基于HFLTS 中融合專家權重的群決策模型

朱國成，徐 健，趙瑞華

(1.廣東創新科技職業學院通識教育學院，廣東東莞 523960；2.云安中學生物組，廣東云浮 527500)

0 引言

由于猶豫模糊集[1](Hesitant Fuzzy Sets，HFS)可以使用多個隸屬度來刻畫決策者對事物的認知心理，所以在具體的多屬性群決策(Multi-Attribute Group Decision Making，MAGDM)問題中不但被大量采用，而且其基礎理論也被極大拓展.例如，沙秀艷等[2]研究了兩個猶豫模糊元(Hesitant Fuzzy Element，HFE)中隸屬度數量不同的情形，提出了一種能夠比較全面考慮決策者猶豫心理的元素補齊方案，并推導出改進的5 種廣義猶豫模糊距離，最后將該理論應用在金融產品投資決策中；朱國成等[3]建立了HFE 的混合和得分函數與混合積得分函數模型，新定義了猶豫模糊加權混合加與猶豫模糊加權混合積兩個集結算子并簡單分析了算子性質；賈新玲等[4]在加權的HFS 基礎上利用Lance距離建立了一種MAGDM 方法.在HFSMAGDM 問題中，存在很多定性的評價問題，此時HFS 中的隸屬度若繼續采用精確數值表示將完全取決于決策者的主觀能動性，并間接降低了決策過程中對于問題客觀性審視的要求標準，所以用語言術語來詮釋決策者的心理比較合適.在此背景下，猶豫模糊語言術語集[5](Hesitant Fuzzy Linguistic Term Sets，HFLTS)應運而生，自HFLTS 概念提出以來，國內外學者對其理論與應用的研究成果頗多，Wei等[6]利用HFLTS 可能度公式定義了凸組合的運算法則；Wang 等[7]定義了區間值猶豫模糊術語集(Interval-valued Hesitant Fuzzy Linguistic Term Sets，IVHFLTS)概念，并給出了對應的運算法則及排序方法；Lee 和Chen[8]等建立了猶豫模糊語言加權幾何平均算子、猶豫模糊語言加權算術平均算子等；王文晶[9]構建了一種多粒度HFLTSMAGDM模型，很好解決了傳統多粒度HFLTSMAGDM 模型容易丟失語言包含的信息數據而導致的決策者主觀偏好誤差大、決策時間長等問題.截止目前，（1）在HFLTSMAGDM 問題中，決策過程都是在相同的HFLTS 屬性信息下蘊含的代數結構中進行比較，將猶豫模糊數(Hesitant Fuzzy Numbers，HFN)替換為其它類型的信息數據再進行相關運算[10]的研究文獻相對較少；（2）在HFLTSMAGDM 問題中，無論對HFLTS 信息進行融合還是測度都是在語言評價術語的情境下進行，將語言評價術語映射為區間數再利用區間數的相關理論進行運算的研究文獻更是匱乏；（3）從平面的角度出發來研究HFLTSMAGDM 問題的文獻目前還未見到.為此，本文針對上述三個問題做了進一步研究.首先，將HFLTS 中的LTS 添加對應的決策專家權重，構建了一種考慮決策專家權重的猶豫模糊評價術語集合(Weighted Hesitant Fuzzy Linguistic Term Sets，WHFLTS)；其次，把WHFLTS 中的LTS 轉換為相對應的區間數，此時WHFLTS 即轉化為考慮專家權重的區間值猶豫模糊集(Weighted Intervalvalued Hesitant Fuzzy Sets，WIVHFS)；再次，對WIVHFS 中的區間值進行測度(測度結果為精確數值)，針對WIVHFS 中的區間值測度的結果及其對應的決策專家權重，以平面點坐標形式進行書寫，從而將HFLTS 表達的決策信息范式成功的映射為平面點坐標形式；最后，在二維視角下建立2 個HFE 的大小比較規則與距離模型，并通過在MAGDM 問題中的應用來驗證文中方法的可行性.

