玻璃管—液柱類問題重難點突破

孫德成

(山東省威海市文登區教育教學研究中心)

氣體壓強的產生與相關計算是高考命題中常涉及的一類問題,這類問題中的計算題大致以汽缸—活塞模型和玻璃管—液柱模型呈現,也有可能出現上述兩種模型組合在一起的情況。其中的玻璃管—液柱類問題考查物理觀念和科學思維兩大學科素養,考查信息獲取與加工能力中的理解能力和邏輯推理與論證能力兩大關鍵能力,考查氣體實驗定律、理想氣體、熱力學定律、受力分析、共點力平衡等必備知識。

為了培育學生的學科素養,提升學生的關鍵能力,夯實學生的必備知識,減少“題海戰術”和“機械刷題”的收益,本文通過歸類整合,將解決這類重難點問題的思維方法進行梳理提煉,并引導幫助考生構建分析、解決此類問題的思維模式,從而做到學以致用。

筆者將玻璃管—液柱類問題歸結為三類:液柱移動類、液柱添加類和液柱溢出類,并通過精選例題和變式遷移,分別對這三類問題加以剖析。

一、液柱移動類

(一)溫度不變

【例題1】如圖1所示,開口向下插入水銀槽的玻璃管內封閉著長為H的空氣柱,管內外水銀柱高度差為h,若緩慢向上提起玻璃管(管口未離開槽內水銀面,且提起過程溫度不變),H和h的變化情況是

( )

A.h和H都增大 B.h和H都減小

C.h增大,H減小 D.h減小,H增大

圖1

【答案】A

【解析】假設玻璃管內的水銀柱高度不變,若將玻璃管緩慢向上提起,封閉氣體長度H(H→H′)增大,如圖2所示,即封閉氣體體積增加,根據玻意耳定律知,封閉氣體的壓強p將減小,由封閉氣體壓強p=p0-ρgh知,水銀柱高度h(h→h′)增加,如圖2所示。

圖2

【變式遷移】例題1中,若僅把“緩慢向上提起”改為“緩慢向右傾斜某一角度”,其他條件不變,如圖3所示。則H和h的變化情況為

( )

圖3

A.h和H都增大 B.h和H都減小

C.h增大,H減小 D.h減小,H增大

【答案】B

【解析】假設管內水銀柱長度不變,當管緩慢向右傾斜某一角度,水銀柱的高度差h(h→h′)減小,如圖4所示。由封閉氣體壓強p=p0-ρgh知,壓強p增加,據玻意耳定律知,封閉氣體體積減小,即H(H→H′)減小,如圖4所示。

圖4

(二)溫度變化

【例題2】如圖5所示,在兩端封閉的玻璃管中間,用水銀柱將溫度相同的A、B兩部分氣體隔開,A、B兩部分氣體的體積相同。若把兩部分氣體均緩慢升高相同的溫度(保持玻璃管水平不動),則:

圖5

(1)水銀柱將如何移動?

(2)若剛開始B部分氣體的溫度較高,仍把兩部分氣體均緩慢升高相同的溫度,則水銀柱將如何移動?

【答案】(1)水銀柱不移動 (2)水銀柱向B方向移動

【解析】(1)剛開始由水銀柱處于平衡狀態知,pA=pB,設氣體A初始狀態參量為pA、VA、TA;氣體B初始狀態參量為pB、VB、TB,升高相同的溫度ΔT。

假設升溫后水銀柱不動,則A、B兩部分氣體均發生等容變化,由查理定律知,溫度升高,氣體壓強增加,設A、B氣體壓強增加量分別為ΔpA、ΔpB

因為pA=pB,TA=TB

所以ΔpA=ΔpB

A氣體末態壓強pA′ =pA+ΔpA

B氣體末態壓強pB′ =pB+ΔpB

所以pA′ =pB′ ,pA′S=pB′S(如圖6所示)

圖6

(2)根據查理定律得

A氣體末態壓強pA′ =pA+ΔpA

B氣體末態壓強pB′ =pB+ΔpB

因為pA=pB,TA

所以ΔpA>ΔpB

所以pA′ >pB′ ,pA′S>pB′S(如圖7所示)

圖7

【變式遷移】例題2的(2)中,若僅把“緩慢升高”更改為“緩慢降低”,其他條件不變,則水銀柱將如何移動?

