基于響應面法與MOGA算法的竹集成材榫接合椅子節點力學分析及優化

楊越淳,王雨凡,楊洋,張蕾,張仲鳳*

(1. 中南林業科技大學,國家林業和草原局綠色家具工程技術研究中心,湖南省綠色 家居工程技術研究中心,長沙 410004;2. 東陽市家具研究院,東陽 322100)

我國是竹資源大國,竹林蓄積量及竹材產量均位于世界第一[1-2],竹材繁茂易生,具有采伐周期短、再生能力強、碳儲量高等優勢[3],是符合“雙碳”目標的可持續發展綠色材料。隨著竹材加工技術的不斷進步,我國自主研發的竹集成材克服了竹材材質不均、壁薄中空等缺點,具有強度高、韌性好、尺寸穩定等特點[4-6],目前已逐漸應用于建筑、家具、產品等領域。竹集成材是具有中國色彩的復合材料,將其作為榫卯家具用材,有助于實現中國傳統文化的現代轉譯。竹集成材材料特性與常用于制作榫卯家具的木材有別,因此將竹集成材用于榫卯家具需要先判斷其可行性及適用性,并對竹集成材榫卯家具的安全性、結構有效性進行分析。

本研究借助竹集成材優良材料性能,基于榫卯結構特性,以竹集成材橢圓榫接合椅子為例,運用有限元法(FEM)進行椅子的靜載荷及耐久性分析,探究竹集成材榫接合椅子及榫接合節點的力學特性,并運用響應面模型求解竹集成材T型橢圓榫接合節點榫卯尺寸與其最大等效應力、總形變和最小安全系數的關系。在對竹集成材榫接合節點尺寸配合的優化中,運用MOGA多目標遺傳算法以形變最小化、安全系數最大化為優化目標,進行榫卯尺寸優化,為竹集成材榫接合椅子的榫卯尺寸設計提供科學依據及優化方法。

1 模型與方法

1.1 竹集成材榫接合椅子FEM模型

椅子是人們日常生活中使用頻率相對較高的家具,因此對其進行受力分析至關重要。在椅子使用過程中,影響椅子質量或造成椅子損壞的因素有許多,如用材、零件尺寸、使用環境、使用方式等,其中零件尺寸會影響各零件間的受力狀況,從而進一步影響椅子質量。本研究以竹集成材榫接合椅子為例,選用FEM分析方法進行椅子力學特性分析。FEM分析能夠利用數學方法模擬真實的載荷工況,有效指導家具結構設計,提升家具結構有效性驗證效率,實現無損檢測,降低檢測成本[7-8]。竹集成材榫接合椅子的FEM力學強度分析依據國家標準相關試驗要求,進行椅子的靜載荷及耐久性分析。

為科學有效地模擬竹集成材榫接合椅子及其結構在載荷作用下受到的應力、應變、形變等物理、力學影響,驗證竹集成材用于榫接合椅子的可行性及結構穩定性,本研究運用計算機輔助建模方式建立竹集成材榫接合椅子參數化模型,消除椅子生產制造過程中的人工誤差,提高分析結果的可靠性[9-10]。為保證分析方法的普適性,竹集成材榫接合椅子模型去除冗雜的裝飾結構,僅保留榫接合椅子的基礎造型,椅子所有節點運用橢圓榫進行接合。椅子模型由19個零件組成,共30個橢圓榫接合節點,椅子模型整體尺寸為540 mm(長)×560 mm(寬)×840 mm(高),椅子框架為35 mm×35 mm方材,椅背、座面、大邊及抹頭方材尺寸為35 mm×50 mm,椅子模型示意圖如圖1所示。其中,椅子框架榫接合節點橢圓榫尺寸設置為10 mm×20 mm×30 mm(榫頭厚度×榫頭寬度×榫頭長度),35 mm×50 mm零件榫接合節點橢圓榫尺寸為10 mm×30 mm×30 mm(榫頭厚度×榫頭寬度×榫頭長度),榫頭寬度方向為過盈配合,過盈量為0.2 mm。