1 預備知識

定義1[1]已知論域X，集合稱為X上的HFS，其中hA(x)是由[ 0,1]中不同數值構成的集合，x為集合A的可能隸屬度；稱hA(x)為一個猶豫模糊元HFE.

定義2[11]若S={st|t=-ξ,…,-1,0,1,…,ξ}，稱hs(y)={stl(y)|stl(y)∈S;l=1,…,#HS}為猶豫模糊語言元素，其中S為對稱的語言術語集[12](LTS)，#HS指語言術語的個數.

定義3[11]在猶豫模糊語言元素的基礎上，HFLTS記為HS(y)={y,hs(y)|y∈Y}.

定義4[13]已知論域X，集合稱為X上的IVHFS；D[ 0,1]表示區間[0，1]上的所有閉區間構成的集合，h(x)表示元素x屬于集合的一切可能區間隸屬度構成的集合，且有:X→D[ 0,1]，稱為一個區間值猶豫模糊元(Interval-valued Hesitant Fuzzy Element，IVHFE).

定義6[15]語言評價術語使用九段制，為了突出中間評價術語的模糊性，在轉化為區間數時擴大區分度.具體對應轉換分數如表1 所示，且表中的全部信息用集合L表示.

表1 語言評價術語轉換表

定義7設ai(i=1,2,…,n)為一組非負實數，且有r=1,2,…,n.若

其 中，i1,i2,…,ir為1,2,…,n中遍歷組合的一切r元組，為二項式系數.則稱（1）式為Maclaurin 對稱平均算子，且其具有以下運算性質：

（1）對于?i，若ai=a≥0，則

（2）對于?i，若0 ≤ai≤bi，則有

（3）對于?i，有

2 加權猶豫模糊集新的測度范式

給予HFS 中的隸屬度賦予決策專家權重，曾文藝等[16]定義了加權猶豫模糊集(Weighted Hesitant Fuzzy Sets，WHFS)概念，給出了WHFS 的并、交、補、余等運算法則，并在群決策中討論了該理論的應用價值.在文獻[16]中WHFS 概念的基礎上，本文將隸屬度與其對應的決策專家權重以點坐標的形式進行書寫，從平面二維點做標的角度出發對WHFS 進行測度.為了與文獻[16]中的WHFS、WHFE 進行區分，本文將加權的猶豫模糊集、加權的猶豫模糊元分別以符號(W)HFS、(W)HFE進行表示.

定義8已知論域H，稱為論域H上的一個(W)HFS，稱h(x,ω)為一個(W)HFE，其中

是元素x關于模糊集合H的所有可能隸屬度值構成的集合，(γj,ωj)為加權的猶豫模糊數(Weighted Hesitant Fuzzy Number，(W)HFN)；ωj是γj的權重，滿足.當(W)HFE 中的元素全部以平面點坐標形式書寫以后，在判斷兩個(W)HFE 的大小時，文獻[16]中的方法則不再適用.為此，在定義8 的基礎上本文給出以下兩個定義來比較(W)HFE之間的大小.

定義9設h(x,ω)為(W)HFE，稱s(h(x,ω))為(W)HFE的平面得分值，且

s(h(x,ω))的思想是利用所有的(W)HFN 與最大的(W)HFN(1，1)占比總和的平均值來近似刻畫(W)HFE的大小.容易驗證式（2）具有以下性質：

（1）單調性：s(h(x,ω))關于隸屬度γj及其對應的權重ωj皆單調遞增；

定義10設h(x,ω)為(W)HFE，稱d(h(x,ω))為(W)HFE的平面離差值，且

式（3）直接反映了(W)HFE 中內部元素(W)HFN 兩兩之間的相離程度，d(h(x,ω))越大，說明(W)HFE中內部元素(W)HFN之間的相離程度就越明顯，進一步說明(W)HFE 內部蘊含的信息差異越大；若(W)HFEh(x,ω)的平面得分值s(h(x,ω))越大，則說明(W)HFE 的內部元素(W)HFN 到最大的(W)HFN(1，1)的距離就越近.

