探究一道題證明思路的教學設計

【摘? 要】? 探究平面幾何證明題證明思路的思維活動過程的主要依靠在于，通過不斷地賦予條件或結論以意義，終究能夠找到集中條件與條件之間或條件與結論之間的關系，從而架設起從條件過渡到結論的橋梁.從這種賦予意義、集中條件與架設橋梁的心理活動過程中，萌生合適的探究平面幾何證明題證明思路的方法，由此，解題主體形成了特定的認知方式.在教學設計及課堂實施中，教師應該通過平衡賦予意義、集中條件與架設橋梁三者之間的關系，選擇啟發學生使用合適的認知方式進行教學活動，實現教學目標.【關鍵詞】? 探究;證明思路；教學設計；賦予意義；認知方式

在探究平面幾何證明題證明思路時，其基本策略就是賦予題設條件信息或題斷結論信息以意義的過程.那么，關于條件信息或結論信息的意義來源于何處呢？這就是探究證明思路的主體已經掌握了的知識（例如，幾何概念、公理、定理、性質、法則等），也就是說，將幾何證明題所提供的條件或結論轉化為已經通過平面幾何課程內容的學習而得到的那些具體幾何知識（例如，“一個封閉圖形的面積等于其內部所有分割圖形面積之和”這一公理，勾股定理，相似三角形的判定與性質定理等），這種“賦予”條件信息或結論信息意義的過程，就是探究平面幾何證明題思維活動過程的主要體現.現在，舉一道探究平面幾何證明題證明思路的課堂教學的例子加以必要說明.

例1［1］? 如圖1，矩形ABCD中，點E是CD邊上的中點，連結AE，過點B作BH⊥AE，垂足為H.已知AB＝2a，AD＝b，求證：BH=2aba2+b2.

關于探究這道題的證明思路的思維活動過程，筆者通過認真地解題（解題教學準備工作中的教材分析就是仔細解題，竭盡所能探究出所有的解題途徑.當然，這項要求大多數時候是難以實現的，不過教師應該設法得到幾種典型的解法）認識到，在兩種不同觀念指令下，發現了探究證明思路活動的心理過程所萌生出的兩種方法：“面積守恒法”與“三點定形法”.現將依據這兩種方法的教學設計及課堂實施活動過程實錄在這里，請同行教導與斧正.1? 依據萌生“面積守恒法”的教學設計及課堂實施

這道題的總體條件就是矩形ABCD下的已知矩形的長與寬的具體度量值分別是2a與b，求線段BH關于以a與b為基本量的形式表達式.通過分析認識到，這里存在著一個關于矩形ABCD的面積不變量，或稱之為“面積守恒”.在這種“面積守恒”中，隱含著度量線段BH長度量的一個等式，這個等式很可能決定一條證明思路，故稱之為“面積守恒法”.探究證明思路的教學設計及課堂實施就是幫助學生通過不斷地賦予條件信息或結論信息以意義，能夠萌生“面積守恒法”的心理活動過程.

師：記所要證明的結論式BH=2aba2+b2為①，如何找到等式①的證明思路呢？

生：……（省略號表示學生思維暫時中斷，下同）

師：為了叫出似曾相識的人的名字，我們會認真仔細瞅瞅這個人的臉面面貌，考察其面容的最主要的特點，從面容特點中聯想或恢復叫出這個名字的記憶.大家能夠說一說所要證明的結論①這個式子中的元素，如2ab，a2+b2，BH在這個圖1中各表示的意義嗎？? 圖2

生1：我發現，由于CD＝AB＝2a，點E是CD邊上的中點，從而知道DE＝a，AD＝b，于是在Rt△DAE中，由勾股定理，知AE＝a2+b2②，而線段BH是線段AE上的高（生1這句話有點問題，如果出現了△ABE，就沒有問題了——筆者注），于是讓我想到了連結BE，如圖2所示，此時，由于BH⊥AE，從而知AE·BH與△ABE的面積產生了關系，從而出現了意義.因為S△ABE=12·AE·BH，因此，AE·BH=2S△ABE③……

師：雖然生1探究證明思路的思維活動過程暫時中斷了，但是通過她自己的不懈努力，賦予了AE·BH這個乘積表示△ABE的面積2倍這種意義，從而產生了構作輔助線BE的認識.這就得到了一項非常好的探究結果了.由條件②，知AE·BH=a2+b2·BH④，很顯然，這個等式④右邊的代數式，其實就是所要證明的結論等式①的左右兩邊都乘以a2+b2的結果，這樣就得到所要證明的結論等式①可以轉化為a2+b2·BH=2ab⑤，于是，現在只要證明等式⑤成立就行了.那么，如何證明等式⑤成立呢？

