研形理數 思辨求真 真題“化”作業

【摘? 要】? 對2023年陜西中考13題從試題結構、知識能力、思維障礙、解法探究、作業設計等角度進行深度分析，提出雕刻試題讓思維進階、技術賦能助思維成長、從核心概念出發構建知識體系，育高階深度思維品質.

【關鍵詞】? 幾何直觀;數形結合;作業;數學見識

1? 試題呈現? 圖1

（陜西省2023年中考數學第13題）如圖1，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點E在邊AD上，且ED=3，M，N分別為邊AB，BC上的動點，且BM=BN，P是線段CE上的動點，連接PM，PN，若PM+PN=4，則線段PC的長為.2? 試題簡析

試題屬于填空壓軸題，以矩形為載體，隱藏角平分線、等腰直角三角形，構造內涵豐富、思辨靈動的圖形空間.試題綜合考查學生靈活運用矩形性質定理、軸對稱性質、平行線之間的距離和勾股定理知識，設問指向能力立意評價.

從知識層面分析：學生已有解題經驗是已知動點求線段和最小值問題，“最短路徑”模型印象深刻.但本題反其道而行之，以線段和為條件，隱去“最值”關鍵詞，將“最值”轉化為“PM+PN=4”的條件，“4”是矩形的長，“4”也可以描述為平行線AB與CD之間的距離，初中階段幾何最值問題主要圍繞“兩點之間線段最短”“連接直線外一點與直線上點的所有線段中，垂線段最短”為知識基礎，借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究.點與點、點與線、點與形的關系是幾何核心內容，定量確定特殊線，定性確定特殊點，從整體到局部，從一般到特殊，滲透、類比、化歸、數形結合、特殊一般等數學思想，把不熟悉的數學問題轉化為熟悉的問題.

從能力層面解析：試題在矩形中隱藏角平分線，構造等腰直角三角形，關注知識脈絡，引導學生對題目信息進行深加工，通過“為形配數”和“賦形以數”，用數的精確性闡明形的對稱性，依托形直觀刻畫“PM+PN=4”，構建直觀模型實現“數”“形”的雙向并進與融通，學生實現從“看到”到“想到”，學生感受到數形結合的“精妙”，在這個過程中，學生理性的幾何直觀和空間想象能力拾級而上，合乎邏輯的思維習慣、實事求是的理性精神得到有效培養，實現核心素養的落地.

從思維障礙探析：

1.學生沒有發現ED=3的隱含結論.矩形圖中隱含著Rt△EDC，線段CE是斜邊也是∠BCD的平分線.當CE承擔對稱軸的作用時，可以實現PM+PN化折為直；當CE發揮角平分線的作用時，根據角平分線性質添加輔助線，構造“新的矩形”.Rt△EDC可以通過題中條件ED=3得到，也可以通過觀察圖形發現其特殊性.沒有發現這個隱含條件，說明學生的“數感”“圖感”經驗有限.

2.學生對“最短路徑”模型最深的印象是線段和最小，題目中沒有給出“最小”關鍵詞，導致無法調取解題模型和解題經驗，說明學生模型的理解停留在“記憶再現”層級，并沒有真正理解模型的本質與核心要素.

3.當學生看到PM+PN=4，從解題經驗知道要化折為直，但對數字“4”不夠靈敏，矩形長“4”隱含折直變換后恰與矩形邊平行.對條件BN=BM不知如何使用.說明學生有問題線索的意識，但無法將多個信息點有機聯系起來.

4.部分學生推理正確但運算失誤，還有學生看到動點問題、看到這個題位即選擇放棄.如果用爬山形容中考答卷，逾山望遠山，峰巒疊翠，志強者智達.

幾何最值問題的探究對學生數學思維，特別是創新能力的培養、核心素養的提升具有重要意義，考場上的“靈機一動”絕非輕易觸動，它是完整的知識網絡、扎實的推理功底、豐富的解題經驗的綜合體現.當題意理解透徹后，解題就進入了“模型”環節，圖形由動變靜，點線由多變少，有形的東西在消失，模型關鍵要素浮出水面，學生思維由幾何直觀過渡到圖形抽象，由空間想象進入邏輯推理，分析問題、解決問題的能力一以貫之.思維障礙產生的原因有知識缺失，更是情感投入和意志力的支撐出現不足.四基四能讓核心素養得以“豐腴”，敢于挑戰、勇于克難、積極探索，豐富的情感投入讓核心素養發展擁有核心動力.3? 解法探究

解法1? 模型驅動，合理構造

線段和常常在最短路徑問題中出現，那么就需要判斷“PM+PN=4”是不是最短路徑.三角形三邊關系隱含等量最值，軸對稱性質實現共點線段化折為直，兩大性質巧妙串聯線段關系是破題的核心.BM=BN可以翻譯為“線段BN繞點B逆時針旋轉90°”，隱含鄰邊相等夾角為90°某特殊四邊形的存在.EC既是∠BCD平分線，也是對稱軸，當PN關于直線對稱得到PN′時，PM+PN轉化為PM+PN′，由“PM+PN=BC=4”即可判定“最短路徑”模型.

