一個具有大范圍超混沌狀態的五維多穩態系統

曾以成 李文軒? 孫小力

（1.湘潭大學 物理與光電工程學院，湖南 湘潭 411105；2.山東財經大學 燕山學院，山東 濟南 250000）

混沌系統具有非周期性、偽隨機性、初值和參數敏感性等特點，常被應用于密碼學領域［1-3］。經過幾十年的發展，專家學者們研究了具有各種特點的混沌系統，如具有極端多穩態的混沌系統［4-5］、具有隱藏吸引子的混沌系統［6-7］、具有恒Lyapunov指數特性的混沌系統［8-9］等，極大地豐富了混沌系統的種類。

目前，具有寬參數范圍的混沌系統逐漸被大家研究［10-12］。因為其參數在大范圍變化，系統都保持混沌狀態，避免了因參數變化或者誤差因素導致混沌系統的混沌特性消失這種情況，所以這類混沌系統在工程應用中可以保持良好的混沌特性，更適合保密通信等領域。賈紅艷等［13］發現了一個大范圍的4D超混沌系統，參數范圍為［10，900］。梅容等［14］提出了一個4D超混沌系統，其參數在［0，2×103］變化時該系統一直保持混沌與超混沌特性。Xian等［15］構造了一個存在共存吸引子的大范圍3D混沌系統。徐昌彪等［16］發現了一個大范圍的3D混沌系統，該系統不僅在參數范圍［0，104］內保持混沌狀態，還產生了混沌吸引子共存現象，但僅對電路進行了仿真。綜上所述，在耗散混沌系統中，目前發現的大范圍參數混沌系統都是三維和四維的混沌系統。在五維耗散系統中，具有寬參數范圍的超混沌系統很少被研究。

眾所周知，具有共存吸引子的系統的動力學特性更加復雜。特別是在加密領域，多穩態下的吸引子可以提供多個加密密匙，密匙的多樣性則會給解密工作增加難度，從而使系統有較強的保密性能。因此，吸引子共存類型多的混沌系統更適合應用于加密領域。Lai 等［17］提出了一個至少具有6 種吸引子共存類型的四維混沌系統。Zhang 等［18］構造了一個無平衡點的四維混沌系統，其至少具有9種共存類型。鮮永菊等［19］構建了一個具有10種吸引子共存類型的四維混沌系統。雖然上述研究具有多穩態的混沌系統比較多，然而在已有的寬參數范圍超混沌系統中，對多種吸引子共存類型研究較少。

因此，為了得到寬參數范圍且具有多種共存吸引子類型的超混沌系統，本研究構建了新的五維超混沌系統。當參數d變化時，該系統產生12種吸引子共存現象，增加了該系統的復雜性。當參數m在區間［0.1，4×103］變化時，該系統一直保持在具有2 個正Lyapunov 指數或者3 個正Lyapunov 指數 的超混沌狀態。最后使用現場可編程門陣列（FPGA）板對新的五維超混沌系統進行電路實現。

1 系統模型及動力學分析

Lai等［17］提出了一個4D混沌系統，該系統具有多種吸引子共存現象，其狀態方程為

將系統（1）中第4 個方程的非線性項y2改為yz，取a為15，b為25，c為65，再將第1個方程右邊耦合一個一維系統（-dx-y-0.5u），且耦合系數為1，得到一個五維混沌系統描述如下：

其中，x、y、z、w、u是系統狀態變量，d、m是系統參數。當參數d=20，m=200 且初始值為（0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）時，該系統的相軌圖如圖1 所示。在Matlab 軟件中采用Wolf 算法［20］編寫程序，以0.5 s的間隔計算500 s，得到系統的5個Lyapunov指數分別為5.01、0.34、0.18、0.00、-58.21。在混沌系統中，具有2 個及2 個以上的正Lyapunov指數才能被定義為超混沌系統［21-22］。該系統具有3 個正的Lyapunov 指數，因此是一個超混沌系統。對應地分數維度為4.10。

圖1 系統（2）的相軌圖Fig.1 Phase portraits of the system（2）

對于系統（2）有

系統的耗散性可以由式（3）判斷，若式（3）大于0，系統的相空間體積隨著運動不斷擴張；若等于0，系統的相空間體積隨著運動保持不變；若小于0，系統的相空間體積隨著運動不斷縮小，此類系統稱為耗散系統。由于參數m＞0，故耗散度恒小于0，說明系統（2）是耗散的。

2 多共存現象分析

系統（2）在參數確定的情況下，改變其初始值，存在吸引子共存現象。當取參數m=200，參數d∈［-15.0，-5.0］，系統（2）在初始值分別?。?.1，0.1，0.1，0.1，0.1）（藍色），（-0.1，-0.1，-0.1，-0.1，-0.1）（紅色），（-0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）（綠色），（0.1，-0.1，0.1，0.1，0.1）（青色）時產生的共存分岔圖如圖2所示。

圖2 在不同初始值下的分岔圖Fig.2 Bifurcation diagrams under different initial values

如圖2 所示，當初始值?。?.1，0.1，0.1，0.1，0.1）（藍色）時，系統在d∈［-15.0，-10.9）時處于周期狀態；當d∈［-10.9，-5.0］時，系統處于混沌狀態，且當d取值處于-8.6和-6.0附近時出現短暫的周期窗口。當初始值?。?0.1，-0.1，-0.1，-0.1，-0.1）（紅色）時，在d∈［-15.0，-11.3）時系統處于周期狀態；當d∈［-11.3，-5.0］時，系統處于混沌狀態，在此范圍還伴隨著周期窗口。當初始值?。?0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）（綠色）時，系統在d=-13.2時出現分岔現象進入二周期，d=-8.9時進入四周期狀態；系統在d∈［-8.1，-5.0］時進入混沌狀態，且d取值在-7.3 和-6.15 附近時會出現短暫的周期窗口。當初始值?。?.1，-0.1，0.1，0.1，0.1）（青色）時，系統在d∈［-15.0，-8.4）時處于周期狀態；在d∈［-8.4，-5.0］時進入混沌狀態，期間還出現小范圍的周期窗口。在不同初始條件下，可以清楚地在共存分岔圖上觀察到系統由周期經歷倍周期分岔進入混沌狀態的過程。改變參數d值，系統將產生不同類型的吸引子共存。

