部穩定性分析

3.2 全局隨機穩定性

討論當U2=U3=U4=U5=0時的線性It隨機微分方程, 將式(20)變為式(21),a=0時是系統的第一類奇異邊界, 擴散指數αr=2, 漂移指數βr=1, 可得特征標值

(22)

a=+∞時是系統的第二類奇異邊界, 擴散指數αl=2, 漂移指數βl=1, 可得特征標值

表2 在線性It隨機微分方程條件下系統的全局隨機穩定性

Table 2 Global stochastic stability of system under condition of linear It stochastic differential equation

表2 在線性It隨機微分方程條件下系統的全局隨機穩定性

狀態條件類別狀態條件類別r=0cl>1, U1/U6>1/16排斥自然邊界r=+∞cl>-1, U1/U6<1/16排斥自然邊界cr=1, U1/U6=0嚴格自然邊界cl=1, U1/U6=0嚴格自然邊界cr<1, U1/U6<1/16吸引自然邊界cl<-1, U1/U6>1/16吸引自然邊界

討論Um不全為0的情況, 其中m=2,3,4,5.a=0時是系統的第一類奇異邊界, 擴散指數αr=2, 漂移指數βr=1, 可得特征標值為式(22).a=+∞時是系統的第二類奇異邊界, 擴散指數αl=2, 漂移指數βl為式(20)中所有Um≠0項幅值a的最高次數, 可得特征標值為

Un為式(20)中系數不為0且有關幅值a最高次數項的系數, 根據奇異邊界理論可得在非線性It隨機微分方程條件下系統的全局隨機穩定性, 結果列于表3.

表3 在非線性It隨機微分方程條件下系統的全局隨機穩定性

Table 3 Global stochastic stability of system under condition of nonlinear It stochastic differential equation

表3 在非線性It隨機微分方程條件下系統的全局隨機穩定性

狀態條件類別狀態條件類別r=0cl<1, U1/U6<1/16吸引自然邊界r=+∞cl<-1, Un/U6>1/16吸引自然邊界cr=1, U1/U6=1/16嚴格自然邊界cl=-1, Un/U6=1/16嚴格自然邊界cr>1, U1/U6>1/16排斥自然邊界cl>-1, Un/U6<1/16排斥自然邊界

由表3可見, 當r=0為吸引自然邊界,r=+∞為進入邊界, 可理解為左邊界為吸引自然邊界, 而在右邊界未進入時, 平衡點處于全局穩定.根據局部穩定性條件可得, 在滿足U1/U6<1/16,Un/U6<1/16的條件下, 系統在平衡點處保持穩定狀態.

4 隨機分岔分析

4.1 D-分岔

(23)

當m(0)=0,σ(0)=0時, 0為φ的一個固定點, °dW為Stratonovich隨機過程的參激.設m(r)有界,a≠0系統有且只有一個穩態概率密度, 幅值a(t)對應的FPK(Fokker Planck Kolmogorov)方程為

(24)

(25)

得到式(23)存在不動點和非平凡平穩運動兩種平穩狀態.δx為不動點的不變測度δ0, 式(25)為非平凡平穩運動狀態的不變測度的密度.

(26)

φ關于測度μ的Lyapunov指數定義為

(27)

使α=U1-U6/16, 可得不動點不變測度δ0在α≤0處是穩定的, 非平凡狀態不變測度在α>0處是穩定的, 則α=0是一個D-分岔點.

將式(24)化簡為

pst(a)=ca2(8U1-U6)/U6=o(av)a→0,

其中c為歸一化常數.設v=2(8U1-U6)/U6, 當v<-1時, 即16U1/U6<1,pst(a)為δ函數; 當-11,a=0是pst(a)的最大值點; 當v=-1時, 即16U1/U6=1,a=0是系統發生D-分岔的臨界點.

4.2 P-分岔

W(t)是標準的Wiener過程, 且da不依賴于θ, 因此可得系統幅值的FPK方程為

其中

其中C為歸一化常數.

穩態概率密度函數的精確表達式為

4.2.1 分數階階次α對系統隨機分岔的影響

設添加的外部噪聲各系數值ζ=1,ω0=0.9,ω1=0.1和噪聲強度D=7, 固定系統的參數值α1=1.51,α2=2.85,α3=1.693,α4=0.312, 選取系統黏彈性參數τ=0.8和黏彈性材料的恢復系數r=0.9.改變系統(4)分數階次的數值, 繪制相應的穩態概率密度函數曲線.

固定噪聲和系統的其他參數, 僅改變分數階階次, 乘性寬帶噪聲激勵下不同分數階次的穩態概率密度函數曲線如圖1所示.由圖1(A)可見, 在穩態概率密度函數曲線上距離原點較遠處有一個明顯峰值, 系統是單穩的, 僅存在大幅振動. 由圖1(B)可見, 當α=0.5時, 穩態概率密度峰值發生變化, 在穩態概率密度函數曲線上距離原點較遠處有一個明顯峰值, 但在原點附近為Dirac函數形式, 幅值的穩態響應為0, 此時系統存在兩種運動狀態. 因此, 當分數階次改變時, 穩態概率密度函數的定性也隨之改變, 系統產生隨機P-分岔.

圖1 乘性寬帶噪聲激勵下不同分數階次的穩態概率密度函數曲線Fig.1 Steady state probability density function curves of different fractional orders under multiplicative broadband noise excitation

4.2.2 寬帶噪聲強度變化對隨機分岔的影響

將分數階階次固定為α=0.5, 改變噪聲強度D值, 其他參數與圖1相同, 繪制相應的穩態概率密度函數曲線.

固定分數階次和系統的其他參數, 僅改變外部寬帶噪聲的噪聲強度, 乘性寬帶噪聲激勵下不同噪聲強度的穩態概率密度函數曲線如圖2所示.由圖2(A)可見, 當D=3.1時, 穩態概率密度曲線為Dirac形式, 系統幅值的穩態響應為0, 類似一個穩定平衡點; 由圖2(B)可見, 當D=5.3時, 在穩態概率密度函數曲線上距離原點較遠處有一個明顯峰值, 但在原點附近為Dirac形式, 此時系統存在兩種運動狀態; 由圖2(C)可見, 當D=9.8時, 在穩態概率密度函數曲線上距離原點較遠處有一個明顯峰值, 系統存在大幅振動. 因此, 當改變外部噪聲強度時, 穩態概率密度函數的定性也隨之改變, 系統產生隨機P-分岔.

圖2 乘性寬帶噪聲激勵下不同噪聲強度的穩態概率密度函數曲線Fig.2 Steady state probability density function curves of different noise intensities under multiplicative broadband noise excitation

綜上, 本文研究了對外部寬帶噪聲激勵下的基于分數階黏彈性材料的Van der pol減振系統, 通過隨機平均法求出了系統的It微分方程. 利用最大Lyapunov指數法和奇異邊界理論分類討論了系統的局部隨機穩定性和全局隨機穩定性. 通過擬Hamilton系統隨機平均法分析了系統在線性It微分方程情形下的D-分岔行為, 得到了系統產生D-分岔的臨界條件, 并對分數階階次α和寬帶噪聲強度D分別改變的情況進行數值模擬. 結果表明: 在寬帶噪聲的激勵下, 固定其他參數不變, 僅改變分數階階次α值, 穩態概率密度函數曲線出現定性變化, 系統產生了隨機P-分岔行為; 改變寬帶的噪聲強度D, 穩態概率密度函數曲線也出現定性變化, 系統隨強度值的變化產生P-分岔行為.