面板數據中方差的共同變點估計

趙軍輝，董翠玲

（新疆師范大學 數學科學學院，新疆 烏魯木齊 830017）

面板數據結合了時間序列與截面數據的特點，是二維數據，它擴大了樣本的信息，降低了變量之間的多重共線性，提高了參數估計的準確性，目前廣泛應用于經濟學、金融學、生命科學、醫學、氣象學等領域［1-2］。面板數據的變點分析問題始于Joseph等人提出的隨機變點模型［3-4］。Bai使用最小二乘法和擬極大似然方法估計了面板數據中均值與方差的共同變點，并得到了變點估計量的極限分布［5］。自Page 首次提出累積和（Cumulative Sum，CUSUM）方法對變點進行連續性檢驗后［6］，CUSUM 方法被許多統計學家改進并應用于變點的檢測與估計。Horváth 等人在Bai的模型基礎上，關于面板數據中均值是否存在共同變點提出了一個基于平方累積和（Squared CUSUM）的檢驗統計量，并在原假設H0（即沒有變點）下得到了檢驗統計量的漸進分布［7］。Li等人和Shi分別使用CUSUM 方法［8］和似然方法［9］對面板數據中方差是否存在共同變點進行了檢驗。徐小平等人使用擬極大似然方法和CUSUM 方法對面板數據中方差的共同變點進行了估計，并結合二元分割法將其推廣到多變點情形［10］。

這些關于面板數據變點分析的研究，當觀測時長T較長，變點位置不在序列的端點附近時，即，估計都很有效，但對于觀測時長T較短（即T＜30），或變點出現在序列端點附近時，估計的精度大幅降低。Horváth等人使用CUSUM方法對長相依序列中的變點進行估計時，在數值模擬過程中發現調節參數對變點估計的精確度有顯著影響［11］。Chen 等人通過調節參數對面板數據中均值的共同變點提出了一個改進的CUSUM 型估計量，數值模擬給出了不同調節參數下變點估計的精確度［12］。譚常春等人研究了CUSUM 型統計量中調節參數對單變量序列中變點估計效果的影響［13］。文章通過調節參數對面板數據中方差的共同變點提出了一個改進的CUSUM 型估計量，研究調節參數γ∈(0,1) 對方差共同變點估計精確度的影響。蒙特卡洛模擬表明通過調節參數不僅使得變點位置在序列中間時得到很好的估計效果，而且使得變點位置在序列端點附近時，估計的精確度有了大幅度提升，并結合二元分割法將其推廣到多個方差共同變點的情形。最后，應用2018 年1 月—2022 年12 月外匯匯率進行實證分析，結果表明調節參數（γ≠0）下CUSUM型估計方法是有效的。

1 模型與主要結果

考慮面板數據中方差的共同變點模型

其中，k0未知，Yit（i=1,2,…,N；t=1,2,…,T）是面板數據中第i個截面個體在t時刻的觀測值，μi是第i個截面個體的均值，ηit是第i個截面個體在t時刻的誤差項。在這個模型中，若σi1≠σi2，則未知時刻k0（1 ≤k0＜T）稱為面板數據中方差的共同變點，即這N個截面個體方差的共同變點。當k0=T時，表明面板數據中不存在方差共同變點。令

其中，γ為調節參數，γ∈(0,1)，調節參數可以保證方差共同變點k0在靠近序列端點時估計的有效性，γ=0表示無調節參數。表示第i個截面個體在T個不同時刻得到觀測值的樣本均值。記=Yit-Yˉi，則為面板數據中心化后的結果，從而

為了估計方差的共同變點，需要下列假設條件:

