Riesz模范疇的完備性和余完備性

李丹陽，湯建鋼，2

（1.伊犁師范大學 數學與統計學院，新疆 伊寧 835000；2.伊犁師范大學 應用數學研究所，新疆 伊寧 835000）

自Birkhoff提出格序群［1］概念以來，序代數理論得到迅猛發展，Birkhoff等人研究了格序群的一般結構和分解理論，并將格序結構引入到環上，提出了格序環的相關概念［2］。Riesz將格序結構引入到向量空間，形成了Riesz空間的一些基礎理論［3］。模作為域上線性空間概念的推廣，已經成為當代重要的代數結構之一。崔曉宇等人在戴天佑研究的基礎上將Riesz空間推廣到左R-模上，定義了Riesz模的概念，討論了左R-模上Riesz空間的相關性質，為左R-模上Riesz空間理論的研究奠定了基礎［4-5］。孫銳娟等人在格序群、格序環以及格序結構Riesz空間概念的基礎上，研究了左R-模上Riesz空間的同態與同構的相關性質［6］。劉曉芳等人在Riesz模范疇概念的基礎上，研究了Riesz模簇的直積與直和，并對其相關性質進行了證明［7］。

范疇論是以抽象的方式處理數學結構并研究不同結構之間的聯系而成為一個重要的現代數學基礎理論。范疇的完備性和余完備性是兩個重要的性質，張娟娟等人證明了Ω-左R-模范疇是完備的［10］，耿俊等人證明了Ω-Cat范疇是完備的［11］，徐曉泉證明了完全分配格范疇具有完備性和余完備性［13］?；谝陨涎芯勘尘?，文章討論了Riesz模范疇中的乘積和余積、等值子和余等值子，進而證明了Riesz模范疇具有完備性和余完備性。

1 預備知識

定義1［9］設L為一個偏序集，如果對任意的a,b∈L，sup{a,b}與inf{a,b}均存在且都在L中，則稱偏序集L是一個格，分別用a∨b與a∧b表示sup{a,b}與inf{a,b}，并且用四元序(L,≤,∨,∧)表示格，簡記為(L,≤).

定義2［5］設(G,+)是一個Abel群，如果(G,+,≤)是一個格，且滿足相容性條件，即對任意的a,b,c∈G，a≤b?a+c≤b+c，則稱(G,+,≤)是一個Abel格序群，簡稱Abell-群。

定義3［5］設(R,+,·)是一個具有單位元的環，如果(R,+,·,≤)是一個格，且滿足下列相容性條件，即對任意的r,s,t∈R:

（1）r≤s?t+r≤t+s；

（2）0 ≤r,0 ≤s?0 ≤rs；則稱(R,+,·,≤)是一個格序環，簡稱l-環。

定義4［6］設M是左R-模，如果(R,+,·,≤)是具有單位元的l-環，(M,+,≤)是Abell-群，且滿足下列相容性條件，即對任意的m,n,p∈M，r∈R:

（1）m≤n?p+m≤p+n；

（2）0 ≤r,0 ≤m?0 ≤rm；則稱(M,+,≤)是一個格序左R-模，簡稱Riesz模。

定義5［6］設(M,+,≤)是Riesz模，N是M的子集，并且(N,+)是(M,+)的子模，(N,≤)是(M,≤)的子格，并且R+N+?N+，則稱(N,+,≤)是(M,+,≤)的一個子Riesz模。

定義6［7］設M，M'都是左R-模，f:M→M'是映射，若對任意的r∈R，m,n∈M有

成立，則稱f是R模同態，簡稱R同態。

定義7［9］設P、Q都是格，f:P→Q是映射，若對任意的x,y∈P有

成立，則稱f是格同態。

定義8［5］設(M,+,≤)、(N,+,≤)均為Riesz模，f:M→N是映射，若f既是R模同態，又是格同態，則稱f是Riesz模同態，記作f:(M,+,≤) →(N,+,≤).

定義9［7］Riesz模構成的范疇定義為:

（1）對象類ob()為全體Riesz模；

（2）對任意的(M,+,≤),(N,+,≤) ∈ob()，Hom((M,+,≤),(N,+,≤))={f|f:(M,+,≤)到(N,+,≤)的一個Riesz模同態}；

（3）若(M,+,≤),(N,+,≤),(P,+,≤) ∈ob()，f∈Hom((M,+,≤),(N,+,≤))，g∈Hom((N,+,≤)，(P,+,≤))，態射的復合gf∈Hom((M,+,≤),(P,+,≤))為同態的復合；

（4）對任 意的(M,+,≤) ∈ob()，單位態射為1M∈Hom((M,+,≤),(M,+,≤))，并且對任意的f∈Hom((M,+,≤),(N,+,≤))，g∈Hom((P,+,≤),(M,+,≤))，有f1M=f，1Mg=g.