生：……

師：由于AE·BH=2S△ABE③，這個等式③的右邊表達式2S△ABE還有其他意義嗎？

生2：我看到了△ABE的面積是矩形ABCD的面積的一半（由于△ABE與矩形ABCD是兩個同底等高的規則圖形——筆者注），因此，2S△ABE就是這個矩形ABCD的面積.這就是說，所要證明的結論等式⑤的左邊這個表達式表示的就是矩形ABCD的面積；由于所要證明的結論等式⑤的右邊表達式2ab=2a·b=AB·AD，也是矩形ABCD的面積，所以等式⑤成立.

師：如此，打通了解題的思路.請大家寫出證明過程.

生3：證明：如圖2，連結BE，

因為S△ABE=12·S矩形ABCD（三角形面積等于同底等高的矩形面積的一半），

所以2S△ABE=S矩形ABCD（等式兩邊都乘以常數2，等號不變），

因為2S△ABE=2·12·AE·BH=AE·BH，S矩形ABCD=AB·AD（三角形面積與矩形面積的定義），

所以AE·BH=AB·AD（都等于同一個量的兩個量也相等），

又因為AE＝a2+b2（直角三角形的勾股定理），AB＝2a，AD＝b（已知），

所以a2+b2·BH=2a·b（等量代換），

所以BH=2aba2+b2（等式性質）.

師：通過探究這道題的證明思路及基于此的證明表達過程，你學到了什么？

生4：探究平面幾何證明題的證明思路具有許多途徑，這里依據矩形ABCD的面積不變的特點，得到了以線段BH為未知量的方程AE·BH=AB·AD，從這個方程中求解出了線段BH的表達式.

師：非常好.我們稱這種探究平面幾何證明題的證明方法為“面積守恒法”.

注? 1.在筆者的不斷啟示下，學生通過賦予這道幾何證明題的條件信息或結論信息中相關元素以意義的探究活動過程，最終得到了解題通路.由此可以認識到，賦予平面幾何證明題中的相關信息元素以意義的過程，對于探究平面幾何證明題證明思路具有怎樣的重要作用.因此，解題主體已經掌握了的一系列的知識、觀念與經驗，就是在這種賦予題設條件與題斷結論的意義中，發現了條件與條件、條件與結論之間的關系，從而架起從題設條件到題斷結論之間的橋梁.

2.在探究證明思路的技巧上，這條思路的發現主要依靠于圖形及其條件中線段長度的度量性特點，即利用矩形與三角形面積公式所計算得出的面積的具體量之間的關系，而得到了關于一個以線段BH長度為未知數的方程（即等式AE·BH=AB·AD）的形式（由此萌生出了“面積守恒法”），由于三條線段AB＝2a，AD＝b，AE＝a2+b2都是已知量，從而求出線段BH的長度表達式為等式①的證明結論.因此，總體上說，探究這道證明題證明思路的方法就是偏于代數（利用方程知識）的相關觀念，是學生代數認知方式作用的結果.

3.證明的表達過程猶如一朝分娩（當然，由于是邏輯表達，所以需要極強的嚴謹性，表述應該字斟句酌），而賦予條件或結論要素以意義的探究證明思路活動的過程卻好像是十月懷胎，需要解題主體仔細辨別問題所提供的條件或結論中的相關要素，理解這些要素在問題背景之中的意義，從中找到集中條件的手段與方法，架設起從條件到結論的橋梁［2］.

關于上述這三點，是平面幾何教師在教學設計及課堂實施中必須要高度注意的問題.幾何教師應該認識到，這道題的教學活動還沒有完，通過綜合教材分析與學情分析結論，還需要教師引導學生探究其他的解題途徑，這些探究證明思路的途徑，也可能存在著教育教學價值（視學生過去學習與掌握了具體內容而定），構成了實現其他必須要實現的教學目標的優質資源.

2? 依據萌生“三點定形法”的教學設計及課堂實施

“三點定形法”是證明四線段成比例確定兩個相似三角形的最為常用的方法，也是一項證明四線段成比例時所通用的方法.由于在利用相似三角形證明四線段成比例的教學資源中，學生能夠反復體驗與感受很多次，就這道題對于學生而言，這種方法可能比不上“面積守恒法”對于促進學生萌生創造性思維的重要性.雖然如此，在課堂教學時間允許的情況下，還有順便鼓勵學生再行感受一次的必要，因此，依然存在著較好的教學價值.

