做好三個“解讀” 奠定單元教學基礎

【摘? 要】? 《義務教育數學課程標誰（2022年版）》提出重視單元整體教學設計的要求，數學實施單元教學是培養學生核心素養的需要.實施單元教學應認真研讀《課標（2022年版）》對本單元的課程內容要求、學業要求和教學提示，從而準確制定單元教學目標；研讀單元教材，明確單元教材的設計意圖，有的放矢的組織課堂教學；研讀本單元所承擔的培養核心素養的任務，更好的實施核心素養教育.【關鍵詞】? 單元教學；課程內容；單元教材；核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標（2022年版）》）在“教學建議”中指出：“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現數學知識之間的內在邏輯關系，以及學習內容與核心素養表現的關聯”［1］.筆者認為，實施單元教學的前提是做好下面三個“研讀”.1? 研讀課程標準的要求

《課標（2022年版）》對課程性質、課程理念、課程目標、課程內容、實施建議等方面進行了綜合“界定”，是符合國家教育方針和當時教育背景和需求的綱領性文件，是編寫義務教育數學教材、實施數學教學的指導性文件.

《課標（2022年版）》在初中階段對于“課程內容”依次按“數與代數”“圖形與幾何”“統計與概率”“綜合與實踐”四個領域分別從“內容要求”“學業要求”“教學提示”三個方面提出了具體的要求.在與《課標（2022年版）》相“匹配”的教材出版前，我們應從培養學生“三會”的高度研究和使用與《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標（2011年版）》）配套的教材.與《課標（2011年版）》配套的青島版初中教材把“反比例函數”作為九下第5章“對函數的再探索”的一個單元設計的.

在研讀《課標（2022年版）》時，應從以下三個方面進行.

1.1? 對課程內容的要求

《課標（2022年版）》將“數與代數”領域的課程內容整合成三個主題，其中反比例函數屬于第三主題“函數”的內容.《課標（2022年版）》對于“反比例函數”，提出了三條具體要求［1］57-58：

（1）結合具體情境體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式;

（2）能畫反比例函數的圖象，根據圖象和表達式y=kx（k≠0）探索并理解k＞0和k＜0時圖象的變化情況;

（3）能用反比例函數解決簡單實際問題.

從課程內容來看，反比例函數的要求有三點直接的描述，包括了反比例函數的意義、表達式、圖象等主體內容，還包含了建立反比例函數模型解決簡單的實際問題.

本單元的知識系統如圖1所示.圖1

1.2? 學業要求

學業要求是對課程內容的進一步解讀.研讀這個要求有助于教師加深對“課程內容”的理解和認識.關于“反比例函數”的學業要求有四點，分別是［1］61：

（1）結合具體情境用實例體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數的表達式；

（2）會用描點法畫出反比例函數的圖象；

（3）知道當k＞0和k＜0時反比例函數y=kx（k≠0）圖象的整體特征；

（4）能用反比例函數解決簡單的實際問題.

1.3? 教學提示

初中階段學生學習的函數包含一次函數（正比例函數）、反比例函數以及二次函數，關于函數的教學要求，《課標（2022年版）》提出了總的“教學提示”（見文［1］P62）.我們認為對于反比例函數，要在理解“教學提示”的基礎上，重點突出下面兩點：

（1）突出現實性：注意選取貼近學生現實的素材；

（2）引導學生經歷三個過程：①在建立反比例函數時，讓學生經歷“知識背景—建立模型—揭示聯系”的過程；②在探索反比例函數性質時，引導學生經歷“畫圖—觀察—思考—交流—歸納”的過程；③在應用反比例函數解決實際時，讓學生經歷“問題情境—建立模型—求解模型”的過程.

在明確了上述要求的基礎上，確定出反比例函數單元的教學目標：

（1）結合實例，進一步了解函數概念及函數的三種表示方法，能舉出反比例函數的實例，能用適當的函數表示法刻畫變量之間的關系.

（2）結合具體情境，體會反比例函數的意義，能根據已知條件確定反比例函數表達式.

（3）會用描點法畫出反比例函數的圖象，并通過圖象和表達式探索并理解反比例函數的性質.

