發揮學生主體作用，助推學生深度學習

韓雪梅

目前，數學教學中依然存在著程序化、形式化、碎片化的淺層學習方式，影響了學生學習能力的提升和思維能力的發展.為了幫助學生獲得更好的學習效果，數學課堂上需要對數學知識的深度學習，以此提高學生學習層次，強化學生學習能力，建構知識體系，讓學生獲得可持續學習能力，促進終身學習目標的達成＼.筆者以“等比數列的前n項和”教學為例，談談自己對深度學習的一些認識，供參考.

1 教學過程

1.1 聯系舊知，明晰方向

問題1? 回顧已學的等差數列和等比數列的相關知識，完成表1.

設計意圖：引導學生回顧已學知識，以期通過新舊知識的有機融合讓學生對數學知識的理解更加系統化、結構化，培養學生良好的思維習慣.

1.2 創設情境，讓學引思

問題2? 為了讓全世界（約75億人）的人都能了解南京，南京某校欲開展“信息傳遞”活動.小明作為第1天的“傳遞官”需要將南京的人文歷史介紹給兩個人.第2天包括小明在內就有3人知道信息了，兩名新的“傳遞官”將之前獲得的信息分別傳遞給兩個人，這樣第3天就有7人得知信息，以此類推，多少天后能夠實現目標呢？請嘗試用數學語言表述.

問題給出后，學生積極思考，很快就有了發現.

生1：第1天1人，第2天新增2人，第3天新增22人，第4天新增23人，……，第n天新增2n－1人，問題可以轉化為不等式問題，即求1+2+22+……+2n－1≥7.5×109.

師：分析得很有道理，不過這個不等式該如何求解呢？（學生陷入沉思）

師：64天后會有多少人知道呢？S64=1+2+22+23+……+263=？

問題給出后，讓學生分組探索求解方法.在教師的啟發和引導下，學生給出了如下解法：

解法1：錯位相減.

S64=1+2+22+23+……+263，①

2S64=2+22+23+……+263+264.②

②－①，得S64=264－1.

解法2：猜測歸納.

S1=1=21－1，S2=3=22－1，S3=7=23－1，……，猜測S64=264－1.

解法3：內部結構分析.

S64=1+2+22+23+…+263=1+2（1+2+22+23+…+262）=1+2S63，

所以S64=1+2（S64－263）.

故S64=264－1.

設計意圖：活動與體驗是發展學生學習能力、提升學生數學素養的重要途徑.教學中，教師以貼近學生的生活情境為背景，引導學生用數學語言去表述，用數學思維去思考，提高學生數學能力.在問題的解決過程中，教師沒有直接呈現問題分析和解決的過程，而是放手讓學生去思考、去合作，鼓勵學生從不同角度探尋解決問題的方法，以此提高思維活力，引發深度學習＼.

1.3 公式推導，揭示本質

問題3? 如果將推導等比數列前n項和公式轉化為一道數學題，可以怎樣轉化呢？

生2：已知等比數列{an}的首項為a1，公比q（q≠1），記Sn=a1+a2+a3+……+an，求Sn=f（n）（n∈N*）的解析式.

問題4? 請結合探索“S64=1+2+22+……+263=？”的經驗，求Sn=f（n）（n∈N*）的解析式.

問題給出后，預留充足的時間讓學生思考.通過積極思考與交流，學生給出了如下推導過程：

證法1：當q≠1時，? Sn=a1+a2+a3+……+an+0，③

qSn=0+a2+a3+……+an+an+1.④

③－④，得（1－q）Sn=a1－qan=a1－a1qn.

故Sn=a1－a1qn（1－q）（q≠1）.

證法2：當q≠1時，因為

Sn=a1+a2+a3+……+an=a1+q（a1+a2+a3+……+an－1）=a1+qSn－1，

所以Sn=a1+q（Sn－an）.

故Sn=a1－a1qn（1－q）（q≠1）.

問題5? 當q=1時，如何求等比數列的前n項和？請寫出等比數列的前n項和公式.

學生歸納總結，得到等比數列的前n項和公式：

Sn=f（n）=na1，q=1，a1（qn－1）q－1，q≠1.

設計意圖：公式推導是本節課的重難點內容，是誘發深度思考的重要途徑.在本課教學中，教師一改往日以師為主的講授模式，引導學生通過小組合作自主推導公式，以此通過經歷公式推導的過程，理解公式的本質屬性.在以上教學過程中，引導學生用精準的數學形式進行問題的表征，用不同的方法證明，讓學生體驗了等比數列前n項和的本質，為后期應用打下了堅實的基礎.同時，不同角度的證明方式，拓寬了學生的視野，實現了數學思維的進階.

1.4 公式應用，提高能力

問題6? 回歸最初的問題2，按照以上傳遞方式，多少天后可以讓全世界的人認識人文薈萃的南京呢？

學生根據公式求解：2n－1≥7.5×109，所以n≥log2（7.5×109+1）≈32.8，故33天后可以完成.

問題解決后，教師又給出例題幫助學生鞏固強化，題目如下：

例1? 判斷下列各式中公式的使用是否正確？若不正確，請給出理由.

（1）1－2+4－8+……+（－2）n－1=1（1－2n）1－2；

（2）1+2+4+8+……+2n=1（1－2n）1－2；

（3）若c≠0，c≠1，則c2+c4+c6+……+c2n=c2［1－（c2）n］1－c2.

例2? 已知數列{an}是等比數列，首項為a1，公比為q，Sn為數列{an}的前n項的和.

（1）若a1=1，ak=243，q=3，求Sk；

（2）若q=12，n=6，Sn=1894，求an；

（3）若S3=72，S6=632，求an.

設計意圖：例題是課堂教學的重要組成部分，通過問題的解決既能達到鞏固強化的目的，又能幫助學生積累豐富的解題經驗.教師設計以上題目旨在引導學生辨析公式的本質屬性，加強公式理解的深度，進一步提高學生數學抽象素養.

2 教學思考

在高中數學教學中，教師要打破傳統的“講授＋題?！?，提供機會讓學生去思考、去探索、去交流，以此通過親身經歷逐步培養“四基”、落實“四能”.為了實現這一目標，教師在教學設計中應注意以下幾點：

2.1 重視突破重難點

公式的推導是本課教學的重點，也是難點.為了凸顯重點、突破難點，教師沒有直接將教材中的推導過程呈現給學生，而是讓學生結合已有的知識和能力尋找適合的推導方法，以此激發學生探究興趣，讓學生更加全面、深刻地理解公式.推導公式時，學生給出了3種不同的推導方案，獲得了對公式不同角度的理解，充分展示了思維的創新性，提高了自身的思維品質.

2.2 重視公式本質的理解

數學公式具有高度的抽象性，教學中需要引導親身經歷數學公式抽象的過程，以此幫助學生把握數學公式的本質.本課教學中，教師將公式推導的主動權交給學生，學生得到了不同的推導方案，對數學公式獲得了本質的理解.

總之，數學教學中，教師要認真研究教學內容，認真研究學生，結合教學實際創設有效的問題，讓學生在問題的驅動下積極思考、積極合作，通過深度學習加深學生對數學本質的理解，提升教學品質.

參考文獻：

[1]吳小兵.結構化視角下數學深度學習的實踐探究＼.教學與管理，2020（10）：53-55.

[2]馬敬雄.以助力深度學習為目標的小組合作策略探究＼.新教師，2022（6）：53-54.