師：大家通過一項一項地賦予條件或結論中相關要素以意義，利用這個矩形面積與其內部的同底等高三角形面積之間的2倍關系，成功地使用“面積守恒法”，探究出了這道題的證明思路.那么，還存在其他的證明思路嗎？

生：……

師：將要證明是結論式BH=2aba2+b2①變形為乘積形式的等式a2+b2·BH=2ab⑥以后，希望證明等式⑥成立就行了.由于AB＝2a，AD＝b，EA＝a2+b2，所以把它們代入等式⑥，將等式⑥使用a，b這一對基本量表示線段長度的具體量替換成圖1中的具體線段，知期待證明等式EA·BH=AB·AD⑦成立，就達到目的了.那么，在圖1所附加的條件中，如何證明等式⑦成立呢？

生5：要證明等式⑦這一乘積式成立，首先將等式⑦轉化為比例式，然后再依據比例式的具體特點，審時度勢，選擇相應的證明途徑.我們知道，要是等式⑦成立，只要證明比例式EAAB=ADBH⑧成立.于是，這里可以采用過去學習過了的“三點定形法”進行探究，分別從比例式⑧中的分子與分母的兩條線段中次第選擇三個點E·A·A·B·=AD·BH·，即分子中的三點E，A與D，分母中的三點A，B與H，確定出所需要的兩個具體△EAD與△ABH.于是，現在只需要證明△EAD∽△ABH成立.由于∠EDA＝∠BHA（直角都相等），∠AED＝∠BAH（兩直線平行，內錯角相等），知△EAD∽△ABH（兩組對應角相等的三角形相似）.

師：請寫出關于這種證明思路的證明過程.

生5：證明：如圖1，在△EAD與△ABH中，

因為∠EDA＝∠BHA（直角都相等），∠AED＝∠BAH（兩直線平行，內錯角相等），所以△EAD∽△ABH（兩組對應角相等的三角形相似），所以EAAB=ADBH（相似三角形的對應邊成比例），又因為AB＝2a，AD＝b（已知），EA＝a2+b2（直角三角形勾股定理），所以a2+b22a=bBH（等量代換），所以BH=2aba2+b2（等式變形性質）.

注? 1.這條思路的發現，來源于由AB＝2a，AD＝b，EA＝a2+b2，將要求證明的結論式BH=2aba2+b2中的由基礎量a，b所表示的線段長度，轉化為圖1中的相應的具體線段.由于這個矩形ABCD所限定了這些線段長度之間的抽象關系，通過這種抽象活動行為，舍棄了關于線段長度所使用的基礎量a，b的表達形式，而變成了四條具體線段AB，AD，EA與BH之間的抽象性關系.通過分析所要證明的結論式①，轉化為證明乘積式EA·BH=AB·AD⑦成立，進而轉化為證明比例式EAAB=ADBH成立，于是，由學生運用已經掌握了的“三點定形法”，即使用E·A·A·B·=AD·BH·這種形式確定出證明△EAD∽△ABH成立，目的就可以實現了.

順便說一句，運用“三點定形法”需要教師在教學設計及課堂實施時，從探究第一道證明題的開始，就要反復地提醒學生，在表達線段及其表示該線段的字母排序時，需要將同一個線段分式所表示的分子與分母之間（即從分數線上下這個視點進行考察），例如E·A·AD·=A·B·BH·這樣的表達形式（等號左邊的分子上的點E，A與分母上的點D；或等號右邊的分子上的點A、B與分母上的點H），或者等式兩端的分子與分子之間、分母與分母之間（即從等號左右兩邊的同等位置上的元素進行考察），例如E·A·A·B·=AD·BH·等號左右兩邊的分子與分子，或分母與分母之間的形式，其對應的字母置于相同的對應位置，如此，才有利于由兩條相交線段的三個具體的點而定出所需要的三角形［3］.關于幫助學生萌生與定型“三點定形法”，教師只要認真思考，在教學設計及課堂實施的過程中，其實是有跡可循的.

2.與前述采用依據“面積守恒法”引用方程的觀點所形成的方法不同，這里使用依據三角形相似方法，是一種純粹幾何的方法，這種方法必須舍去線段長度的量（把使用基礎量表示的具有特定長度的線段轉化為抽象性的線段）的干擾，運用了抽象的線段在這個矩形框架限制下線段之間所產生的近乎于抽象的觀念，所形成的是一種不變量的結果.