定義10［14］設C是一個范疇，{Mi|i∈I}是C中的一簇對象，C中的對象M叫作{Mi|i∈I}的乘積，如果:

（1）對任意的i∈I，存在態射pi:M→Mi；

（2）對任意對象N∈C，若存在態射qi:N→Mi,i∈I，則存在唯一的態射α:N→M使得圖1可交換。

圖1 乘積的定義示意圖

定義11［14］設C是一個范疇，{Mi|i∈I}是C中的一簇對象，C中的對象L叫作{Mi|i∈I}的余積，如果:

（1）對任意的i∈I，存在態射qi:Mi→L；

（2）對任意對象N∈C，若存在態射pi:Mi→N,i∈I，則存在唯一的態射β:L→N使得圖2可交換。

圖2 余積的定義示意圖

定理1如果(M,{pi}i∈I)和(M',{}i∈I)都是范疇C的對象簇{Mi|i∈I}的乘積，則M和M'是同構的。

證明由于M和M'都是范疇C中{Mi|i∈I}的乘積，那么對任意的i∈I，存在態射pi:M→Mi及:M'→Mi，又因為M和M'都是乘積，所以存在態射f:M'→M及g:M→M'使得圖3可交換，故對任意的i∈I有，由i的任意性可知gf=1M'，同理可知fg=1M，所以M和M'是同構的。

圖3 乘積同構示意圖

定理2如果都是范疇C的對象簇{Mi|i∈I}的余積，則L和L'是同構的。

注:定理1和定理2說明范疇的乘積或者余積如果存在，則在同構意義下均是唯一的。

定義12［14］設f，g:M→N是一對平行態射，如果態射e:E→M滿足:

（1）fe=ge；

（2）對任意的態射e':E' →M滿足fe'=ge'，存在唯一的態射h:E' →E使得e'=eh成立（圖4），則稱e:E→M是f,g:M→N的等值子。

圖4 等值子的定義示意圖

定義13［14］設f,g:M→N是一對平行態射，如果態射q:N→L滿足:

（1）qf=qg；

（2）對任意的態射q':N→L'滿足q'f=q'g，存在唯一的態射π:L→L'使得q'=πq成立（圖5），則稱q:N→L是f,g:M→N的余等值子。

圖5 余等值子的定義示意圖

圖6 Riesz模范疇中乘積示意圖

圖7 Riesz模范疇中余積示意圖

圖8 Riesz模范疇中等值子示意圖

圖9 Riesz模范疇中余等值子示意圖

引理1［14］設C是一個任意范疇，則C是完備的當且僅當存在乘積和等值子。

引理2［14］設C是一個任意范疇，則C是余完備的當且僅當存在余積和余等值子。

2 主要結果

下面討論Riesz模范疇中的乘積與余積。

引理3設{(Mi,+,≤)|i∈I}是范疇中的一簇Riesz模，這里的指標集I是任意的，記(M,+,≤)=Π(Mi,+,≤)是Riesz模簇的笛卡爾積，其中(M,+,≤)中的元素表示為{mi|mi∈Mi}i∈I，在該集合中規定:對任意的{mi }，{m'i}∈(M,+,≤)，r ∈(R,+,·,≤)有

則

（1）(M,+,≤)是一個Riesz模；

（2）投影pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)，pj({mi})=mj是Riesz模滿同態。

證明（1）由模論可知，(M,+,≤)是一個左R-模。又由于{mi}∧{}={mi∧}以及{mi}∨{}={mi∨}，故(M,+,≤)可以構成一個格。并且對任意的{ni}∈(M,+,≤)，若{mi}≤{}，r≥0，那么有

故相容關系成立，由此可得(M,+,≤)是一個Riesz模。

（2）投影pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)，pj({mi})=mj，顯然pj是滿射，對任意的{mi}，{}∈(M,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

由此可得，投影pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)是Riesz模滿同態。

定理3設{(Mi,+,≤)}i∈I是范疇中的一簇Riesz模，作{(Mi,+,≤)}i∈I的笛卡爾積(M,+,≤)=Π(Mi,+,≤)，則{pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)|j∈I}是對象簇{(Mi,+,≤)}的乘積。

