多面體體積計算中的多種思維方法

徐海軍 侯有岐

空間幾何體的體積，依據題設的特殊性可直接用公式、作棱的直截面割補法、三棱錐等體積變換法、分割法、補形法等求解，凸顯 “化非規則為規則，化不可求為可求，或化不易求為易求”的整體思維的具體應用.下文主要探究幾何體體積計算中的多種思維方法.

1 整體法

例1? 已知長方體的三個面面積分別為2，3，6，則長方體的體積等于（? ）.

A.6

B.6

C.66

D. 36

解析：設此長方體的長、寬、高分別為x，y，z.

由題意，得xy=2，yz=3，xz=6.相乘得（xyz）2=6，所以V=xyz=6.故選：B.

上述三元方程組中的未知數x，y，z在每個方程中呈現輪換式，對于此類方程組采用三式相乘，求解x，y，z的值尤為方便.當然三元輪換的方程組還可以三式相加，同樣可獲得理想的效果.

2 公式法

例2? （2017課標1文＼516）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑.若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為.

分析：由已知易證OA⊥平面SCB，可選△SCB為底面，OA為高直接用三棱錐的體積公式溝通關系求半徑.

解析：如圖1，連接OA，OB.因為SO=OC，SA=AC，SB=BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC.又平面SCA⊥平面SCB，所以OA⊥平面SCB.

設OA=r，因為SC是球O的直徑，SA=AC，

SB=BC，所以Rt△SBC，Rt△SAC是等腰直角三角形，且斜邊為2r，高為r.于是VA－SBC=13×S△SBC×OA=13×12×2r×r×r=13r3=9.

從而得r=3.故球的表面積為4πr2=36π.

例2用到的公式法也叫直接法，一般適用于幾何體形狀整齊，有較明顯的垂直關系且長度已知的題型.用公式法求幾何體的體積要先確定高和底面積，對于高的確定一定要先證明該直線垂直于底面，不可以憑感覺判定.

3 等體積法

例3? （2014福建高考）如圖2所示，三棱錐A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

（1） 求證：CD⊥平面ABD.

（2） 若AB=BD=CD=1，M為AD的中點，求三棱錐A-MBC的體積.

分析：利用等體積法，可得VA-MBC=VC-ABM=13·CD·S△ABM，即可求出三棱錐A-MBC的體積.

解析：（1）證明略.

（2）由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.因為AB=BD=1，所以S△ABD=12×1×1=12.又M是AD的中點，所以S△ABM=12S△ABD=12×12=14.

由（1）知，CD⊥平面ABD，所以三棱錐C-ABM

的高為CD=1，因此三棱錐A-MBC的體積

VA-MBC=VC-ABM=13·CD·S△ABM=13×1×14=112.

立體幾何中的等體積法（換頂點）大多用于與錐體體積有關的問題，尤其是三棱錐，這是因為三棱錐的任何一個面都可以作為底面.轉換原則是換底時高易求或底面放在已知幾何體的某個面上.

4 分割法

例4? （2018·江蘇卷·10）正方體的棱長為2，以其所有面的中心為頂點的多面體的體積為.

分析：由題意可知所求多面體是正八面體，可將其看作是由兩個大小相同的正四棱錐組合而成的組合體，這樣問題等價于求正四棱錐體積的兩倍.

由圖3可知，所求多面體的體積為2×13×1×（2）2=43.

例5? 將邊長為O的正方形ABCD沿對角線AC折起，使△ABD為正三角形，則三棱錐A-BCD的體積為（? ）.

A.16

B.112

C.312

D.212

分析：如圖4，取AC的中點O，連接BO，DO，由已知易證AC⊥平面BOD，因此可將三棱錐A-BCD分割成以△BOD（棱AC的直截面）為底面，以棱AC為高的兩個共底面的三棱錐直接求解.答案是選項D.

分割法是求幾何體體積比較常規的方法，但需要有整體與局部的結構意識.常見的分割方法有直接分割（如例4）或直截面分割（如例5）.

5 補形法

例6? （2014上海文）底面邊長為2的正三棱錐P-ABC，其表面展開圖是三角形P1P2P3，如圖5，求△P1P2P3的各邊長及此三棱錐的體積.

分析：由于展開圖是△P1P2P3，且A，B，C分別是其所在邊的中點，根據三角形的性質，易得△P1P2P3是邊長為4的正三角形，原三棱錐是棱長為2的正四面體，這樣可將正四面體納入正方體中來求解，從而簡化運算.

解析：在△P1P2P3中，P1A=P3A，P2C=P3C，

所以AC是△P1P2P3的中位線，故P1P2=2AC=4.同理，P2P3=4，P3P1=4.所以△P1P2P3是等邊三角形，各邊長均為4，則三棱錐P-ABC是邊長為2的正四面體.如圖6，把正四面體P-ABC補形為正方體ADBE-GPHC，設正方體棱長為a，則有a=2，所以V=（2）3－4×13×2×12（2）2=223.

對于多面體體積計算問題，可總結如下：

（1）一般地，若三棱錐的三條側棱互相垂直且相等，則此三棱錐可以補形為一個正方體；若三棱錐的三條側棱互相垂直但不相等，則此三棱錐可以補形為一個長方體，且長方體的體對角線長就是該三棱錐的外接球的直徑.

（2）在棱長為1的正方體中割出一個內接正四面體后，還“余下”4個正三棱錐，且每個正三棱錐的體積均為16，故內接正四面體的體積為13.正四面體的內切球、棱切球、外接球這三類球的半徑比為1∶2∶3，可借助等積法和體積分割法探究.