進行竹集成材榫接合椅子力學特性FEM分析前,應先測定竹集成材的彈性常數[11]。竹集成材是明顯的正交各向異性材料,運用電阻應變測試法[12-14]進行竹集成材彈性常數測試。測試用竹集成材為福建南平生產的竹集成材方材,材料密度為0.75 g/cm3,含水率為8%～10%。通過竹集成材抗壓試驗,測定竹集成材抗壓彈性模量EX、EY、EZ,及泊松比μXY、μXZ、μYZ;運用三點彎曲法進行竹集成材抗彎試驗,測定竹集成材抗彎彈性模量MOEY,MOEZ,并根據試驗所得抗彎彈性模量推導計算出竹集成材剪切模量GXY、GXZ、GYZ[15-16]。竹集成材抗壓試驗中,試件制備參考國家標準GB/T 1935—2009《木材順紋抗壓強度試驗方法》,分別以竹集成材的順紋方向(X)、垂直順紋方向(Y)及厚度方向(Z)作為試件的長軸方向,截取每組6個尺寸為20 mm×20 mm×30 mm(長×寬×高)的試件。彎曲狀態下彈性模量測試試件尺寸參考國家標準GB/T 1936.2—2009《木材抗彎彈性模量測定方法》,分別以竹集成材順紋方向(X)為試件長度方向,截取尺寸為300 mm×20 mm×20 mm(長×寬×高)的垂直順紋方向(Y)試件和厚度方向(Z)試件各6個,測定數據如表1所示。將椅子模型導入ANSYS Workbench軟件中,并賦予模型以竹集成材材料屬性,建立竹集成材榫接合椅子FEM模型。

圖1 竹集成材榫接合椅子示意圖Fig. 1 Schematic drawing of laminated bamboo lumber tenon chair

表1 竹集成材彈性常數測試結果Table 1 Test results of elastic constants of laminated bamboo lumber

1.2 椅子力學強度分析方法

在椅子的日常使用中,常因受力而發生形變、破壞等,通過FEM對其進行受力分析,能夠科學有效地判斷椅子的強度是否能夠滿足使用需求。對竹集成材榫接合椅子的靜載荷分析參考GB/T 10357.3—2013《家具力學性能試驗 第3部分:椅凳類強度和耐久性》規定,選用第4等級重載使用、頻繁使用家具的試驗水平標準,進行座面和椅背聯合靜載荷試驗。限定2條椅子后腿底部與地面接觸位置為固定約束,沿座面中心線在離座面前端100 mm處向下施加靜載荷1 600 N,在椅背縱向軸線上椅背頂部向下100 mm處加載點施加靜載荷500 N,同時加載10次,每次加載力保持10 s,加載示意圖如圖2a所示。

除靜載荷分析外,對竹集成材榫接合椅子進行耐久性分析也是評價椅子結構安全、穩定的重要標準[8]。在椅子的耐久性分析中,不考慮空氣含水率、地域性等外界環境因素,僅分析竹集成材榫接合椅子的力學耐久性。參考GB/T 10357.3—2013內容,選用第4等級重載使用、頻繁使用家具的試驗水平標準,進行竹集成材榫接合椅子整體耐久性分析試驗。限定2條椅子后腿底部與地面接觸位置為固定約束,沿座面中心線在離座面前端100 mm處向下施加載荷950 N,在椅背縱向軸線上椅背頂部向下100 mm處施加靜載荷330 N,循環1×105次,加載示意圖如圖2b所示。

圖2 座面椅背聯合分析加載示意圖Fig. 2 Schematic diagram of combined analysis of seat and back for a chair under loading

1.3 榫接合節點分析響應面模型

ANSYS Workbench FEM響應面模型的基本邏輯是通過選取合適的設計變量并確定設計點,以合理的采樣和迭代進行數值分析并提取分析結果[16]。其中,Kriging響應面模型是一種基于隨機過程估計方差最小的無偏估計模型,其基本思想是利用已知樣本點函數值的線性加權求和來求解位置預測點函數值,本質是逼近輸入變量與輸出結果的關系曲線或響應面[17]。Kriging模型的基本表達式如下[18]:

(1)

選取椅子易損節點——T型榫接合節點為竹集成材榫接合節點力學特性研究對象,運用Kriging響應面模型求解竹集成材T型榫接合節點的榫卯尺寸與其最大等效應力、總形變和最小安全系數的關系。在前期研究中,對椅子的整體力學強度分析可知,椅子座面受力均勻分布在4條椅腿上,單個椅腿在豎直方向上受到的載荷為該方向所受載荷的1/4,即1 600 N的1/4,則單個椅腿在豎直方向上受到的載荷為400 N。因此,在橢圓榫力學特性FEM分析中,運用Design Modeler對竹集成材橢圓榫T型試件進行參數化建模,賦予模型竹集成材材料屬性,選定竹集成材T型橢圓榫地面接觸面為固定支撐,對T型榫接合試件模型施加向下載荷400 N,在距榫接合節點120 mm處進行加載,加載示意圖如圖3所示。

圖3 榫接合節點加載示意圖Fig. 3 Schematic diagram of tenon joint under loading

圖4 橢圓榫尺寸配合圖Fig. 4 Dimensions of oval tenon matching drawing

響應面模型搭建將變量設計為竹集成材橢圓榫榫頭厚度a、榫頭寬度b及榫頭長度l,如圖4所示,通過響應面分析求解出竹集成材橢圓榫T型試件在受力之后發生的最大等效應力、總形變以及最小安全系數。依據竹集成材基材尺寸設計竹集成材橢圓榫尺寸變量上限及下限,橢圓榫榫頭厚度a尺寸范圍取5～20 mm,榫頭寬度b尺寸范圍取20～35 mm,榫頭長度l尺寸范圍取10～30 mm,榫頭寬度方向過盈配合,過盈量為0.2 mm。