（4）能利用反比例函數解決簡單的實際問題.

（5）在畫出、研究反比例函數圖象的過程中，感受數形結合、轉化等數學思想方法.通過用函數表述變量之間的關系的過程，體會模型思想.2? 整體研讀教材內容

教材是落實課程內容的“載體”，實施單元教學，不僅僅要明確《課標（2022年版）》對這個單元的內容要求、學業要求和教學提示，還要通過反復研讀教材，達到整體把握單元教材內容的目的.

青島版教材中“反比例函數”單元共分4課時：第1課時從生活中的實例出發，引出了反比例函數的意義，并根據已知條件確定反比例函數的解析式；第2課時探索k＞0和k＜0時，反比例函數圖象所在象限及圖象的變化情況；第3課時是反比例函數與相關數學知識的綜合運用；第4課時是利用反比例函數解決實際問題.每課時的具體呈現過程如下：

在第1課時教材首先用“觀察與思考”欄目給出了4個問題，問題（1）（2）（3）是讓學生根據問題情境列出變量之間的函數表達式；問題（4）鼓勵學生對三個表達式進行“觀察—思考—交流—歸納”等活動，概括出它們在形式上的共同特征——都具有y=kx（k≠0）的形式，在此基礎上給出反比例函數的意義.

在引入反比例函數y=kx（k≠0）后，通過“小博士”的插話，把反比例函數的概念與上一學段成反比例的量加以聯系，從而讓學生認識到當k＞0時，y與x是成反比例的量，反比例函數是對反比例量的意義的擴充，從而加深學生對反比例函數概念的理解，完善學生的認知結構.

教科書通過例1、例2和“挑戰自我”分別引導學生根據問題情境、待定系數法和分析變量之間的對應關系，列出反比例函數的表達式，進一步加深對反比例函數意義的理解.

教材在第2課時首先用“實驗與探究”欄目，引導學生分別畫出四個具體的反比例函數y=±8x與y=±6x的圖象，讓學生再次經歷描點法畫函數圖象的過程.由于反比例函數的圖象不是直線，而且在x=0處是間斷的，所以從一定意義上看，這里的描點法作圖的步驟更具有一般性和代表性.

然后用“觀察與思考”欄目提出了5個問題，目的是讓學生類比一次函數性質的研究過程，運用已經積累起來的數學活動經驗，在對這5個問題進行思考與探索的基礎上，歸納出反比例函數y=kx（k≠0）的圖象及其性質.

問題（1）通過回憶和類比，明確用初等方法研究函數性質的方向，意在培養學生發現問題、提出問題的能力；問題（2）是引導學生觀察四個具體反比例函數的圖象，重點考察它們的形狀和位置，其中圖象不經過原點，并且與y軸不相交是由函數可以取值的范圍x≠0決定的，當x=0時，函數y沒有意義，所以圖象不與y軸相交，也就是說，圖象在x=0處出現了間斷.這是反比例函數圖象與正比例函數、一次函數以及二次函數圖象的不同點之一.正因為如此，圖象被y軸分成兩支，兩支曲線不會相接.同時，可發現這四個圖象都分別由形狀相同的兩支曲線組成，如y=8x的圖象的每一支都與另一支關于原點成中心對稱，因此，其中的一支可由另一支繞原點按逆（或順）時針方向旋轉180°而得到；y=-8x的圖象與y=8x的圖象形狀完全相同，可由y=8x的圖象以y軸（或x軸）為對稱軸進行軸對稱變化而得到.y=8x與y=6x的圖象基本相同，只是圖象的彎曲程度（即曲率，教學時不必提出）不同.再說出y=8x與y=6x的圖象的位置在第一、三象限，y=-8x與y=-6x的圖象在第二、四象限.然后再通過問題（3）猜想出反比例函數y=kx位置的一般結論.問題（4）是以y=8x為例，利用幾何直觀分第一和第三象限兩種情況，探索該函數當自變量x的值不斷增大和越來越接近于0時，函數值的變化趨勢，并給出了y的值隨x值的增大而減小，但不會與x軸相交的形象描述.通過問題（5），類似地研究函數y=6x，y=-8x以及y=-6x的圖象，由此歸納出反比例函數y=kx的性質，這里體現了數學研究中的由特殊到一般的方法.

