車慧
數學運算是“新課標”中提出的數學六大核心素養之一.因此,數學運算在高考中受到了高度關注,“成也運算,敗也運算”,幾乎成為一種共識.從當下高中數學教學的現狀來看,學生的數學運算能力在整體表現上依然比較“孱弱”,“一聽就懂,一做就錯”的現象普遍存在.采取切實有效的措施,使數學運算素養在課堂教學中落地生根,是一個值得我們高度重視的課題.下面以高考及其模擬試題中的“函數”問題為例,談談筆者的一些認識和體會,供大家參考.
1 弄清運算對象,找準運算方向
數學運算素養是在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的一種素養.對于具體的數學運算,我們要結合運算情境,正確地分析并弄清數學運算對象,深刻認識運算對象的特征,挖掘其內涵,明確運算的方向,以理性思維為基礎,合理地將問題加以變形與轉化,進而通過正確的運算使問題獲得解決.
例1? (2023屆上海市普陀區高考一模數學試題)設b,c均為實數,若函數f(x)=x+bx+c在區間\.
分析:根據題設條件,結合所求結果中代數式的結構特征,對比最值或取值范圍求解的一般形式,確定運算對象,合理聯系對應的基本不等式的有關知識,通過基本不等式的變形公式的應用來分析與求解,簡捷有效.而涉及分式函數的最值求解問題,則可結合運算對象的確定,直接利用對勾函數的圖象與性質,或借助函數與導數的有關知識,通過合理的運算使問題獲得解決.
解析:由題意,函數f(x)=x+bx+c在區間\\
由基本不等式的變形公式,可得(b2+c2)(1+x2)≥(b+cx)2=(-x2)2=x4,當且僅當b1=cx時等號成立,則問題可轉化為b2+c2≥x41+x2在x∈\12,+∞.
點評:弄清相應的運算對象是解決數學問題的一種最基本的思維方式,只有弄清了運算對象,才能知道怎么處理運算對象,運算才有方向感.在本例的求解過程中,根據問題的條件和目標,分析它們之間的聯系,根據運算對象的結構特征,合理地聯想由基本不等式引申變形而得到的公式(柯西不等式)及其成立的條件,通過運算實現問題的轉化,找準運算的方向,再通過相應的數學運算獲得了結果,問題迎刃而解.
2 理解運算法則,明晰運算依據
數學運算是在一定的法則下進行的,理解數學運算的法則,明晰數學運算的理論依據,是數學運算得以順利實施、取得正確結果的基本保證.解決數學問題,在弄清了運算對象以后,緊接著就要思考“需要進行哪種數學運算?相應的運算法則是什么?”在正確認識和理解相應的運算法則的基礎上,確定運算思路和途徑,進行科學合理的數學運算,為問題的解決開拓出一個全新的局面.
例2? (2023年全國乙卷\516)設a∈(0,1),若函數f(x)=ax+(1+a)x在(0,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是.
分析:原問題等價于f′(x)=axln a+(1+a)x\5ln (1+a)≥0在(0,+∞)上恒成立,據此將所得的不等式進行恒等變形,可得1+aax≥-ln aln (1+a),由左側函數的單調性可得實數a的二次不等式,求解二次不等式后可確定實數a的取值范圍.
解析:根據題設條件,可得f′(x)=axln a+(1+a)xln (1+a)≥0在區間(0,+∞)上恒成立,則