3.依據“面積守恒法”引用方程觀點的方法與利用相似三角形的“三點定形法”，是由兩種不同（代數的與幾何的）認知方式所產生的.數學教師在教學中，選擇這兩種認知方式中的哪一種，需要通過學情分析，學生需要哪種認知方式更強烈些，哪種認知方式對于學生來說，其教育教學價值可能會高一些，就應該選擇哪種認知方式進行教學設計及課堂實施.當然，也可以與筆者寫作這篇文章一樣，如果時間允許，引導學生使用這兩種認知方式產生相應的認識，這是一種很好的選擇.

4.針對這道題具體問題，一般而言，建議幾何教師選擇“面積守恒法”，這是因為，在施教相似三角形的相關教學內容時，這種“三點定形法”已經進行了多次運用，對于學生來說，多一次使用這種方法或少一次使用這種方法探究相關平面幾何證明題證明思路對于探究證明思路能力的發展其實沒有多大關系，而使用“面積守恒法”，學生既感到新穎，又是必須要掌握的方法.因此，如果教師在教學設計預案及課堂實施時受到了時間的絕對限制，筆者建議應該選擇“面積守恒法”施教這道題.

總之，一方面，通過探究這道題的兩種不同證明途徑認識到，尋找平面幾何證明題證明思路的過程，就是一種不斷地賦予問題所提供的條件與結論信息以意義的過程.因為，這些元素的意義來源于解題主體所掌握了的知識（如概念、公理、定理或法則等），所形成的探究問題思路的一系列觀念（例如分析法或綜合法等），通過解題活動所積累起來的經驗等.如此，在這種賦予意義的過程中，逐漸萌生出探究證明思路的具體方法，并在證明活動過程得以檢驗與調整，成功了，問題也就解決了，此時，就可以從這種成功的解題過程中，抽繹出具體的方法，例如，本例中的“面積守恒法”與“三點定形法”等，不成功則進行修訂，或者萌生新想法，直到打通證明思路為止［4］.

另一方面，在這種賦予條件信息或結論信息以意義的過程中，可以發現即使對于同一道平面幾何證明題，不同的學生也會存在著不同認知方式.例如，本例題中的“面積守恒法”與“三點定形法”就是兩種不同的認知方式使用的結果.這對數學教師教學設計及課堂實施帶來了極大啟示，教師在課堂上面對幾十名學生，這些學生的認知方式可能存在較大的差別，在這種情況下，教師選擇幫助學生發展具體的認知方式時，就需要依據學生個性思維方式的特點，做好幾十名同學認知方式之間的平衡工作，選擇多數學生最為需要的認知方式進行探究發生知識認識的教學活動過程.3? 結束語

探究平面幾何證明題證明思路的思維活動過程的主要依靠的手段在于，通過不斷地賦予條件或結論以意義，終究能夠找到集中條件與條件之間或條件與結論之間的關系，從而架設起從條件到結論的橋梁.從這種賦予意義、集中條件與架設橋梁的心理活動過程中，萌生合適的探究平面幾何證明題證明思路的方法，不同探究證明思路的出現導致了解題主體形成了特定認知方式.例如，本研究通過這道具體的探究平面幾何證明題證明思路的例子，幫助學生開拓出了“面積守恒法”與“三點定形法”，依靠這兩種不同的方法，學生使用了不同的認知方式（偏向于代數方向的認知活動過程與偏向于幾何方向的認知活動過程）.對此，教師在教學設計及課堂實施中，需要仔細掂量，選擇學生需要的認知方式進行教學活動，從而幫助學生提高探究證明思路的思維能力，實現教學目標.參考文獻

［1］人民教育出版社中學數學室.初級中學課本：幾何（第二冊）［M］.北京：人民教育出版社，1989：52.

［2］［美］克雷奇，克拉奇菲爾德，利維森等.心理學綱要（上冊）［M］.周先庚，林傳鼎，張述祖等，譯.北京：文化教育出版社，1980：188.

［3］張昆，曹一鳴.完善數學教師教學行為的實現途徑［J］.數學教育學報，2015，24（01）：33-37.

［4］張昆，張乃達.探究輔助線方法的教學設計研究——平面幾何命題證明入門教學的視點［J］.中學數學雜志，2017（08）：9-12.作者簡介? 張昆（1965—），男，安徽合肥人，副教授，中學高級教師;主要研究數學教學、數學史、數學教育哲學；發表論文400余篇，其中26篇被人大復印報刊資料全文收錄.