假設1：E(ηit)=0，Var(ηit)=1，其中

假設2：存在正數M＞0，使得

假設3：存在τi∈(0,1)，ε＞0，使得ki=[Tτi]，并且τi+1-τi＞ε，i=0,1,2,…,m，其中[·]為取整函數；

假設4：表示方差跳躍度的平方，即方差的變化強度；

假設5：對任意的1 ≤k≤s≤T，都有，其中h∈(0,2)，注意在整篇文章中，正數C可能會不同，而且C與N和T是相互獨立的；

假設6：存在α∈(0,1)，使得

注：假設1～假設3為Bai的研究中關于面板數據的假設，其中假設1能保證誤差項ηit滿足平穩性，假設2要求誤差項ηit的四階矩有限，假設3 確保了模型的每兩個變點之間有足夠多的樣本，這是大數定律和中心極限定理成立的基本條件，通常ε取0.05，0.01 等較小的數。假設4 類似于Bai 的假設2，這個假設既保證方差變化強度δi的非負性，又合理描述截面個數N與方差變化強度δi之間的關系［5］。假設5滿足常見的平穩序列或者非平穩序列，更多的案例參看文獻［14］。假設6表示當N,T→∞時，Tα趨于無窮大的速度快于N.

引理1［14］設Y1,…,Yn是任意二階矩有限的隨機變量序列，C1,C2,…,Cn為任意的非負常數，則

定理1設面板數據模型（1）中存在一個方差共同變點若假設1～假設5 都成立，且則對于任意ε＞0，由式（3）定義的面板數據中方差的共同變點估計量τ0滿足

推論1設面板數據模型（1）中存在一個方差共同變點若假設1～假設6 都成立，且則對于任意ε＞0，由式（3）定義的面板數據中方差的共同變點估計量τ0滿足

2 結果的證明

定理1的證明當面板數據模型（1）中存在方差共同變點k0時，可知

3 面板數據中方差多變點的估計步驟

若模型（1）中存在m個變點，且變點個數m已知，則模型（1）轉化為

再結合二元分割法將上述方法推廣到多變點的情形，則模型（10）中的方差多變點估計具體步驟如下:

第一步：利用式（4）估計出第一個變點；

第二步：在處將整個面板數據一分為二，得到兩個子樣本，第一部分為Yi1,Yi2,…,Yi，第二部分為Yi,+1,Yi,+2,…,YiT，i=1,2,…,N，再利用式（4）分別估計這兩個部分的變點

第三步：在前一部分面板數據中計算出

第四步：在后一部分面板數據中計算出

第五步：比較的大小，若

第六步：將進行排序，然后基于這兩個變點將整個面板分成三個部分，類似第二、三、四步估計出第三個變點，重復使用上述方法，直至估計出m個變點。

4 數值模擬

應用MATLAB 軟件，通過蒙特卡洛模擬研究調節參數γ的取值對面板數據中方差的共同變點估計精確度的影響。對于模型（1），簡單起見，只考慮一個變點的情形，令ui=1，ηit～N(0,1)，σi1=0.1，σi2=0.2，這里方差跳躍度并不大。

首先，研究觀察時長較短時的情況，取T=10，變點位置在端點附近及中間位置時，不同的截面個體數量（N=10、20、50、80、100、150、200、250、300）情況下，調節參數γ的取值對面板數據中方差的共同變點估計精確度的影響，MATLAB 模擬10000次。圖1和圖2分別展示了變點位置為k0=2和k0=9時，調節參數γ的取值對面板數據中方差的共同變點估計精確度的影響。γ=0表示無調節參數，這里“精確度”指的是數值模擬中變點估計量包含真實變點的頻率，模擬結果表明調節參數（γ≠0）下CUSUM 型估計量的精確度高于無調節參數（γ=0）下CUSUM 型估計量的精確度，并且隨著截面個體數量N的增加，精確度會大幅度上升。圖3展示了變點位置在中間時（k0=5），調節參數γ的取值對面板數據中方差的共同變點估計精確度的影響，模擬結果表明調節參數（γ≠0）下CUSUM 型估計量的精確度與無調節參數（γ=0）下CUSUM 型估計量的精確度幾乎相當，并且隨著截面個體數量N的增加，精確度會大幅度上升，當N=150 時，調節參數（γ≠0）下CUSUM型估計量的精確度與無調節參數（γ=0）下CUSUM型估計量的精確度幾乎都達到100%.