【答案】水銀柱向A方向移動

【解析】根據查理定律得

A氣體末態壓強pA′ =pA-ΔpA

B氣體末態壓強pB′ =pB-ΔpB

因為pA=pB,TA

所以ΔpA>ΔpB

所以pA′

圖8

【液柱移動問題的思維點撥】分析液柱移動問題的思維模式如下:

二、液柱添加類

【例題3】如圖9所示,一端封閉一端開口的U形玻璃管豎直放置,封閉端有一段長L1=40 cm的空氣柱,左右兩邊水銀柱的高度差h=19 cm,大氣壓強為p0=76 cmHg。要使兩邊管中的水銀面一樣高,需要再注入多少水銀柱?(設右管足夠長,整個過程溫度保持不變)

圖9

【解析】設玻璃管的橫截面積為S,以管內封閉氣體為研究對象

初狀態:p1=p0-ρgh=57 cmHgV1=L1S=40S

末狀態:兩邊管中的水銀面一樣高,根據連通器原理,同一部分靜止液體在同一深度處壓強相等可知,p2=76 cmHg,設此時空氣柱長為L2,

V2=L2S,由玻意耳定律得:p1V1=p2V2

得L2=30 cm

求得:需注入水銀柱長度為L=(L1-L2)×2+h=39 cm(如圖10所示)

圖10

【變式遷移】例題3中,若僅把“水銀面一樣高”更改為“右管的水銀面比左管高h′=4 cm”,其他條件不變,需要再注入多長的水銀柱?

【答案】46 cm

【解析】設玻璃管的橫截面積為S,以管內封閉氣體為研究對象

初狀態:p1=p0-ρgh=57 cmHgV1=L1S=40S

末狀態:p2=p0+ρgh′=80 cmHgV2=L2S

由玻意耳定律p1V1=p2V2得L2=28.5 cm

所以需注入的水銀柱長度為L=(L1-L2)×2+h+h′=46 cm(如圖11所示)

圖11

【液柱添加問題的思維點撥】分析液柱添加問題的思維模式如下:

三、液柱溢出類

【例題4】如圖12所示為一支長L=100 cm的粗細均勻的玻璃管,開口向上豎直放置,管內由h=20 cm長的水銀柱封閉著L1=70 cm長的空氣柱。若將管口開口向下豎直放置,空氣柱長度變為多少?(設外界大氣壓強為75 cmHg,整個過程溫度不變)

圖12

【答案】95 cm

【解析】設管的橫截面積為S,以封閉氣體為研究對象,

初狀態:p1=p0+ρgh=95 cmHgV1=L1S=70S

若將管口向下豎直放置,由于空氣柱與水銀柱的長度和較大,而管總長較短,水銀柱可能會有部分溢出,如圖13所示。設管內剩余水銀柱長為x

末狀態:p2=p0-ρgxV2=(L-x)S

由玻意耳定律知,p1L1S=(p0-ρgx)(L-x)S

解得x1=5 cmx2=170 cm(舍)

所以空氣柱長度為100 cm-x=95 cm

圖13

【變式遷移】在滿足上題的條件下,若再將玻璃管緩慢旋轉至水平位置,空氣柱的長度變為多少?

【答案】88.7 cm

【解析】設管的橫截面積為S,以封閉氣體為研究對象,管內剩余水銀柱長為x,如圖14

初狀態:p1=p0+ρgh=95 cmHgV1=L1S=70S

(或初狀態:p1=p0-ρgx=70 cmHgV1=L1S=95S)

末狀態:p2=75 cmHgV2=L2S

由玻意耳定律知,p1V1=p2V2

圖14

【液柱溢出問題的思維點撥】分析液柱溢出問題的思維模式如下:

四、解答玻璃管—液柱類問題的幾個注意

解答玻璃管—液柱類問題的關鍵是封閉的氣體壓強的計算,而要求封閉的氣體的壓強往往需要學生轉換研究對象,對封閉氣體的液柱進行準確的受力分析,列出平衡方程或牛頓第二定律方程,在求解過程中學生需要注意以下四點:

(一)準確寫出液體壓強的計算公式:p=ρgh(h為液柱的豎直高度);

(二)靈活運用連通器的原理——連通器內同一種靜止的液體在同一深度的壓強相等,從而準確求出封閉的氣體壓強;

(三)求封閉氣體的壓強時不要漏掉大氣的壓強;

(四)在需要對液柱進行受力分析時不要漏力(尤其是重力),更不要多力(例如:大氣壓力)。

五、結束語

在《高考評價體系解讀(2023)》一書中,針對物理學科的特點提出了五種關鍵能力:信息獲取與加工能力、模型建構能力、邏輯推理與論證能力、批判性思維能力和實驗探究能力。其中的信息獲取與加工能力又包含了理解能力、信息搜索能力和信息整理能力。

縱觀山東省近四年的新高考物理試題,高考的命題不斷增強試題的應用性、探究性和開放性,并主要考查學生的信息獲取與加工能力和邏輯推理與論證能力。在新高考改革的指引下,本文通過對玻璃管—液柱類問題的歸類與剖析,旨在呼吁廣大一線物理教師在高三的一輪復習中要注重歸納與整合,遷移與變式,注重引領高三學生靈活運用所學的物理必備知識分析解決實際問題,多運用發散思維多角度分析解決問題,從而有效培養新高考注重考查的五種關鍵能力,培養學生的問題意識,助力國家培養創新型人才。