基于TLS-ESPRIT算法和選擇模態法的模型降階研究

付江濤, 楊毅強, 蒲 維, 宋 弘

(1.四川輕化工大學自動化與信息工程學院 四川 自貢 643000;2.人工智能四川重點實驗室 四川 自貢 643000; 3.阿壩師范學院 四川 阿壩 623002)

0 引言

目前,高增益勵磁系統在電力系統中應用廣泛,但隨之出現的低頻振蕩也成為電力系統穩定運行的一大瓶頸,設計合適的阻尼控制器是提升系統穩定性的重要措施[1]。廣域測量系統(WAMS)的發展為廣域阻尼控制器(wide area damping control,WADC)的設計提供了基礎。WADC與傳統的PSS相比,可以在宏觀上對系統進行控制,脫離本地信號的局限。為設計合適的阻尼控制器,需要全面了解系統的動態特性。但在實際的電力系統中,系統的全階模型難以得到,而且模型的階數較高,容易出現“維數災”問題,也不利于后續的分析與設計[2]。故在辨識模型與系統主模態相同的條件下,如何設計一個低階系統與待辨識系統有著同樣的頻率響應特性,如何在確保模型精度的情況下實現系統降階仍需深入研究[3]。

系統辨識的主要思想是通過傳遞函數來對系統進行表征[4]。在研究系統的過程中,準確的系統辨識有著舉足輕重的地位。1950年便出現了最早的系統辨識,但由于理論不成熟,僅在線性系統中適用,對于非線性系統的適用性較差[5]。近年來,隨著計算機的性能以及優化算法、遺傳算法等概念的發展,許多系統辨識的方法在非線性系統中也受到青睞。

在系統辨識的過程中,模型的階數過高會增加系統的復雜度和計算難度。為了更準確地進行系統辨識、簡化后續分析的難度,對模型進行降階處理是很有必要的。目前,常見的模型降階方法有:(1)奇異值分解(singular value decomposition,SVD)方法、平衡截斷法(balanced truncation,BT)和交替方向隱式(alternating direction implicit,ADI)截斷法,BT方法在中小模型應用較多[6-7];(2) Krylov子空間類似方法:理克雷洛夫算法(rational Krylov,RK)和迭代有理克雷洛夫算法(iterative rational Krylov algorithm,IRKA)[6];(3)模態選擇法:通過識別系統的模態,并且將系統的主導模態保留下來的方法[6]。文獻[8]和[9]采用模態選擇法對系統模型進行降階處理。文獻[6]和[10]分別采用了平衡截斷法和交替方向隱式平衡截斷法對并網系統和風電場系統進行模型降階研究。文獻[11]和[12]通過使用Krylov子空間方法對高階系統模型進行降階。文獻[13]和[14]采用特征值分析方法對電機組模型降階分析。以上的方法從多個角度對模型進行降階研究,但這些方法存在著計算效率低及降階模型的變量缺乏實際的物理意義等問題[9]。

針對存在的不足之處,本文通過TLS-ESPRIT算法和選擇模態法[15]來對系統進行辨識和降階處理,將辨識得到的留數和極點重新構成系統傳遞函數,將系統傳遞函數進行降階,使其降階為低階系統。在單機系統及IEEE四機系統出現低頻振蕩的場景下,通過對比系統降階前后的功率以及角速度的仿真波形的吻合情況,驗證方法的合理性和有效性,為后續阻尼控制器的設計奠定基礎。

1 系統傳遞函數的辨識

1.1 TLS-ESPRIT算法

TLS-ESPRIT算法是在ESPRIT算法的基礎上進行改進,是用來諧波恢復、衰減振蕩信號參數估計的工具[16-17]。與Prony算法相比,該算法在抗噪方面效果顯著[18]。此外,TLS-ESPRIT算法在生物信號處理、雷達陣列信號及語音信號等場合也得到了廣泛的使用。

假設x(n)是一組正弦信號和噪聲信號的組合,正弦信號的幅值是按指數規律變化的,在時刻n,其表達式為

(1)

其中,Ts為采樣周期;階數p為信號實際含有的正弦分量個數的2倍;ci=Aiejθi,Ai、ωi、θi、σi分別表示第i個模態的幅值、角頻率、相位和衰減因子;w(n)為噪聲信號。