證明設對任意的Riesz模(N,+,≤) ∈ob()，且存在Riesz模同態qj:(N,+,≤) →(Mj,+,≤)，定義α:(N,+,≤) →(M,+,≤)，其中?n∈(N,+,≤)，α(n)={qi(n)}i∈I.易知α是一個映射，以下證明α是Riesz模同態:對任意的x,y∈(N,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

故α是Riesz模同態。并且對任意的n∈(N,+,≤)，pjα(n)=pj{qi(n)}=qj(n)，故由n的任意性可得pjα=qj成立。又由于乘積在同構意義下是唯一的，所以{pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)|j∈I}是對象簇{(Mi,+,≤)}i∈I的乘積。

引理4設{(Mi,+,≤)|i∈I}是范疇中的一簇Riesz模，這里的指標集I是任意的，記(L,+,≤)=⊕(Mi,+,≤)={{mi}∈⊕(Mi,+,≤)|{mi} 中只有有限個mi≠0 }，在該集合中規定:對任意的{mi}，{}∈(L,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

則

（1）(L,+,≤)是一個Riesz模；

（2）嵌入qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)，qj(mj)={mjδij}是Riesz模單同態，其中

證明（1）由模論可知，(L,+,≤)是一個左R-模。又由于，故(L,+,≤)可以構成一個格，并且對任意的{ni}∈(L,+,≤)，若{mi}≤{}，r≥0，那么有

故相容關系成立，由此可得(L,+,≤)是一個Riesz模。

（2）嵌 入qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)，qj(mj)={mjδij}，顯 然qj是單射，對任意的r∈(R,+,·,≤)有

由此可得，嵌入qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)是Riesz模單同態。

定理4設{(Mi,+,≤)}i∈I是范疇中的一簇Riesz模，作{(Mi,+,≤)}i∈I的直和(L,+,≤)=⊕(Mi,+,≤)，則{qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)|i∈I}是對象簇{(Mi,+,≤)}i∈I的余積。

證明設對任意的Riesz模(N,+,≤) ∈ob()，且存在Riesz模同態pj:(Mj,+,≤) →(N,+,≤)，定義β:(L,+,≤) →(N,+,≤)，其中?{mi}∈(L,+,≤)，β({mi})=∑pi(mi).因為{ }mi中只有有限個mi≠0，所以∑pi(mi) 有意義，故β是(L,+,≤) 到(N,+,≤) 的一個映射。下 證β是Riesz模同態:對任意的{mi},{}∈(L,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

故β是Riesz模同態。并且對任意的mj∈(Mj,+,≤)，βqj(mj)=β({mjδij})=pj(mj)，故由mj的任意性有βqj=pj成立。又由于余積在同構意義下是唯一的，所以{qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)|j∈I}是對象簇{(Mi,+,≤)}i∈I的余積。

下面討論Riesz模范疇中的等值子和余等值子。

引理5設f,g:(M,+,≤) →(N,+,≤) ∈Mor()，令E={m∈M|f(m)=g(m)}，則

（1）(E,+,≤)是(M,+,≤)的子Riesz模；

（2）嵌入映射e:(E,+,≤) →(M,+,≤)是Riesz模同態。

證明（1）對于0 ∈(M,+,≤)有f(0)=g(0)，所以0 ∈(E,+,≤)，顯然?≠E?M，即E是M的非空子集；因為f,g∈Mor()，故對任意的m1,m2∈(E,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

成立，故m1∧m2，m1∨m2∈(E,+,≤)，所以(E,+,≤)是(M,+,≤)的子格。又對任意的p∈(E,+,≤)，若m1≤m2，r≥0，那么p+m1≤p+m2且rm1≥0 成立，故相容關系成立，由此可得，(E,+,≤)是(M,+,≤)的子Riesz模。

（2）因為(E,+,≤)是(M,+,≤)的子Riesz模，所以在Riesz模范疇中，嵌入映射e:(E,+,≤) →(M,+,≤)是Riesz模同態。

定理5設f，g:(M,+,≤) →(N,+,≤)是Riesz模范疇中的一對平行態射，令E={m∈M|f(m)=g(m)}是(M,+,≤)的子Riesz模，則包含態射e:(E,+,≤) →(M,+,≤)]是平行態射的等值子。

證明（1）fe=ge顯然成立；

（2）存在性:設(E',+,≤)是一個Riesz模，且存在Riesz模同態e':(E',+,≤) →(M,+,≤)滿足fe'=ge'.