1.4 榫接合節點尺寸優化方法

竹集成材橢圓榫接合節點優化以橢圓榫尺寸為優化方向,運用MOGA多目標遺傳算法以橢圓榫榫頭厚度a、榫頭寬度b及榫頭長度l為變量,以總形變最小、安全系數最大為優化目標。MOGA多目標遺傳算法以生物自然競爭為優化原型,以目標函數為適應度控制個體的淘汰或生存,是具有全局優化性能并適用合并處理的優化算法[19-20]。竹集成材橢圓榫接合節點尺寸利用MOGA優化方法,通過交叉、變異對模型進行優化,搜索最優解,并利用驗證點對候選點進行驗證,優化流程如圖5所示。

圖5 優化流程Fig. 5 Optimization flow chart

2 結果與分析

2.1 竹集成材榫接合椅子FEM分析結果

竹集成材榫接合椅子座面椅背聯合靜載荷分析云圖及結果如圖6、圖7及表2所示,由圖表可知,椅子受到的最大等效應力為6.818 MPa,分布在座面大邊與椅后腿榫接合點(圖6a)。椅子發生的最大等效應變值為4.245×10-3,分布在扶手與椅后腿的榫接合點位置(圖6b)。椅子整體發生的最大形變為4.433 mm,位于椅子靠背位置(圖6c)。

竹集成材榫接合椅子耐久性分析中,椅子受到的最大等效應力為4.999 MPa,位于椅子扶手與椅后腿的榫接合點(圖7a)。椅子發生的最大等效應變值為3.113×10-3,同樣分布在扶手與椅后腿的榫接合點位置(圖7b)。椅子整體發生的最大形變為3.251 mm,發生在椅子靠背位置(圖7c)。

圖6 竹集成材榫接合椅子靜載荷分析應力、應變、總形變云圖Fig. 6 Cloud maps of stress, strain and total deformation of laminated bamboo lumber tenon chairs

圖7 竹集成材榫接合椅子耐久分析應力、應變、總形變云圖Fig. 7 Cloud diagrams of stress, strain and total deformation for durability analysis of laminated bamboo lumber tenon chairs

表2 竹集成材榫接合椅子力學特性分析結果Table 2 Analysis results of mechanical properties of laminated bamboo lumber tenon chair

由竹集成材榫接合椅子的應力、應變云圖中可以看出,在椅子受到外部載荷時,椅子整體框架產生的應力及應變較為明顯。其中,榫卯節點處存在結構破壞的風險。通過FEM對竹集成材榫接合椅子進行靜載荷及耐久性分析,能夠為竹集成材榫接合椅子設計提供驗證方法及優化方向。

2.2 橢圓榫接合節點響應面分析結果

基于Kriging響應面分析所得數據繪制輸入變量與輸出結果的3D響應面圖,由圖8變量與等效應力的響應面圖可知,隨著榫頭厚度a及榫頭長度l的增大等效應力減小,榫頭寬度b對等效應力的影響不明顯。由圖9變量與形變的響應面圖可以看出,隨著榫頭厚度a及榫頭長度l的增大形變呈減小后增大的趨勢。由圖10變量與安全系數的響應面圖可以看出,隨著榫頭厚度a及榫頭長度l的增大安全系數也增大,榫頭寬度b對安全系數的影響不明顯。

設計變量對分析目標的影響程度及主次關系可由靈敏度分析得出,如圖11所示,從左到右依次為橢圓榫尺寸對T型榫接合節點等效應力、形變及安全系數的影響。橢圓榫榫卯尺寸對T型榫接合節點力學強度的影響以榫頭厚度a和榫頭長度l為主,榫頭寬度b對等效應力及安全系數的影響不顯著。橢圓榫榫卯尺寸對等效應力的影響主次表現為榫頭厚度a>榫頭長度l,榫頭寬度b影響不顯著;榫卯尺寸對形變的影響主次表現為榫頭厚度a>榫頭寬度b>榫頭長度l;對安全系數的影響主次表現為榫頭厚度a>榫頭長度l>榫頭寬度b。