通過采樣數據序列x(0),x(1),…x(N-1)可以構成Hankle矩陣

(2)

式中,L>p;M>p;L+M-1=N。

對矩陣X奇異值分解可得

(3)

(2)將M可以劃分成4個p×p的矩陣。

(4)

(5)

(4)在得到采樣信號中各個分量的頻率和衰減因子,通過最小二乘法來解出幅值和初始角信息。對于N點的采樣信號

Y=λc

(6)

(5)采用最小二乘法可以得到解為留數c=(λHλ)-1λHY,可以得到信號中各個分量的幅值和初始角信息分別為

Ap=2|cp|

(7)

φp=arg(cp)

(8)

(6)通過采用(3)中的λi,可以得到由系統的傳遞函數的特征值(極點)構成的向量為

P=log(λi)/T

(9)

其中,T為采樣時間,i=1,2,…,p。

1.2 系統辨識

假設系統是可控可觀測的,狀態方程為

(10)

式中,x表示狀態向量;y表示輸出向量;u表示輸入向量;A表示狀態矩陣;B表示控制矩陣;C表示輸出矩陣。

與之相對應的傳遞函數為

(11)

式中,Λ=ΨTAΦ是由特征值組成的對角矩陣,對角元素為特征值;Φ為右特征向量矩陣;Ψ為左特征向量矩陣。因為Λ是對角矩陣,因此可以化為

(12)

將TLS-ESPRIT中給出的系統傳遞函數的留數和極點代入式(12)中,得到系統的傳遞函數表達式。

2 系統降階

對于小型的電力系統所得的傳遞函數相對簡單,但是對于大型的電力系統來說,所得到的傳遞函數階數高,主導模態可能會被次要模態掩蓋,給后期的使用和運算帶來許多不便,因此需要在保留主要特征的情況下,將系統的階數降到一個合理的數值。

2.1 模型降階的基本條件

在模型降階的時候,必須滿足以下條件:

(2)降階系統要保留原系統的性質,如穩定性和無緣性;

(3)降階的算法或者程序簡單方便[7]。

2.2 模態降階法[9]

2.2.1 選擇主導模態

模態降階法首先需要找到主導極點或者主導特征值。主導模態的判別標準為:在復平面中距離虛軸最近的極點為主導模式極點,若存在距離相近的狀態,則通過比較阻尼比,阻尼比小的為主導模態。

2.2.2 確定相關狀態

采用參與矩陣來表示模態與狀態變量的關系,矩陣中的元素Pki=ukivki為參與因子,用來表示第i個模態與第k個狀態變量之間的參與程度。

(13)

2.2.3 構造降階系統

設系統狀態方程為

(14)

(15)

其結構框圖如圖1所示。其中,實線框為相關狀態子系統,虛線框為不相關狀態子系統,對于不相關的子系統可以表示為

圖1 動態系統結構圖

(16)

從圖1中可以得出,相關狀態子系統表達式為

(17)

當t≥t0時,不相關狀態變量x2的表達式為

(18)

則相關狀態變量x1可以采用主導模式進行表示。

(19)

式中,λi表示主導模式;vi表示對應的特征向量(vi只是相關狀態變量的部分);li為常數。將(19)式代入(18)中,可以得出不相關狀態表達式為

(20)

不相關狀態子系統輸出的表達式為

(21)

(22)

式中,M滿足以下條件

M*[v1,v2,…,vh]=[H(λ1)v1,H(λ2)v2,…,
H(λi)vi]

(23)

綜上可以得出,不相關狀態子系統對于相關狀態的響應表達式為

yx2=Mx1

(24)

但是需要注意的是,M的存在需要滿足條件Vh為滿秩矩陣,只有Vh為滿秩矩陣時候,M才有唯一的解。如果矩陣不是滿秩,則會存在多重解,可以通過附加條件對其進行消除。將式(24)代入式(17)中,可以得出最終的降階系統

(25)

以上就是系統的降階模型的全過程,對于輸入-輸出系統來說,可以對其進行以下的分區操作。

(26)

類似于上述推導構造過程中Ar的降階方法,可以得出系統降階后的模型(Ar,Br,Cr,Dr)。其中,

(27)