定義函數h:(E',+,≤) →(E,+,≤)，其中對任意的x∈(E',+,≤)，h(x)=e'(x).因為fe'(x)=ge'(x)，所以e'(x) ∈(E,+,≤)，那么有e(h(x))=e(e'(x))=e'(x)成立。由于態射e'是Riesz模同態，即e'既是R模同態又是格同態，故對任意的x,y∈(E',+,≤)，r∈(R,+,·,≤):

所以，h是Riesz模同態。

唯一性:設h':(E',+,≤) →(E,+,≤)也是Riesz模同態，且eh'=e'，那么對任意的x∈(E,+,≤)，由于e(h(x))=e(e'(x))=e'(x)，故有e(h'(x))=h'(x)成立，又由eh'=e'有e(h'(x))=e'(x)，所以

故由x的任意性可知h'=h，所以e:(E,+,≤) →(M,+,≤)是平行態射f與g的等值子。

定義14設θ是Riesz模(M,+,≤)上的一個等價關系，若(M,+,≤)中的元素m與n具有關系θ，則記作m≡n(modθ).如果對任意的m,n,p,q∈(M,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)，當m≡p(modθ)，n≡q(modθ)成立時，有

則稱θ是Riesz模(M,+,≤)上的同余關系，稱(M/θ,+,≤)={θ(m)|m∈M}為(M,+,≤)關于同余關系θ的商集。若定義映射q:(M,+,≤) →(M/θ,+,≤)滿足q(m)=θ(m)，即把(M,+,≤)中的元素m映射到m的等價類θ(m)，這樣的映射稱為自然映射。

引理6Riesz模(M,+,≤)上的任意多個同余關系的交仍為同余關系。

證明設{θi|i∈I}為Riesz模(M,+,≤)上的一簇同余關系，這里的指標集I是任意的。由θi是Riesz模(M,+,≤)上的等價關系可以驗證∩θi為等價關系。事實上，

①自反性:對任意的m∈(M,+,≤)有(m,m) ∈∩θi(i∈I)，故(m,m) ∈∩θi.

②對稱性:對任意的m,n∈(M,+,≤)，若(m,n) ∈∩θi，則對任意的θi(i∈I)有(m,n) ∈θi，從而(n,m) ∈θi，所以(n,m) ∈∩θi.

③傳遞性:對任意的m,n,p∈(M,+,≤)，若(m,n) ∈∩θi，(n,p) ∈∩θi，則對任意的θi(i∈I)有(m,n) ∈θi，(n,p) ∈θi，從而(m,p) ∈θi，所以(m,p) ∈∩θi.

以下證明θi是Riesz模(M,+,≤)上的同余關系:對任意的m,n,p,q∈(M,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)，若(m,p) ∈∩θi，(n,q) ∈∩θi，則對任意的θi(i∈I)均有(m,p) ∈θi，(n,q)∈θi，所以有

從而

所以∩θi是Riesz模(M,+,≤)上的同余關系。

引理6設θ是Riesz模(N,+,≤) 中 的Riesz模同余關系，在Riesz模(N,+,≤) 關 于θ的 商N/θ={θ(n)|n∈N}中規定:對任意的n1,n2∈(N,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

則

（1）N/θ,+,≤)是一個Riesz模；

（2）自然映射q:(N,+,≤) →(N/θ,+,≤)是Riesz模同態。

證明（1）首先證明“運算與代表元的選取無關”。對任意的滿足，即那么由

可知，該運算與代表元的選取無關。

其次證明(N/θ,+,≤)是一個Abell-群:

①結合律:對?θ(n1),θ(n2),θ(n3) ∈(N/θ,+,≤)，滿足

②單位元:對?θ(n) ∈(N/θ,+,≤)，存在θ(0) ∈(N/θ,+,≤)使得θ(n)+θ(0)=θ(n+0)=θ(n)，故單位元存在。

③逆元:對?θ(n) ∈(N/θ,+,≤)，存在θ(-n) ∈(N/θ,+,≤)使得θ(n)+θ(-n)=θ(n-n)=θ(0)，故逆元存在。

④交換律:對?θ(n1),θ(n2) ∈(N/θ,+,≤)，滿足

⑤相容性:對?θ(n1),θ(n2),θ(p) ∈(N/θ,+,≤)，θ(n1)≤θ(n2)有θ(p)+θ(n1)=θ(p+n1)≤θ(p+n2)=θ(p)+θ(n2)，故滿足相容性條件。

以下證明(N/θ,+,≤)是一個Riesz模。由模論可知(N/θ,+,≤)是一個左R-模。事實上，N/θ={θ(n)|n∈N}是一個Abel群，且滿足以下性質:

