指向核心素養的數學課堂問題情境設計

王智宇，張維忠

(1.浙江師范大學教育學院，浙江 金華 321004；2.臺州市路橋中學，浙江 臺州 318000)

一、問題的提出

20世紀80年代末，在建構主義學習觀的影響下，情境學習和認知理論興起，提出“知識具有情境性，是主觀的，動態發展的，無法直接傳遞的，是學習者在特定的情境脈絡中持續地理解和建構中產生的”以及“知識與情境是相互作用，不可分離的，情境是一切認知活動的基礎”等觀點。情境學習和認知理論是我國中小學數學課程改革的一個重要理論基礎，有效地推動了基于問題情境的數學課堂教學的發展。[1]當下，以核心素養為導向的教與學為數學問題情境的設計提供了更為廣闊的空間?！镀胀ǜ咧袛祵W課程標準(2017年版2020年修訂)》提出：“數學學科核心素養在學生與情境、問題的有效互動中提升。在教學活動中，應結合教學任務及其蘊含的數學學科核心素養設計合適的情境與問題?！盵2]《義務教育數學課程標準(2022年版)》進一步強調：“數學核心素養的培養要基于對現實世界的觀察、思考和表達，即在探索真實情境所蘊含的關系中，發現問題和提出問題，運用數學和其他學科的知識與方法分析與解決問題?！盵3]近年來，許多學者從不同的視角對核心素養與數學問題情境的關系進行了研究。比如，基于知識建構的視角，黃翔認為核心素養的特性決定了它的孕育、養成常常是在學生與數學問題情境的持續互動中，通過不斷解決問題、創生意義的過程而形成的?；谇榫橙蝿盏膶W習，本質是個體與環境交互作用過程中建構、組織起來的一種動態的交互關系，能夠有效地發展學習者的協調、應變、適應復雜環境的能力和相應的品性，拓展數學學習的思維空間，為素養的孕育和生長創造條件。[4]基于核心素養內涵的視角，孫曉天認為數學的眼光可以看作數學抽象的門檻，即從真實的問題情境中先剝離出物理屬性，再剝離出與解決問題無關的元素，最后結合最初的問題情境尋找剩余關鍵元素之間的關系。數學的語言既是溝通真實世界與數學世界的橋梁，也是理解數學世界的工具和解決數學問題的載體。數學的思維主要表現為推理，把教學過程中涉及的數學思維活動，包括運算和數據分析等都放在推理的框架下，與現實世界的需要聯系在一起。[5][6][7]基于學習遷移的視角，張華認為素養能超越具體情境的限制，廣泛應用于不同情境之中，且適應情境的不斷變化。促進素養發展的知識學習需要與多樣化的情境相聯系，使其遷移性獲得最大化。[8]由此可見，創設數學問題情境是培育學生核心素養的重要載體，具有不可或缺性，它直接影響著學生的數學知識建構和思維發展。

然而研究表明，目前課堂中存在“教學導入情境過多”“情境與問題關聯度低”“狹義理解情境”“去情境化不及時”等“失度”現象。[9][10]這表明一線教師在教學實踐過程中，對如何設計數學問題情境的“水平特征”“素養培育目標”“基本框架”和“基本路徑”等方面存在認識上的不足。筆者梳理相關文獻時發現，在數學課堂教學層面，關于指向核心素養的數學問題情境設計的研究相對缺乏。因此，本研究認為有必要在分析數學問題情境的水平特征以及明確問題情境的素養指向的基礎上，構建指向核心素養的數學問題情境設計的基本框架，并提出課堂問題情境設計的基本路徑，為數學教學設計提供指導。

二、 指向核心素養的數學問題情境設計框架的構建

(一)數學問題情境的水平特征分析

羅日葉提出問題情境是指為了完成某個既定任務，由人為加以聯結的一組背景化和結構化的信息，包含“情境的復雜性水平”和“任務的復雜化水平”兩個特征。其中，“情境的復雜性水平”特征由“情境的背景化”“基本知識與技能的性質和數量”以及“聯結這些知識與技能的類型”三個因素構成，與學生已有的學習經驗、學習興趣和學習環境等因素有關?！叭蝿盏膹碗s化水平”主要取決于學生完成任務的內容所使用方法的認知水平、情感水平或動作水平以及所面臨的學習環境。[11]陳志輝認為數學問題情境指的是通過某種信息傳遞形式、承載一定認知任務要求且含有相關數學知識和數學思想的環境，并從“情境類型”“數學特征”“表征特征”“任務特征”四個方面構建了問題情境的特征水平分析框架。[12]此外，由于數學問題情境蘊含情境的問題化過程，教師在設計過程中往往要考慮從情境中抽象出數學問題的數學表征過程。徐斌艷等認為數學表征有助于在情境與數學問題之間建立一種映射關系，即通過利用符號、圖形、語言、文字等表達數學概念或關系，為數學化過程提供支持工具。[13]