綜上，可以應用(W)HFE 的平面得分值s(h(x,ω))與平面離差值d(h(x,ω))來近似判斷兩個(W)HFEh1(x,ω)和h2(x,ω)之間的大小.

定義11設h1(x,ω)和h2(x,ω)為兩個(W)HFE.根據比較(W)HFE 之間的大小定義有如下比較規則:

（1）如果s(h1(x,ω))>s(h2(x,ω))，則h1(x,ω)>h2(x,ω)；

（2）如果s(h1(x,ω))=s(h2(x,ω))，則

（i）d1(h(x,ω))>d2(h(x,ω))時，有h1(x,ω)

（ii）d1(h(x,ω))h2(x,ω).

定義12設h1(x,ω)，h2(x,ω)，h3(x,ω)為3 個(W)HFE，且分別記為

則兩個(W)HFEh1(x,ω)和h2(x,ω)之間的幾何距離定義為

式中，J1和J2分別為(W)HFEh1(x,ω)和h2(x,ω)中的元素個數.可以驗證上述定義的幾何距離測度D滿足文獻[17]中的3距離個條件.

按照文獻[16]中的方法，在對兩個WHFE 進行距離測度時，需要保證兩個WHFE 中的元素個數一致，若不一致則需要按照某種規則添加或減少適量元素以使兩者元素個數一致；同時，在具體計算過程中，只有兩個WHFE 中對應位置的元素才進行運算.本文將(W)HFE 以點坐標表示后，由式（4）可知，對兩個(W)HFE 進行距離測度時不但兩者元素個數無需相等，而且2 個(W)HFE 中的元素全部參與運算，這樣做可以體現出兩個(W)HFE 中所有元素信息的關聯性.故本文方法更具代表性.

3 加權猶豫模糊集獲取方法

定義13在MAGDM 問題中，決策專家集Z={z1,z2,…,zt,…,zT}，其權重分別用ωzt表示且已知；方案集 為A={a1,a2,…,ai,…,aI}，屬性集為G={g1,g2,…,gj,…,gJ}，屬性的整體權重、個體權重以及綜合權重分別用符號表示且皆未知，第t個決策專家給予第i個方案在第j個屬性上的評價信息用語言評價術語stij表示(屬于定義6中的語言評價術語集合L)，匯總語stij則可得第i個方案在第j個屬性上的評價信息為(W)HFEhij(sij,ωij)，且

其中：|hij(sij,ωij) |表示(W)HFEhij(sij,ωij)中的元素個數(語言評價術語的個數)，表示認可語言評價術語的決策專家個數，符號泛指將認可語言評價術語的所有決策專家的權重相加.這里研究的屬性皆為效益型類別.

為了將WHFLTSMAGDM 問題中(定義13)的WHFLTS 轉換為WIVHFS，只需按照定義6 中語言評價術語對應的區間數值進行替換即可，具體轉換過程定義如下.

定義14將(W)HFEhij(sij,ωij)中的語言評價術語替換為對應的區間數

此時加權的區間值猶豫模糊元(Weighted Intervalvalued Hesitant Fuzzy Element，WIVHFE)可用符號Hij(φij,ωij)表示，且

由轉換過程可知

由于WIVHFEHij(φij,ωij)在決策過程中不易計算，需要對其中的區間值隸屬度進行處理，處理結果為介于0 和1 之間的數(隸屬度)，處理之前要先確定最優隸屬度.

定義15對于WIVHFEHij(φij,ωij)，在第j個屬性上最優隸屬度定義為

定義16根據定義5和15，將WIVHFEHij(φij,ωij)中的隸屬度分別與最優隸屬度進行測度，形式為，故WIVHFEHij(φij,ωij)即被轉換為(W)HFE.不妨將(W)HFE用μij(γij,ωij)表示，且

由定義13—16可知

由加權猶豫模糊集新的測度范式可得以下定義.