第3課時包括例3和例4兩個例題，是反比例函數的意義和圖象與學生已有知識的綜合運用.例3通過反比例函數y=12x在第一象限內的點分別向x軸和y軸作垂線，計算以該點、兩個垂足及坐標原點為頂點的矩形面積，讓學生發現所得矩形的面積等于12，再利用“小博士”的話將這一結論推廣到一般情況.由此體會表達式y=kx（k≠0）中k的幾何意義.例4通過圖象上已知點的坐標求函數的表達式，以體會圖象上點的坐標與表達式之間的聯系，進一步感受待定系數法與數形結合思想的運用.

第4課時，教科書編排了兩個運用反比例函數解決的實際問題.例5是從問題情境出發建立反比例函數的數學模型，然后轉化成已知反比例函數的一組對應值確定函數表達式，再畫出圖象，并利用解析式或圖象確定滿足限制條件的自變量的取值范圍的數學問題.教科書又通過“加油站”進一步揭示了解決這類實際問題時所運用的模型思想.例6是一個現實生活中分段函數的實例.與例5不同的是，題目中給出了函數的圖象，其中點（8，6）是分段點.解題時利用了該點的這一特征，分別求出了兩段圖象所對應的函數關系的表達式.這也是建立分段函數模型的過程，然后根據問題情境，利用分段函數模型，轉化為已知函數值的范圍求自變量的取值范圍的數學問題，再運用解分式方程的方法得到解決.3? 準確解讀出單元的核心素養

《課標（2022年版）》提出了“三會”的培養目標，并且給出了初中階段核心素養的主要表現為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數據觀念、模型觀念等7個指標，另外還有應用意識和創新意識兩個跨學科的表現.

在完成了前面兩個解讀后，還要“解讀”出在學習反比例函數時，應重點培養的核心素養：

1.抽象能力

《課標（2022年版）》指出“抽象能力主要是指通過對現實世界中數量關系與空間形式的抽象，得到數學的研究對象，形成數學概念、性質、法則和方法的能力”［1］8.數學抽象能力是學生數學核心素養的重要組成部分，加強抽象能力的培養是提高學生核心的重要舉措.

反比例函數單元的主要內容是“反比例函數概念→性質→應用”，學生抽象能力素養主要表現在兩個地方：

（1）建立反比例函數概念的過程中

教材在建立反比例函數概念時給出了三個生活實例，學生從三個實例中分別抽象出三個函數表達式y=84x，t=200v，p=－10q，這是個符號化的過程，這個過程有助于學生抽象能力的培養，在得到三個函數表達式后讓學生觀察這三個函數表達式的共同特征，抽象出y=kx（k≠0）形式的過程又一次發展了數學抽象能力.同時這種設計有助于學生體會“數學來源于生活”的意義.

（2）建立反比例函數模型解決問題的過程中

教材在第4課時設計的兩個例題，主要是引導學生經歷“問題情境—建立模型—求解驗證”的過程，讓學生親身經歷建立反比例函數模型解決實際問題的完整過程，再一次感悟到“結合具體情境體會反比例函數的意義”，提高學生“能用反比例函數解決簡單實際問題”的能力，也有助于學生模型觀念和應用意識的培養.

2.運算能力

《課標（2022年版）》認為，“運算能力主要是指根據法則和運算律進行正確運算的能力”［1］8.運算能力是重要的核心素養之一，加強運算能力的培養，有助于學生形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學態度.

數學運算能力是在不斷地運用數學概念、法則、公式，經過一定數量的練習而逐步形成和發展的.在學習反比例函數內容的學習過程中，一刻也離不開數學運算，教材中的例3和例4就是以“運算”為主的題目，建立反比例函數模型解決實際問題時，離開數學運算更是無法進行的.

3.幾何直觀

幾何直觀主要是指運用圖表描述和分析問題的意識與習慣［1］8.幾何直觀有助于把握問題的本質，明晰思維的路徑.在研究反比例函數性質時，通過“取點—連線—觀察”等活動發現、歸納出反比例函數性質的過程中，有助于學生幾何直觀的形成與發展.