結合已有研究，數學問題情境的水平特征包含“背景呈現”“數學表征”“任務要求”三個要素?！氨尘俺尸F”指向學生對問題情境的親近感知程度，由近到遠分為“熟悉”“關聯”“綜合”三個層次。其中，“熟悉”指向學生在先前的數學課程學習中接觸過的、感興趣的、現實生活環境中常見的背景；“關聯”指向學生不太熟悉的、先前沒有接觸過的情境，可以是數學內部不同知識模塊的關聯背景，也可以是數學與生活實踐、歷史文化、其他學科以及科技應用等之間的關聯背景；“綜合”指向學生感到陌生的，甚至是感到遙遠的情境，需要學生開展探究與創新的情境，是數學知識內部與外部之間更廣泛的、更深層的、更隱蔽的關聯背景?！皵祵W表征”指向學生能否在情境中提取數學信息并轉化為有利于問題解決的數學表征方式的能力，包含對情境與問題的表征以及相互轉換，水平從低到高分為“解釋”“選擇”“設計”三個層次。其中，“解釋”是指學生能夠識別問題情境呈現的表征和直接利用文字、符號、操作性模型、圖形或圖表等表征進行解釋；“選擇”是指學生能夠為問題情境的理解或問題解決選擇恰當的表征方式以及能夠在不同的表征之間進行相互轉換；“設計”是指學生在能夠熟練運用各種數學表征方式的基礎上，為情境的理解和問題的提出以及問題解決的關鍵點設計特定的表征方式?！叭蝿找蟆敝赶驅W生分析問題情境中蘊含的數學關系以及完成學習任務所需要達到的認知水平和動作水平，從低到高分為“理解”“分析”“創造”三個層次?！袄斫狻笔侵笇W生能夠理解問題情境中蘊含的數學概念、性質、公式、定理和公理等的基本含義與特征，運用數學基礎知識、基本規則和基本方法解決簡單的數學問題等；“分析”是指學生能夠進行類比數學推理，區分和識別數學問題情境蘊含的數學內容的本質屬性，將統一整體下的各部分數學內容分類和建構聯系，綜合運用各種知識和方法分析和解決常規性的較為復雜的數學問題；“創造”是指學生在復雜的問題情境中將源于不同整體下的關聯度更低的數學要素整合在一起形成內在一致的功能整體，能夠運用數學思維和思想方法創造性地通過猜想、驗證來解決非常規性的數學問題。

(二)數學問題情境設計的核心素養指向和基本框架

喻平認為核心素養的生成源于對知識的學習，而知識學習表現為“知識理解”“知識遷移”和“知識創新”三種形態，對應由學習轉化而來的核心素養的三種水平。以數學學科為例，“知識理解水平”表現為“了解知識產生和發展過程，形成概念體系和命題體系，應用數學基礎知識、基本規則和基本方法解決簡單的數學問題等”；“知識遷移水平”表現為“能夠進行類比推理，遷移知識以解決與數學知識相關的現實情境問題、數學內部不同情境問題、不同學科情境問題，掌握知識結構及其相關的數學思想方法，綜合運用各種知識和方法解決常規性復雜問題等”；“知識創新水平”表現為“具有探究問題的意識，具備探究問題的能力，具備解決非常規性的數學問題的能力和形成基于數學思維的世界觀和方法論等”。[14]喻平對“知識理解”“知識遷移”和“知識創新”的界定表明知識的遷移性孕育著素養的遷移性，既可以用于學習過程的評價，也可以用于對學習結果的評價。數學知識學習的三種形態孕育在數學內部的發展和社會生產生活兩個方面的情境中，不僅蘊含著數學知識的產生和發展過程，同時還蘊含著數學基本思想的呈現過程，指向學習者通過整合和評估已有的學習經驗，形成理解、分析和解釋數學問題的能力。同時，數學知識學習的三種形態也凸顯了數學核心素養發展的階段性和層次性特征。弗賴登塔爾的現實數學教育理論強調開發與生活緊密結合的情境，抽象出情境的一般化特征，形成具體的教學模式，并用這個模式解決相關問題，最后通過這些模式使學生逐漸逼近形成的數學知識。因此，數學教育的任務就在于確定各類學生不同階段必須達到的數學現實，將客觀現實材料與數學知識體系融為一體。[15]