當參數d取不同的值，系統（2）在不同初始值下產生的吸引子在x-y平面的相軌圖如圖3 所示。其中，在圖3中玫紅色的相軌圖是初始值為（-0.1，-0.1，0.1，0.1，0.1）時產生。從圖3中可以觀察到，當參數d=-18.0，-15.0，-13.0，-11.5時，該系統分別表現為4 個周期1 吸引子共存、兩個周期1 吸引子與兩個周期2 吸引子共存、4 個周期2 吸引子共存、兩個周期2 吸引子與兩個周期4 吸引子共存；當參數d=-11.0，-10.0，-9.0，-8.8時，分別表現為兩個周期2 吸引子與1 個擬周期吸引子與1 個一渦卷混沌吸引子共存、兩個周期2吸引子與兩個一渦卷混沌吸引子共存、周期2 吸引子與周期4 吸引子與一渦卷混沌吸引子與擬周期吸引子共存、兩個周期4 吸引子與1 個擬周期吸引子與1 個混沌吸引子共存；當d=-8.0，-7.0，-4.0，18.0時，分別為1 個擬周期與3 個一渦卷混沌吸引子共存、4 個一渦卷吸引子共存、一渦卷與兩渦卷吸引子共存、2 個兩渦卷吸引子共存。由圖3中展示的12種吸引子共存類型可知，新系統具有豐富的共存類型。

圖3 系統（2）隨參數d變化在x-y平面產生的相軌圖Fig.3 Phase portraits of system（2）in the x-y plane with different values of d

3 大范圍參數超混沌分析

當設置參數d=20.0 及初始值為（0.1，0.1，0.1，0.1，0.1）時，系統（2）隨參數m變化的Lyapunov 指數譜如圖4所示，圖中的5條不同顏色的曲線分別表示為LE1（玫紅色）、LE2（藍色）、LE3（黑色）、LE4（紅色）和LE5（綠色）。圖4（a）和4（b）表示的是參數m?。?.1，70］時，系統的Lyapunov指數譜變化情況，從圖可以觀察到：當參數m小于65時，LE1 ＞LE2 ＞0，故該系統處于具有2個正Lyapunov指數超混沌狀態；當m大于65之后，LE1 ＞LE2 ＞LE5 ＞0，該系統處于具有3 個正Lyapunov 指數超混沌狀態。圖4（c）和4（d）示出了當參數m?。?0，4 000］時，系統的Lyapunov 指數譜保持不變且維持3 個正Lyapunov指數的超混沌狀態，說明了該系統具有很強的魯棒性。參數m?。?.1，4 000］時，系統（2）得到的分岔圖如圖5所示，與Lyapunov指數譜保持一致，進一步佐證了該系統一直保持混沌和超混沌狀態。

圖4 系統（2）隨參數m變化的Lyapunov指數譜Fig.4 Lyapunov exponent spectra of system（2）varying with parameter m

圖5 系統（2）隨參數m變化的分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of system（2）varying with parameter m

4 FPGA實現

數字電路實現不僅資源消耗少且利用率高［23］，因此在本節中，新系統的電路將通過FPGA 實現。為了驗證超混沌模型的正確性，設計了超混沌模型的數字振蕩器：

式中，p是迭代步長，且迭代步長取0.001。

系統的寄存器傳輸級（RTL）原理如圖6 所示，可以看出，在RTL電路中存在混沌系統模塊和CLK模塊?；煦缦到y模塊是利用四階龍格-庫塔（RK-4）數值方法實現新型超混沌系統。它使用Verilog HDL進行編碼，采用32位定點數格式，由1位符號部分、8位整數部分和23位小數部分組成。CLK 模塊為整個電路提供時鐘頻率。

圖6 系統的RTL原理Fig.6 RTL principle of the system

最后，利用Xilinx FPGA ZYNQ-7020 和D/A 轉換模塊AN9767搭建了5D超混沌系統電路。實驗環境如圖7 所示。由數字示波器得到的x-y平面相軌圖如圖8所示。

圖7 實驗環境Fig.7 Experimental environment

圖8 實驗結果Fig.8 Experimental results

5 結論

本研究在Lai 氏四維系統的基礎構造了一個新的具有大參數范圍的多共存超混沌系統。首先對系統進行建模以及動力學分析，得到該系統是一個具有3個正Lyapunov指數的耗散超混沌系統。然后通過共存分岔圖和相軌圖得到該系統具有周期1、周期2、周期4、擬周期、一渦卷吸引子、雙渦卷吸引子等相互共存的情況，共存類型一共有12種。接著分析了該系統在寬的參數范圍保持超混沌狀態這一特性，并且通過Lyapunov指數譜圖可以觀察參數m在［70，4 000］的區間上保持Lyapunov 指數不變，說明該系統具有恒Lyapunov 指數特性。最后，通過FPGA 對新系統進行實現，驗證了它的電路可實現性。新的超混沌系統具有寬范圍的超混沌狀態，且電路能實現，在保密領域有著巨大的應用潛力。