圖8 變量與等效應力響應面圖Fig. 8 Response surface diagrams of variable and equivalent stress

圖9 變量與形變響應面圖Fig. 9 Response surface diagrams of variables and deformation

圖10 變量與安全系數響應面圖Fig. 10 Response surface diagrams of variables and safety factors

圖11 靈敏度分析Fig. 11 Sensitivity analysis

2.3 橢圓榫尺寸配合優化結果

在對竹集成材T型橢圓榫榫卯節點強度的優化中,以橢圓榫尺寸為優化方向,運用MOGA多目標遺傳算法以形變最小、安全系數最大為優化目標。通過MOGA算法分析迭代,搜索出了3個候選點如表3所示,候選點橢圓榫尺寸配合分析得出的最大形變和安全系數較為相近,且形變較小?？紤]加工生產精度的限制,優化結果選定為橢圓榫榫頭厚度a=18 mm,榫頭寬度b=20 mm,榫頭長度l=27 mm。

對比竹集成材橢圓榫接合節點優化模型及初始椅子模型榫接合節點的形變及安全系數分析結果,如表4所示。經過MOGA算法優化竹集成材榫卯尺寸,橢圓榫的最大形變減少16.76%,安全系數增大40.64%,則表示優化后的竹集成材榫接合節點力學強度相較于初始模型有明顯增強。

表3 橢圓榫尺寸優化候選點Table 3 Candidate points for size optimization of elliptical tenons

表4 優化結果與初始值對比Table 4 Comparison between optimization results and initial values

2.4 優化結果驗證

為驗證竹集成材橢圓榫接合節點配合尺寸優化結果的可行性與有效性,依據MOGA算法優化結果加工制作竹集成材榫接合試件,并進行實際試驗驗證。為保證試驗結果有效,試驗用材與竹集成材彈性常數測試用材為同一批材料,試件加工設備為MJ6128A精密推臺鋸、MZ1610方鑿榫槽機、Z1390精密臺鉆等;試驗設備為MWW-100A微機控制人造板萬能力學試驗機,以及輔助夾具、游標卡尺、直尺等。

圖12 試驗結果與FEM分析結果對比示意圖Fig. 12 Comparison between experimental results and FEM analysis results

以竹集成材榫卯尺寸配合優化結果為試件加工尺寸,橢圓榫尺寸為18 mm×20 mm×27 mm(榫頭厚度a×榫頭寬度b×榫頭長度l),制作6個試件。試件制作完成后,使用萬能力學試驗機測試竹集成材T型榫接合試件的抗彎強度,在距離榫接合節點120 mm處進行加載,設置加載上限為400 N,加載速度為10 mm/min。

在竹集成材榫接合節點尺寸配合優化結果有效性的驗證中,對比試件受力后產生的位移h和FEM優化結果發生的位移s,計算相對誤差,判斷優化結果的有效性,如圖12所示。通過對比試驗分析,橢圓榫試件受力后產生的位移h平均值為11.65 mm,FEM優化結果發生的位移s為11.21 mm,即橢圓榫FEM優化結果與實際試驗結果的相對誤差為3.93%,相對誤差較小,證明優化方法及結果有效。

3 結 論

將竹集成材作為榫卯家具用材,實現中國傳統文化的現代轉譯。本研究通過探究竹集成材榫接合椅子及榫接合節點力學特性,搭建響應面模型求解竹集成材T型榫接合節點榫卯尺寸對節點力學強度的影響,并運用MOGA多目標遺傳算法進行榫卯尺寸優化,為竹集成材榫接合椅子的榫卯尺寸設計提供優化方法及有效性驗證。所得結論如下:

1)竹集成材榫接合椅子座面椅背聯合靜載荷分析所得最大等效應力為6.818 MPa,位于座面大邊與椅后腿榫接合節點;最大等效應變值為 4.245×10-3,位于扶手與椅后腿的榫接合節點;椅子發生的最大形變為4.433 mm,分布在椅子靠背位置。椅子耐久性分析所得最大等效應力及最大等效應變值均位于椅子扶手與椅后腿的榫接合節點,分別為4.999 MPa和3.113×10-3;椅子整體發生的最大形變為3.251 mm,位于椅子靠背上端。

2)由竹集成材T型榫接合節點響應面分析結果可知,竹集成材橢圓榫接合節點的等效應力及形變隨著榫頭厚度a及榫頭長度l的增大而減小,安全系數隨之增大,橢圓榫榫卯尺寸對T型榫接合節點力學強度的影響以榫頭厚度a和榫頭長度l為主,榫頭寬度b影響不顯著。

3)運用MOGA多目標遺傳算法進行竹集成材橢圓榫尺寸優化,以形變最小、安全系數最大為優化目標,結合優化候選點及實際加工情況,優化結果選取為橢圓榫榫頭厚度a=18 mm,榫頭寬度b=20 mm,榫頭長度l=27 mm。相較于初始結果,橢圓榫最大形變減少16.76%,安全系數增大40.64%。且橢圓榫優化結果與實際試驗結果的相對誤差為3.93%,相對誤差較小,證明優化方法及結果有效。