上述研究表明，核心素養的培養與數學問題情境創設存在對應性和同步性，這為通過真實的數學問題情境設計促進核心素養的培育提供了方向。具體而言，在“知識理解”階段，將學生置身于熟悉的現實生活情境或數學情境中，發現和提出數學問題的原型，理解數學知識的生成和發展的真實情境脈絡，用數學的眼光抽象出數學問題中蘊含數學概念的基本特征，通過演繹和歸納能夠合理地解釋以及恰當地表述新知識，并能夠應用基本方法解決簡單的數學問題。在“知識遷移”階段，將學生置身于關聯的數學問題情境中，用數學的語言進行描述和推理，將不熟悉的數學問題情境轉化為熟悉的數學問題情境，引導他們運用各種數學知識、技能和思想方法，通過類比推理解決常規的簡單的或者較復雜的數學問題。在“知識創新”階段，將學生置身于綜合的數學問題情境中，引導學生綜合運用數學思維和語言表達解決非常規的問題情境(包括結構不良的問題情境以及通過對舊的問題情境進行推廣和變式形成的超越教材之外的情境)，從而獲得元認知知識，形成探究問題的意識和能力，養成反思的習慣。

綜上分析，本研究構建了指向核心素養的數學問題情境設計的框架，如表1所示。

表1 指向核心素養培養的數學問題情境設計的框架

三、指向核心素養的數學問題情境設計的基本路徑及例舉

問題是數學的心臟。數學的發展是由數學問題驅動的。數學知識的習得建立在一連串的問題的分析和解決的基礎上。在課堂教學中，數學問題鏈是以多種方式呈現給學生的、有序的主干數學問題序列，為學生提供數學思考的載體，培養數學思維。[16]問題情境體現了問題的情境化，即情境設計是為數學問題的發現、提出、分析和解決創造條件和提供支持。筆者認為，指向核心素養的數學問題情境設計應當基于數學問題鏈教學，其基本路徑包含以下四個基本步驟。

第一步是確定數學問題情境設計的素養具體指向。核心素養的形成具有階段性、綜合性和持久性等特征。教師要基于數學課程標準、數學教材分析和專家思維等視角，結合學生的學習經驗以及達到的數學現實，從數學單元整體教學的視角關注數學知識、方法和思想的體系化，確定學生通過某一節課的知識學習在“知識理解”“知識遷移”“知識創新”三個層面所達到的具體素養目標。核心素養在各層次的具體目標可以從“在探尋數學知識本質的過程中要解決哪些核心的數學問題，從數學問題的發現、提出、分析和解決的過程中經歷了什么樣的學習過程，如何評價學習效果以及如何促進學后反思”等方面進行表述。

第二步是尋找數學問題的真實情境原型。關于情境的真實性，崔允漷認為學生對于知識意義的感受與理解往往是通過在真實情境中的應用來實現的，并且評估學生是否習得核心素養的最好做法就是讓學生“做事”，而“做事”必須要有真實的情境。[17]劉徽認為在真實的情境中引導學生溝通數學與現實生活以及數學內部的聯系，激發學生的探究和挑戰的欲望，完整地經歷問題解決的過程，建立關于知識理解的記憶。[18]因此，結合“數學知識的發展來源于社會生產實踐以及數學學科內部發展的需要”這一事實，可以把真實情境分為現實世界情境和數學內部情境。其中，現實世界情境可用于抽象出數學知識的原型，比如從生活情境中抽象出函數的概念，從物理學情境中抽象出平面向量的概念和運算法則，從人口增長和銀行理財等社會情境中抽象出等比數列的模型等。數學內部知識情境用于揭示數學知識的內在邏輯發展過程，例如從純數學情境中歸納形成根指數的表示方法以及指對數式的互化，從數學史情境探尋正余弦定理的多樣化證明方法，從數學文化情境中發現和提煉基本不等式的原型等。