4.模型觀念

模型觀念主要是指對運用數學模型解決實際問題有清晰的認識［1］10.培養學生的模型觀念是進行核心素養教育的需要，模型觀念有助于開展跨學科主題學習，感悟數學應用的普遍性.

在反比例函數概念以及建立反比例函數模型解決實際問題的過程中有助于學生進一步感悟模型思想，發展模型觀念.

5.應用意識

應用意識主要指有意識的利用數學的概念、原理和方法解釋現實世界中的現象與規律，解決現實世界中的問題［1］10.應用意識是跨學科的素養表現，教學中加強應用意識培養有助于學生用已經學過的數學知識和方法解決簡單實際問題的能力，逐漸形成理論聯系實際的習慣.

反比例函數是培養學生應用意識的重要載體之一，結合反比例函數的學習適當引導學生通過建立反比例函數模型解決簡單實際問題，有助于學生應用意識的培養.

案例1? 藥薰法滅蚊的學問.

某校對教室采用藥薰法進行滅蚊.根據藥品使用說明，藥物燃燒時，室內每立方米空氣中含藥量y（mg/m3）與藥物點燃后的時間x（min）成正比例，藥物燃盡后，y與x成反比例（圖2）.已知藥物點燃后8min燃盡，此時室內每立方米空氣中含藥量為6mg.

圖2

（1）求藥物燃燒時，y與x之間函數的表達式；

（2）求藥物燃盡后，y與x之間函數的表達式；

（3）根據滅蚊藥品使用說明，當空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時，對人體是安全的.那么從開始藥薰，至少經過多少時間，學生才能進入教室？

（4）根據滅蚊藥品使用說明，當每立方米空氣中含藥量不低于3mg且持續時間不低于10min時，才能有效殺滅室內的蚊蟲，那么此次滅蚊是否有效？為什么？

設計意圖? 本題以“藥薰法滅蚊”為背景，是現實生活中融正比例函數和反比例函數于一體的實例，題目巧妙的用圖2給出了由兩段函數構成的函數圖象，其中很多信息都隱含在其中.在此基礎上給出了四個問題.

學生通過閱讀圖象，很容易發現當0＜x≤8時，藥物燃燒階段對應的函數是正比例函數；當x＞8時，藥物燃盡后藥量逐漸消散的過程對應的是反比例函數關系.點（8，6）是分段點，意識到這一點，就找到了解決問題（1）和（2）的突破口；對于問題（3）只要能求出“從開始藥薰，至少經過多少時間，含藥量低于1.6mg”即可以；（4）只要把y=3分別代入正比例函數和反比例函數表達式，求出對應的兩個時間，根據這兩個時間差是否大于10即可以作出判定.

本題表面看主要是考察學生建立函數模型解決問題的能力，實際上學生通過解答，可以培養和發展學生的多種數學素養，如數學運算能力、數學抽象能力、幾何直觀、模型觀念、應用意識等，還有助于培養學生的閱讀理解能力和獲取信息的能力，并能加深學生對數形結合思想的進一步感悟等.因此本題是一道適宜提高學生綜合素養的好題目.

單元整體教學不同于課時教學，在劃分單元后，教師應下大力氣去研讀課標要求、課程內容、以及學習內容涉及到核心素養的表現等，從而為單元教學奠定堅實的基礎.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.5：86.

［2］王恩大.數學教育辭典［M］.濟南：山東教育出版社，1991.9：479.

［3］潘超.數學概念深度教學須“五理解”——以人教版“一次函數”為例［J］.數學通報，2021（04）：25-29.

［4］秦治安.提高中學生數學解題能力的途徑［J］.教育教學論壇，2013（32）：113-114.

作者簡介? 李樹臣（1962—），男，山東沂南人，中學正高級教師;臨沂大學學生學業導師，山東省教育科研先進個人，山東省創新教育先進個人，三次獲山東省省級教學成果獎;全國義務教育初中數學教材（青島版）核心作者，中國人民大學《復印報刊資料·初中數學教與學》編委，湖北大學《中學數學》特約編委.