如圖2，根據EC平分∠DCB及對稱軸性質，構造點N關于PC對稱點N′，當點M，P，N′三點共線即PM+PN=PM+PN′=BC=4時，點P位置即確定，依據條件BM=BN易得N為BC中點，進而可得等腰Rt△PN′C，PC長為22.

解法2? 研形理數，推理轉能

動態幾何中的線段和問題，問題雖為幾何，但卻賦予了“數”的特性，構建關聯關系需要立足幾何特征，把握幾何性質，重點關注具有“數”屬性的性質定理.如圖3，根據BM=BN條件作垂直構造“特殊四邊形”，由“PM+PN≥PQ+PR=BR+CR=BC=4”易證四邊形PMBN為正方形，則PC=22.圖3解法3? 直觀蓄勢，巧做智得? 圖4

依據條件構造網格輔助，會直觀發現線段EC的特殊性，如圖4.當點M，N，P恰在格點時，滿足PM+PN=4且BM=BN，此時，點M，N，P均為格點特殊位置，即得PC長.借助網格平行線、度量運算的內在力量，實現了填空小壓軸的智得巧做.網格工具讓條件中的數與量直觀化，數與形真正結合，直觀模型“再發現”讓猜想可視化解題思路自然顯現，網格工具增強推理意識，提升推理能力.

不同的解法隱含不同的思維路徑，對條件的判斷與認識程度，能夠反應到做題繁簡與用時差異，從而區分出不同層次的思維品質，測評出數學素養各要素的不同水平.解法3簡潔明快，干凈利落，網格作為非常態輔助工具，隱含建系策略，小格點大能量，為后續高中學習奠定堅實基礎.4? 真題“化”作業

中考題嚴格以課標為依據，緊緊圍繞學科核心概念、思想方法、時代方向等命題，具有引導教學教研方向的重要作用.如果能夠將中考真題分解轉化為日常作業題組，針對知識考點和能力要求，將思維障礙進行分層分解，轉換圖形背景、變換問題設問、關聯生活實際，精選精練精講，就能夠幫助學生真正走出題海，“作業”功能最大化.下面就以2023年陜西中考13題為例進行作業題組設計，作業目標、水平層級及學生自我評價量表［1］與每道題一一對應，學生通過題組訓練，能夠看到自我的進階，實現從學會解題走向學會解決問題；老師也通過作業設計，更加明確教與學的方向，優化教與學的過程，用變式提高辯證、用“不變”策略激發應變活力.

4.1? 作業目標

1.通過圖形變化，強化識圖、畫圖能力，滲透數形結合思想；

2.通過變化題設延伸結論，深化模型解題策略，提升化歸能力；

3.通過解決實際問題，優化知識體系反思策略方法，培養思維審辯力.

4.2? 水平層級

水平Ⅰ：加強記憶——復述強化，問題明確不再進行信息加工；

水平Ⅱ：再現方法——鞏固所學方法解決學科內問題；

水平Ⅲ：熟練技能——強化技能，方法組合運用，知識綜合應用；

水平Ⅳ：形成能力——能抽象出數學模型或探索內在規律，對問題進行數學化地分析、表達，能解決簡單的實際問題或學科綜合，形成自己解決問題的方法策略；

水平Ⅴ：培養思維——對不同背景下的過程性活動，能運用數學思維方式進行思考，能靈活運用思想方法解決問題，能進行擴展和延伸，展現理性思維.

4.3? 學生自我評價量表

評價維度

優秀（3分）

良好（2分）

過關（1分）

再努力

1.讀懂題意，能將圖形與條件相結合

2.能讀出題中隱含條件（由已知想可知）

3.能正確應用定理、性質

4.能根據題意構畫輔助線

5.能找到這一類問題的共同特點（條件、圖形、解法等）

6.能進行補圖、變圖、變條件、賦予實際背景并正確解答

4.4  作業題組設計

1.如圖5，梯形ABCE中，AE∥BC，AB=3，BC=4，AE=1，M，N分別是邊AB，BC上的動點，且BM=BN，P是線段CE上的動點，連接PM，PN，若PM+PN=4，求線段PC長，這個題目與“源”題是（填“相同題或不同的題”）.