定義17(W)HFEμij(γij,ωij)的平面得分值s(μij(γij,ωij))為

定義18(W)HFEμij(γij,ωij)的平面離差值d(μij(γij,ωij))為

4 猶豫模糊語言術語集群決策過程

在解決HFLTSMAGDM 問題前，需要先按照加權猶豫模糊集獲取方法將HFLTSMAGDM 問題轉化為(W)HFSMAGDM 問題，然后求解屬性的權重,進而在(W)HFS情境下建立決策模型.

4.1 確定屬性的權重(整體權重、個體權重、綜合權重)

由于熵值大小能夠反映決策過程中各屬性獲得決策專家的評價信息差異程度，所以熵值法在計算屬性權重方面備受國內外學者[18]青睞.決策過程中，根據各個方案在所有屬性上的總得分差異程度計算得出的屬性權重本文定義為整體權重；根據各個方案在所有屬性上的內部得分差異程度計算得出的屬性權重本文定義為個體權重；結合屬性的整體權重與個體權重最終得出的屬性權重本文定義為綜合權重.由定義13 可得計算屬性權重的步驟如下：

第1步 統計并匯總決策專家組給予方案的語言評價信息表并制作WHFLTS決策矩陣；

第2步 由定義14—16，將WHFLTS 決策矩陣轉化為以點坐標形式進行書寫的(W)HFS 的決策矩陣；

第3步 根據定義17 計算(W)HFEμij(γij,ωij)的平面得分值

第4步 求屬性gj下的熵值

第5步 計算屬性的整體權重

第1步 統計并匯總決策專家組給予方案的語言評價信息表并制作WHFLTS決策矩陣；

第2步 由定義14—16，將WHFLTS決策矩陣轉化為以點坐標形式進行書寫的(W)HFS 的決策矩陣；

第3步 利用定義18，計算(W)HFEμij(γij,ωij)的平面離差值

第4步 計算方案在所有屬性上的平面離差值占比

第5步 求屬性gj下的熵值

第6步 計算屬性的個體權重

（3）確定屬性的綜合權重ωgj(j=1,2,…,J).

4.2 決策步驟

根據定義13建立如下決策步驟：

第1步 統計并匯總決策專家組給予方案的語言評價信息表并制作WHFLTS決策矩陣；

第2步 由定義14—16，將WHFLTS決策矩陣轉化為以點坐標形式進行書寫的(W)HFS 的決策矩陣；

第4步 根據式（7）計算(W)HFEμij(γij,ωij)的平面得分值s(μij(γij,ωij))=πij，并采用屬性的整體權重ω′gj、個體權重ω″gj以及綜合權重ωgj對πij分別加權，加權形式為

第6步 根據Fσ(ai)(σ=1,2,3；i=1,2,…,I)的大小對各個方案進行排序，由式（1）集結數據的單調性質可知，Fσ(ai)中值大者對應的方案ai為優；

第7步 比較Fσ(ai)(σ=1,2,3)的決策結果；

第8步 結束.

本文決策過程的一個顯著特征是：在計算方案的綜合屬性值的過程中，考慮了從不同角度計算出的屬性的權重，并根據3 種屬性的權重類別(整體權重、個體權重、綜合權重)來對各屬性進行加權來比較各方案的優劣.該決策過程為計算方案的綜合屬性值以及對方案排序提供了一種新的思路.

5 數值算例

某個優秀期刊準備刊載某一研究熱點問題論文，編輯部收到相關研究論文4 篇，但由于版面問題無法全部發表，編輯部邀請4位同行評審專家對這4 篇論文進行評審，從創新性(g1)、應用性(g2)以及可讀性(g3)等3個維度進行評審，4位評審專家用zt(t=1，2，3，4)表示其權重分別為ωz1=0.24，ωz2=0.26，ωz3=0.28，ωz4=0.22，4 篇論文標記為ai(i=1，2，3，4)，3 個評審維度的整體權重記為ω′gj(j=1，2，3)(未知)，個體權重記為(j=1，2，3)(未知)，綜合權重(j=1，2，3)待確定.4 位評審專家給出的4 篇論文的評審信息(語言術語來自于表1)見表2，應用本文方法對4 篇論文進行排序以供編輯部錄用參考.