采用選擇模態進行系統降階主要有兩個優點:一方面是降階后的模型與原系統模型的主導模態保持一致;另一方面是降階后模型的各個狀態變量的物理意義得到了保留,同時也是該方法與平衡截斷法等Gramian算法的優勢所在。

2.3 本文的總體流程

本文總體的流程可以分為兩大部分:系統辨識及系統降階。具體通過TLS-ESPRIT算法對模型辨識,采用模態降階法將高階系統轉化為低階系統,具體流程如圖2所示。

圖2 本文總體流程圖

3 算例分析

為了驗證所提方法的合理性和可行性,分別對單機無窮大系統以及IEEE四機二區域系統進行仿真驗證;對于模式未知的模型,對比原模型與辨識后模型的時域仿真波形[20]。

3.1 單機無窮大系統

采用單機無窮大系統,系統由發電機、勵磁系統、PSS和無窮大母線組成,阻尼控制器一般以轉子角速度差值Δω作為反饋信號,PSS的輸出作為勵磁調節器的控制信號。將整個單機系統看成黑盒,由小擾動信號作為輸入信號,角速度差值Δω作為輸出信號構成的單輸入單輸出系統,單機系統結構如圖3所示,其中虛線框中的部分為所需要辨識的部分。

圖3 單機系統結構

設置采樣頻率為50 Hz,通過使用第1節的辨識方法得到一個高階系統模型,利用模態降階法將高階模型轉化為低階模型。為驗證降階后的模型與原來的模型具有相同的動態特性,對單機系統施加擾動信號,大小設置為0.01倍參考電壓Vref。原系統與辨識降階后系統的時域響應如圖4所示。由圖4可知,辨識降階后的系統與原系統的動態特性幾乎一樣,即便存在誤差,其量級也很小,說明了辨識后的系統可以代替原來的高階系統,簡化了后續的計算與研究。

圖4 單機系統辨識結果

3.2 四機二區域系統

IEEE的四機二區域系統主要由2個區域組成,區域1由發電機G1和發電機G2組成,區域2由發電機G3和發電機G4組成,四機系統的結構如圖5所示。通過系統辨識和模態降階法來對四機系統進行辨識和降階,本文主要分析區域間功率ΔPe和區域間的轉速偏差Δω,原系統與辨識后的系統的時域響應如圖6所示。

圖5 四機系統結構圖

(a) 功率辨識結果

由圖6可知,系統原模型的穩態功率為101.5 MW,降階后的模型穩態功率為102.1 MW,穩態功率之間的誤差僅為0.5%。轉速偏差也是與之類似,誤差較小。原系統與降階后的系統轉速差和功率的曲線幾乎相同,也就是說,動態響應誤差在可接受的范圍之內。誤差的主要原因可能是在對非線性系統的線性化和系統降階過程中存在一定的誤差。仿真實驗結果表明,降階后的模型可以較為準確地還原出原系統的穩態和暫態行為,其中所存在的誤差在實際工程中是在可接受范圍之內的。

3.3 不同方法的ITAE指標比較

采用時間乘絕對誤差積分(ITAE)作為衡量降階系統精度的指標。對于連續的系統來說,ITAE公式為

(28)

由圖7可以得出,本文采用的方法精度較高,對于電力系統中的兩種不同的電力系統模型,均優于Prony方法和BT方法。對系統的辨識和降階有著良好的辨識精度,同時也簡化了后續研究的運算難度。

圖7 ITAE指標對比

4 結論

隨著電力系統的不斷發展,構建合適的電力系統仿真模型對電力系統的運行有著重大意義。但是對于規模日益增大的電力系統來說,辨識得到的全階模型對于后續的研究是較為困難的,所以需要對得到的高階模型進行降階處理,在保證穩態和暫態行為不變的情況下簡化后續的分析。本文提出了基于TLS-ESPRIT算法辨識和選擇模態降階的方法對單機無窮大系統和四機二區域系統進行辨識和降階分析,仿真分析結果表明:

(1)TLS-ESPRIT算法可以通過系統的輸出信號辨識得出系統模型的傳遞函數,為后續的系統模型降階奠定了基礎。

(2)基于模態選擇法降階后的模型相比于全階模型,具有相同的穩態和暫態行為,且與其他方法相比,精確度較高。