①?r∈(R,+,·,≤)，?θ(n) ∈(N/θ,+,≤)有:rθ(n)=θ(rn) ∈(N/θ,+,≤)；

②?r1,r2,r∈(R,+,·,≤)，?θ(n1),θ(n2),θ(n) ∈(N/θ,+,≤)有

③?r1,r2∈(R,+,·,≤)，?θ(n) ∈(N/θ,+,≤)有

又由于對任意的θ(n1),θ(n2),θ(n3) ∈(N/θ,+,≤)滿足:

①冪等律:θ(n1) ∧θ(n1)=θ(n1∧n1)=θ(n1)，θ(n1) ∨θ(n1)=θ(n1∨n1)=θ(n1)

②交換律:θ(n1) ∧θ(n2)=θ(n1∧n2)=θ(n2∧n1)=θ(n2) ∧θ(n1)

③結合律:θ(n1) ∧(θ(n2) ∧θ(n3))=θ(n1) ∧(θ(n2∧n3))=θ(n1∧(n2∧n3))=θ((n1∧n2) ∧n3))=θ(n1∧n2) ∧θ(n3)=(θ(n1) ∧θ(n2)) ∧θ(n3)

④吸收律:θ(n1) ∨(θ(n1) ∧θ(n2))=θ(n1) ∨(θ(n1∧n2))=θ(n1∨(n1∧n2))=θ(n1)

所以(N/θ,+,≤)是一個格。又對任意的θ(p)∈(N/θ,+,≤)，若θ(n1)≤θ(n2)，r≥0，那么有

故相容關系成立，由此可得(N/θ,+,≤)是一個Riesz模。

（2）自然映射q:(N,+,≤) →(N/θ,+,≤)，q(n)=θ(n)，?n∈(N,+,≤).對任意的n1,n2∈(N,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

成立，由此可得，q是Riesz模同態。

定義15設(M,+,≤)是一個Riesz模，R?M×M是M上的一個二元關系，令=∩{θ|R?θ，θ是M上的同余關系}，根據引理6，是(M,+,≤)上的同余關系，稱為由R生成的最小同余關系。

定理6設f,g:(M,+,≤) →(N,+,≤)是Riesz模范疇中的一對平行態射，θ是Riesz模(N,+,≤)上包含{(f(m),g(m))|m∈M}的最小同余關系，則自然商同態q:(N,+,≤) →(N/θ,+,≤)是平行態射的余等值子且q(n)=θ(n).

證明（1）根據引理6，因為(N/θ,+,≤)是Riesz商模(N/θ,+,≤)={θ(n)|n∈N}，其中θ(n)是n的同余類，所以對任意的m∈(M,+,≤)，有q(f(m))=θ(f(m))，q(g(m))=θ(g(m))，又由于(f(m),g(m)) ∈θ，所以θ(f(m))=θ(g(m))，故q(f(m))=q(g(m))，則由m的任意性可知qf=qg成立。

（2）存在性:設(L,+,≤)是Riesz模，并且存在Riesz模同態q':(N,+,≤) →(L,+,≤)使得q'f=q'g.定義π:(N/θ,+,≤) →(L,+,≤)，其中?n∈(N,+,≤)，π(θ(n))=q'(n)，那么π(q(n))=π(θ(n))=q'(n).因為對任意的n，n'∈(N,+,≤)，若n=n'，則有q'(n)=q(n')成立，那么對任意的θ(n)，θ(n')∈(N/θ,+,≤)，若θ(n)=θ(n')，則π(θ(n))=q'(n)=q'(n')=π(θ(n'))，所以π是映射。以下證明π是Riesz模同態。

首先對任意的x,y∈(N,+,≤)，r∈(R,+,·,≤):有

故θ是Riesz模同態。

唯一性:假設存在π':(N/θ,+,≤) →(L,+,≤)使得π'q=q'，由于對?n∈(N,+,≤)有q(n)=θ(n)且π(θ(n))=q'(n)，則有π(q(n))=π(θ(n))=q'(n).因此

即π'(q(n))=π(q(n))，由n的任意性可知，π'=π.

綜上可知，存在唯一的態射π:(N/θ,+,≤) →(L,+,≤)使得q'=πq成立，所以q:(N,+,≤) →(N/θ,+,≤)是平行態射的余等值子。

定理7Riesz模范疇是完備范疇。

證明由定理3和定理5可知，Riesz模范疇存在乘積和等值子，故由引理1可知，Riesz模范疇是完備范疇。

定理8Riesz模范疇是余完備范疇。

證明由定理4和定理6可知，Riesz模范疇存在余積和余等值子，故由引理2可知，Riesz模范疇是余完備范疇。