水平層級行為表現目標指向

Ⅰ級記憶識別1

2.如圖6，平行四邊形ABCD中，AB=4，BC=6，∠B=60°，點E在邊AD上，AE=2，M，N分別是邊AB，BC上的動點，且BM=BN，P是EC上的點，若PM+PN=6，則線段PC長為.水平層級

行為表現

目標指向

Ⅱ級

理解初步應用

1，2

3.如圖7，菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，M，N分別是邊AB，BC上的動點，且BM=BN，PM⊥AB，垂足為M，交AC于點P，當PM+PN=33時，求線段PC和BN長.

水平層級行為表現目標指向

Ⅲ級掌握靈活應用1，2

4.如圖8，等腰Rt△ABC中，∠B=90°，E，F是BC邊三等分點，P是斜邊AC上動點.

（1）當BC=6，PE+PF=25時，求線段PC長；

（2）當PE+PF最小時，求APPC的值；

（3）如圖9，某小區游樂場為正方形ABCD，AB=800m，物業辦在點B處，FE是綠化帶，EF∥BC，BF=200m，根據環境和實際需求，在四邊形AFED內（含邊界）修一個半徑為40m的圓型環道，過圓心O作OM⊥AB，垂足為M，與⊙O交于點N，連接BN，點P在⊙O上，連接DP，線段DP，BN及MN為要修的三條路，當BN+DP最短的情況下，使道路MN最短，求此時OM長.

（2023陜西中考26題改編）

水平層級行為表現目標指向

Ⅳ、Ⅴ級掌握實踐運用2，35? 教學啟示

數學家華羅庚先生說：“數學是一個原則，無數內容，一種方法，到處可用.”經歷中考復習后，大量的解題教學與訓練，學生積累了豐富的解題經驗，但為什么在考場上還會出現“縱使相逢仍不識”的現象？這就需要教師追溯“曾經相識”、找到“隱藏真相”、厘清本質核心，讓解題“知其然、知其所以然、知何由以知其所以然”.

5.1? 從雕刻試題到作業設計，讓思維進階

每年中考試題都是教研重要議題，小小試題承載著育人大使命和評價大任務，中考題中蘊含著最新研究方向、前沿研究領域、現有研究深度，試題從解答→解析→賞析，從三年學習進階的視角去審視解題模型，從凝練經驗形成策略去關注通性通法.試題也是作業，作業也是評價，作業融合“四基”“四能”和核心素養的主要表現，是階段性評價的主要依據［2］.雕刻試題變作業設計，微雕強化記憶再現方法，浮雕凸顯知識核心、滲透思想方法，3D圓雕綜合應用素養落地.試題“分步得分”的本質是學生思維能力水平的層級劃分，用作業評價量表讓學生看到進階之路，激活思維動力，久久為功步步踏實，實現思維進階.

5.2? 從賡續力量到技術賦能，助思維生長

審題閱讀明“目標”，讀圖理數知“條件”，數形轉化尋“路徑”，反思回顧理“核心”.當解題與教學相遇時，解題就不再是以獲得正確答案為目的.“數學+教育+網絡畫板”，用數學實驗實現多維呈現，解決學生在“動態”問題中的“想不到、畫不出、無感”情況，從具身體驗到“離身”思辨，從“半腦”學習為全腦激活，實現了數學最核心能力“抽象”分層、分步.幾何直觀、邏輯推理同步整體提升.學生在探“變”究“核”中落下“數學印記”，老師在探“變”究“核”中從學科邏輯走向學習邏輯，讓推理看得見，內化思維的“序”與“章”，同時也解決了不同學生思維進階分層分步的“時差”問題.賡續力量技術賦能，師與生都是創生者，圓融無礙，應物無方，用教師的“思維深度”助學生的“思維生長”.

5.3? 從核心概念到核心素養，育思維品質

平面幾何研究基本圖形構成元素及元素之間的關系，點就是基本元素，關系就在概念中.高中點與面、線與面、面與面位置關系的知識點，就是從初中點與點、點與線生長而來，從核心概念出發，對所習得的知識信息進行深加工，形成基件組塊，用組塊去建立能體現學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的網絡體系，這個過程就是學生優化認知結構的過程，這個過程實現了從“學會數學思考”走向“通過數學學會思考”，用核心概念育可持續學習能力，攜核心概念育高階深度思維品質，引導學生運用所學數學知識從做題到做事，育人無聲向素養.

參考文獻

［1］王月芬.重構作業——課程視域下的單元作業［M］.北京：教育科學出版社，2022.1：197-198.

［2］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.4：3-4.

作者簡介? 劉英英（1974—），女，陜西西安人，中學高級教師，陜西省學科帶頭人;主要從事數學課堂教學研究;主持完成教育部子課題、省市規劃課題，發表文章10余篇.