第三步是設計問題情境的召喚結構。由于問題情境具有交互性，因此教師要設計數學問題情境的召喚結構。這種召喚結構一方面蘊含數學思維屏障，另一方面也為數學思維發展提供方向。李懷軍認為召喚結構包括“空白”“空缺”或“否定”三個要素。其中，“空白”指的是設計者隱含部分信息，讓學習者結合自己的學習經驗進行補充；“空缺”指的是設計者提供的情境的信息不連貫，需要學習者重新組織情境的邏輯關聯；“否定”指的是情境中的信息或任務讓學習者產生認知沖突和激發探究欲望。[19]由此可見，這三個要素同時蘊含激勵性、啟發性、生長性、干擾性和聯系性等多種特征，形成召喚力，在知識學習的不同階段為學習者實現理解、遷移和創新提供支持。同時，這三個要素也為情境的復雜程度設計提供了更多的空間，具體表現為兩個方面：一是教師在預設問題鏈中的某個主干問題教學時設計多樣化的情境，這些情境的復雜程度可以是等價的，也可以是不斷遞進的，這與學生解決該主干問題所具備的學習經驗以及所需要達到的認知水平有關；二是教師在預設整條問題鏈的教學時對情境的復雜程度有整體設計。從總體上看，問題鏈上的主干問題的有序性決定了情境的復雜程度是不斷提高的。因此，教師要先基于對“數學知識的本質、學生的數學現實和教學的目標”等方面的理解，再結合“背景呈現”“數學表征”“任務要求”三個維度展開問題情境的設計，從而使問題情境能夠真正幫助學生貫通認知的起點和終點，破除思維障礙。

第四步是評價和優化數學問題情境。數學問題情境是情境內容、學生經驗和數學內容三者的融合。羅日葉認為一個好的情境可以通過四個不同的軸組合起來，分別為：一個真正的靶向情境、一個對學習有用的情境、一個激發學生動機的情境、一個可以實現的情境。[11]吳曉紅認為一個好的問題情境應當具備五個功能，分別為：能夠激發學習數學的興趣、溝通數學與現實生活之間的聯系、培養學生的問題意識以及提出問題的能力、培養學生抽象概括能力、邏輯推理能力和數學建模能力、提供問題解決和新知識運用的情境。[20]李昌官認為促進核心素養發展的數學問題情境應當具有目的性、聯系性、問題性、啟發性和激勵性等特征。[21]這些研究為評價和優化單個數學問題情境提供了重要參考，但對整個教學任務中由問題情境構成的問題情境鏈缺乏系統性地評價。一條好的數學問題情境鏈應當具有階段性、層次性、整體性、持續性和多樣性等特點，形成情境到問題再回到情境的完整閉環，同時具備以下幾個特征：一是有效地服務于整個教學目標的達成，為發展和培育學生的數學核心素養提供支持；二是讓召喚結構形成合力，為學生發現和探究問題提供足夠的空間；三是為學生的思維發展提供指導，讓學生真實地理解學習內容，為激勵學生積極參與知識建構提供持續動力；四是為學生提供反思的機會，促進學生高質量地學習。

下面結合人教A版(2019版)高中數學教材必修2第7章中“數系的擴充與復數的概念”內容的教學過程，例談如何通過設計數學課堂問題情境促進核心素養的培育。

第一階段：指向“知識理解”的問題情境設計

本階段的素養目標包括：從多樣化的問題情境中了解引入復數的必要性和重要性；從數系擴充的數學史情境中歸納出數系擴充過程中的一般規則，體會數系擴充過程中數學理性思維的價值。設計如下：

設計意圖：創設真實的數學歷史情境，激發學生產生認知沖突和探究欲望，發現并提出“負實數能否平方”這一數學問題。

問題情境2：從方程的角度看，“負實數開平方”這一問題可以簡化為什么問題？在過去的學習中，你是否也碰到過類似于“方程在限定的數集范圍無解”的問題？你能結合“方程x+1=0在自然數集中的求解、方程3x+1=0在整數集中的求解以及方程x2-2=0在有理數集中的求解”談一談自己的想法嗎？

設計意圖：創設熟悉的數學情境，從解方程的角度將“負實數能否開平方”這一問題表征和轉化為“方程x2+1=0的解”的問題。引導學生通過演繹推理歸納出數系的擴充的幾條規則為：引入新的數，將原數系進行擴充為新數系；原數系成為新數系的一部分；原數系和新數系中的運算規則和性質協調一致。

問題情境3：每一次數系擴充的原因是什么？分別解決了什么問題？

設計意圖：創設熟悉的歷史情境、社會情境和現實生活情境，引導學生探索數系擴充的原因，體會數學知識的發展往往基于數學內部發展和社會生產實踐的需要，感悟數學知識的應用價值。