圖1 不同的調節參數γ下CUSUM型估計量的精確度（T=10，左端變點k0=2）

圖2 不同的調節參數γ下CUSUM型估計量的精確度（T=10，右端變點k0=9）

圖3 不同的調節參數γ下CUSUM型估計量的精確度（T=10，中間變點k0=5）

其次，研究觀察時長較長時的情況，取T=50，變點位置在端點附近及中間位置時，不同的截面個體數量（N=10、20、50、80、100、150、200、250、300）情況下，調節參數γ的取值對面板數據中方差的共同變點估計精確度的影響，MATLAB模擬10000次。圖4和圖5分別展示了變點位置為k0=2和k0=T-1時,調節參數γ的取值對面板數據中方差的共同變點估計精確度的影響，模擬結果表明調節參數（γ≠0）下CUSUM型估計量的精確度明顯高于無調節參數（γ=0）下CUSUM 型估計量的精確度。圖6 展示了變點位置在中間時（k0=T/2），調節參數γ的取值對面板數據中方差的共同變點估計精確度的影響，模擬結果表明調節參數（γ≠0）下CUSUM 型估計量的精確度與無調節參數（γ=0）下CUSUM 型估計量的精確度幾乎相當，并且隨著截面個體數量N的增加，精確度會大幅度上升，當N=100時，調節參數（γ≠0）下CUSUM型估計量的精確度與無調節參數（γ=0）下CUSUM型估計量的精確度幾乎都達到100%.

圖4 不同的調節參數γ下CUSUM型估計量的精確度（T=50，左端變點k0=2）

圖5 不同的調節參數γ下CUSUM型估計量的精確度（T=50，右端變點k0=T -1）

圖6 不同的調節參數γ下CUSUM型估計量的精確度（T=50，中間變點k0=T/2）

圖7 10個國家的貨幣兌換人民幣的外匯月度匯率數據圖

綜合分析，無論變點位置在中間還是端點附近時，調節參數（γ≠0）下CUSUM 型估計量都會有非常好的表現，這與前面的理論結果也相吻合。

5 實證分析

文章選取2018 年1 月—2022 年12 月10 個國家的貨幣（澳大利亞元（AUD）、加拿大元（CAD）、瑞士法郎（CHF）、歐元（EUR）、英鎊（GBP）、美元（USD）、新西蘭元（NZD）、新加坡元（SGD）、巴西雷亞爾（BRL）、波蘭茲羅提（PLN））兌換人民幣（CNY）的外匯月度匯率數據（數據來源于https://cn.investing.com/currencies/），共有10 個不同的截面個體，每個截面個體含有60 個歷史數據，即N=10，T=60，首先對選取的數據進行去均值化處理，然后采用不同調節參數（γ=0.1,0.25,0.5,0.75,0.9）情況下CUSUM 型估計量的方法估計變點，估計的變點位置都是46，對應的實際時間是2021 年10 月。造成這種現象的原因主要是2021 年8 月國際貨幣基金組織（IMF）批準了史上規模最大的一輪新增特別提款權（SDR）分配計劃。結合二元分割法，該變點將2018年1 月—2022 年12 月外匯匯率數據一分為二，采用上述方法分別對2018 年1 月—2021 年10 月和2021 年11 月—2022年12月數據進行變點估計。得到的變點位置為7（前一部分）和10（后一部分），對應的實際時間分別是2018年7月和2022年8月，前一部分變點出現主要與2018年6月美聯儲的加息政策以及央行的降準政策有關。后一部分變點出現主要與2022年8月美聯儲的加息政策以及國內經濟復蘇緩慢有關。

6 結論

文章通過調節參數對面板數據中方差的共同變點提出了一個改進的CUSUM 型估計量，研究調節參數對面板數據中方差的共同變點估計效果的影響，并結合二元分割法將其推廣到多個方差共同變點的情形。模擬結果表明調節參數對面板數據中方差的共同變點估計有顯著影響，同時發現此方法不僅適合樣本小的面板數據，也適合樣本大的面板數據，豐富了面板數據中方差的共同變點估計的研究方法。