表2 4位評審專家給出的論文語言術語信息表

運算前，由定義14—16，需要先將WHFLTS決策矩陣(如表2)轉化為以點坐標形式進行書寫的(W)HFS的決策矩陣（如表3）.

表3 (W)HFS的決策矩陣

5.1 計算評審維度的權重

（1）計算評審維度的整體權重.

首先，由式（7）可得4 篇論文在各評審維度上的平面得分值s(μij(γij,ωij))=πij分別為

其次，按照熵值法定義計算評審維度的整體權重，依次可得

（2）計算評審維度的個體權重.

首先，由式（8）計算出μij(γij,ωij)的平面離差值，再根據值計算方案在各屬性上的占比，結果如下：

其次，按照之前定義的方法計算出各評審維度的個體權重依次為

（3）計算評審維度的綜合權重.

根據式（9）可得評審維度的綜合權重依次為

5.2 決策過程

第1步 (W)HFS 的決策矩陣已經建立（如表3），并在此基礎上計算出評審維度的三種類別的屬性權重.

第2步 利用評審維度的三種類別的屬性權重分別對(W)HFE 的平面得分值πij進行加權，依次可得(i=1，2，…，4；j=1，2，3)如下:

本文的決策過程和結果可見表4.

表4 不同評審維度權重類別下的決策結果

由表4可知，從不同角度出發來計算評審維度的權重所得到的結果差別巨大.例如，根據各篇文章在評審維度上的總得分差值差異程度計算出的最重要評審維度是創新性，而根據各篇文章在評審維度上的內部得分值差異程度計算出的最重要評審維度則是應用性.同時表4 進一步表明，無論評審維度的重要性怎樣變化以及決策參數r取值如何調整，4 篇文章的排序結果皆為a3>a1>a2>a4，說明本文建立的決策模型對4 篇文章的排序極其穩定，這非常有利于編輯部對4篇文章的錄用與否作出判斷.

6 結語

為了解決HFLTSMAGDM 問題，本文經過了一系列步驟將HFLTS 決策信息轉換為以點坐標形式表達的(W)HFS，并在此基礎上建立了2 個HFE 的大小比較規則及度量2 個HFE 的距離模型.在確定屬性權重方法方面，本文不但考慮了所有決策方案在屬性上的總體得分值差異程度，還兼顧了各個方案在屬性上的內部得分差異值，與傳統計算屬性權重方法相比考慮的因素更加全面.最后利用Maclaurin對稱平均算子集結HFE以獲取各方案的綜合屬性值進而對方案排序，數值算例的結果表明本文建立的決策算法高效穩定.通過對文中決策模型的分析對比可以得到以下結論：

（1）將 HFLTSMAGDM 問題轉換為(W)HFSMAGDM問題來解決可以達到決策目的；

（2）從平面點坐標的角度出發定義的(W)HFS在具體應用計算時步驟簡單快捷；

（3）決策過程中，從各個方案在屬性上的整體得分值差異與各個方案在屬性上的內部得分值差異分別獲取的屬性權重雖然差別明顯，但是沒有影響決策結果，說明本文建立的決策算法平穩有序.

本文方法也還存在不足之處，需要進一步研究并不斷完善.例如，對從點坐標角度出發描述的(W)HFS 的科學性沒有進行理論推導與證明，雖然新構建的(W)HFSMAGDM 決策模型能夠很好解決HFLTSMAGDM 問題，但是其能否在實踐中進行有效推廣有待驗證，特別是從不同角度計算出的不同屬性權重類別在解決其它HFLTSMAGDM 問題的算法中對于決策結果是否有影響還需要進一步研究；新建立的判斷兩個HFE 的大小比較規則與測度兩個HFE 的距離模型都能分別達到應用目的，但是其科學性還需理論證明，同時關于其分別具備的性質也沒有深入挖掘；決策模型缺少與其他文獻中的模型進行有效對比等.