問題情境4：類比自然數系到實數系的擴充過程，你能否找到一種方法，使方程x2+1=0有解嗎？追問：引入新的數之后，實數系就進行了擴充，在新的數系中，數有哪些新的表示呢？這些數能有統一的表示形式嗎？能表示出這些新數組成的集合嗎？

設計意圖：創設熟悉的數學情境，引導學生類比數系的擴充過程，引入虛數的概念，并歸納新數的統一表示形式以及形成復數的概念。

問題情境5：請同學們進行數學閱讀，先回答以下問題：(1)復數a+bi(a，b∈R)的虛數單位、實部、虛部分別是什么？(2)舉例說明什么是虛數和純虛數？(3)如何對復數進行分類？并解答課本上2個例題。

設計意圖：設置學習任務，引導學生自行建立復數相關概念的知識網絡，應用復數的知識解決簡單的數學問題，體會分類討論和轉化與化歸等數學思想方法。

第二階段：指向“知識遷移”的問題情境設計

本階段的素養目標包括：從關聯的數學情境中建立復數與三角函數和向量等知識的聯系，理解復數的幾何意義，能夠利用復數知識解決新情境中的數學問題，體會到復數的廣泛應用性。設計如下；

問題情境6：歐拉公式e1θ=cpsθ+i·sinθ(e是自然對數的底數，i是虛數單位)是由瑞士著名數學家歐拉發現的。它將三角函數的定義域擴大到復數，建立了三角函數和指數函數的關系，它在復變函數論里占有非常重要的地位，當θ=π時，就有eiπ+1=0，根據上述背景知識，設復數z=e-i的實部為a和虛部為b，則點P(a，b)落在哪個象限上？追問：復數有什么幾何意義呢？

設計意圖：創設關聯的問題情境，引導學生意識到“復數的概念“與“三角函數的定義、三角函數的有界性以及向量的幾何意義與坐標表示”等知識具有關聯性，能夠解釋復數的幾何意義，利用復數的知識解決向量運算中的問題。

第三階段：指向“知識創新”的問題情境設計

本階段的素養目標包括：回顧“復數的概念”的引入、生成和發展過程，探索和歸納數系新概念學習的一般過程和方法；聯系數學知識的學習過程中蘊含的基本數學思想，生成新的問題情境；從復數的發展史中感悟到數學思維蘊含的理性精神以及數學思維，形成正確的世界觀和方法論。設計如下：

問題情境8：結合本節課學習的過程，請你談談利用通過舊知識推動新知識的學習？

設計意圖：創設關聯的數學問題情境，引導學生生成超越教材內容規定的元認知知識，比如形成“新知識的學習與舊知識存在依存關系或邏輯關系”“對舊問題進行變式或者類比推理可以產生新問題”等認識。

問題情境9：聯系“平面向量的線性運算”內容的學習過程，我們會進一步學習復數的哪些知識以及如何學習？

設計意圖：創設關聯的數學情境，引導學生利用類比推理發現新問題、新知識和新方法，形成探究問題的意識和能力。

問題情境10：人們最初發現復數時充滿了困惑、懷疑、甚至敵意。在無數數學家的努力下，又經過長達300年的時間，復數終于被揭去神秘的面紗，不再是虛無縹緲的虛幻之數。請結合復數相關知識的發展和廣泛應用(課上為學生提供視頻素材)，談談你有哪些感悟？

設計意圖：創設真實的歷史情境和科學情境，讓學生感受復數的發展雖然曲折而漫長，但是其意義重大而深遠，體會數學家們尋找真理的決心和百折不撓的精神，理解數學對于認識和改造世界以及塑造個人價值觀的重要意義，激發數學學習的內驅力。

目前，以核心素養為導向的高中教學評價改革正在不斷深入地推進?！吨袊呖荚u價體系說明》明確提出問題情境作為高考評價體系的重要考察載體，要體現基礎性、應用性、綜合性和創新性，能夠考查學生在必備知識、關鍵能力、學科素養和核心價值四個層面的表現水平，發揮高考立德樹人、服務選才和引導教學三方面的重要功能。這方面在近幾年的新高考數學試卷中得到了充分體現。[22]因此，基于問題情境的教學要被賦予新的時代價值和內涵，諸如“問題情境如何貫穿單元整體教學”“如何通過問題情境設計引導學生自主學習和合作學習”“如何進一步對問題情境蘊含的召喚結構進行分層”“如何把握問題情境設計過程中的探究點”“如何設計和評價真實性的任務情境”等問題需要進一步深入地研究。