（3）設正四面體的棱長為1，其外接球和內切球半徑依次為R，r.由正四面體三個球心重合的特征，則正四面體的高為63=R+r，體積為V=13×63×34，又V=13×r×34×4，所以內切球和外接球的半徑比為1∶3；而與棱相切的球的直徑即為正四面體對棱的距離22，則內切球、棱切球、外接球的半徑之比為63×14∶24∶63×34=1∶3∶3.

6 轉移法

例7? 已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（? ）.

A.26

B.36

C.23

D.22

分析：計算三棱錐S-ABC的體積時，需要確定錐體的高，即點S到平面ABC的距離，直接求解比較困難，可利用線段中點的性質轉化為點O到平面ABC的距離來求解.

解析：（中點轉移法）由于三棱錐S-ABC與三棱錐O-ABC的底面都是△ABC，O是SC的中點，因此三棱錐S-ABC的高是三棱錐O-ABC高的2倍，所以三棱錐S-ABC的體積也是三棱錐O-ABC體積的2倍.在三棱錐O-ABC中，棱長都是1，所以

S△ABC=34×AB2=34，高h=12－332=63.

故VS-ABC=2VO-ABC=2×13×34×63=26.

例8? 如圖7，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，CD的中點，求三棱錐F-A1ED1的體積.

分析：計算三棱錐F-A1ED1的體積時，需要確定錐體的高，即點F到平面A1ED1的距離，直接求解比較困難.但利用等體積的方法，調換頂點與底面，如VF-A1ED1=VA1-EFD1，也不易計算，因此可以考慮使用平移轉換法等價求解.

解析：（平移轉換法）如圖8，取AB中點G，連接FG，EG，A1G.因為GF∥AD∥A1D1，所以GF∥平面A1ED1，則點F到平面A1ED1的距離等于點G到平面A1ED1的距離.

所以VF-A1ED1=VG-A1ED1=VD1-A1EG=13S△A1EG·A1D1=13×38a2×a=18a3.

對于有些不易求高的不規則幾何體的體積，除常用的分割法或補形法外，還可以利用幾何圖形的性質（如中點、三等分點等）和點到平面距離的定義，將其轉化為易求高的規則幾何體來求解.

7 特殊化法

例9? （2012·山東高考）如圖9，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，E，F分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1-EDF的體積.

分析：本題常用方法是等體積法，但根據選填題的特點，利用點的特殊性移動兩個動點E，F，進行極端化處理，使不規則四面體體積轉化為特殊四面體的體積來求解，凸顯等價轉化思想的具體應用.

解析：（特殊位置法）將E點移到A點，F點移到C點，則

VD1-EDF=VD1-ADC=13×12×1×1×1=16.

例10? （2013年江蘇高考）如圖10，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分別是AB，AC，AA1的中點.設三棱錐F-ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1-ABC的體積為V2，則V1∶V2=.

分析：本題常用方法一是根據所求三棱錐和三棱柱底面和高之間的關系用公式法直接求體積比；二是構造輔助三棱錐A1-ABC，利用三棱錐F-ADE、三棱錐A1-ABC和三棱柱A1B1C1-ABC體積之間的大小關系求體積比，但根據選填題的特點，利用特殊圖形法求解更簡單.

解析：（特殊圖形法）若三棱柱A1B1C1-ABC為正三棱柱，設AB=2，AA1=2，則V2=34×22×2=23，V1=13×34×1=312，所以V1V2=124.

高考中立體幾何的選擇題和填空題，除了用通性通法解決外，還可以依據題目的特點，根據矛盾的普遍性寓于特殊性之中的原理，適時采用特殊化法（特殊位置法、特殊圖形法等）來巧解.

8 函數法

例11? （2022·新高考Ⅰ卷·8）已知正四棱錐的側棱長為l，其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36π，且3≤l≤33，則該正四棱錐體積的取值范圍是（? ）.

A.18，814

B.274，814

C.274，643

D.［18，27］

分析：設正四棱錐的高為h，由球的截面性質列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.

解析：因為球的體積為36π，所以球的半徑R=3.設正四棱錐的底面邊長為2a，高為h，則

l2=2a2+h2，32=2a2+（3－h）2.

所以正四棱錐的體積

V=13Sh=13×4a2×h=23×l2－l436×l26=19l4－l636，3≤l≤33.

所以V′=194l3－l56=19l324－l26.

當3≤l＜26時，V′>0；當26

所以當l=26時，正四棱錐的體積V取最大值，且最大值為643.

又l=3時，V=274；l=33時，V=814.所以正四棱錐的體積V的最小值為274.故選：C.

立體幾何中求體積的最值（或范圍）問題，利用函數思想，特別是利用導函數或均值不等式求最值，是一次精彩的綜合交匯.首先要厘清數量關系，然后將圖形和文字轉化至數學語言，建立函數模型，最后通過函數求最值的方法解決問題.

求空間幾何體體積還有向量法、相似比法、祖暅原理法和積分法等，由于篇幅所限，就不再一一贅述.

總之，立體幾何中的有關體積問題，高考考查的形式已經由原來的簡單套用公式逐漸變為與三視圖以及柱、錐、球的接切問題相結合的復雜情境.但無論怎樣變化，都要運用整體和聯系的觀點整合對應的知識點，而不能用碎片化的知識解決整體性問題，那樣就如同盲人摸象，不得要領.