抓取機械臂的強度分析和優化設計

劉志海，田紹魯，代振銳，高 龍

（1.山東科技大學交通學院，山東 青島 266590；2.山東科技大學機械電子工程學院，山東 青島 266590）

1 引言

隨著我國科技和教育事業的發展，越來越多的高校開展了和機器人相關的課程，傳統的大型機器人帶入課堂顯然不太現實，這就促進了功能多樣，體積適中的小型機器人的發展，而且此類機器人中以小型機械臂為主。為了避免因機械臂導致的安全事故，減少能源消耗，提高運行速度，對機械臂結構的分析和優化十分重要。

目前，針對機械機構的分析和優化主要采用有限元方法和拓撲優化方法。文獻［1-2］運用有限元方法分別對礦用自卸車的貨箱底板和驅動橋殼進行了力學分析，并對其結構參數進行優化得到質量更輕、性能優越的結構。文獻［3-4］運用ANSYS軟件分別對探測機器人的機械臂和煤炭取樣機械臂的結構進行了分析優化，使其在滿足強度剛度的前提下，質量更輕、承載能力更強。文獻［5-6］采用有限元方法分別對立式加工中心和龍門加工中心的動靜態特性進行分析，并建立響應面模型進行多目標優化，在降低變形量和提高固有頻率的同時減輕了重量。文獻［7］采用響應面法以質量、強度和固有頻率為目標對振動式分選機的關鍵參數進行優化，降低了質量和應力并提高了三階固有頻率。文獻［8］針對多目標拓撲優化問題，提出了一種新的優化方法，并用此方法對汽車懸架控制臂的結構進行優化設計，結果表明，優化后的控制臂質量更輕，性能更好。文獻［9］運用NX軟件對電動客車座椅支架進行有限元分析并基于結果進行變密度法的拓撲優化設計，優化后的結構質量更輕，應力集中和變形現象減小，實現了輕量化設計。

綜合上述等人對機械結構的優化分析方法，為了避免發生安全事故、減少能源消耗和提高運行速度，以DOBOT Magician機器人的機械臂為研究對象，如圖1所示。運用靜力學分析方法、疲勞分析、靈敏度分析方法、響應面優化方法和拓撲優化方法對小臂結構進行優化設計。具體實施方法如下，建立小臂參數化模型，運用有限元軟件Workbench對三組小臂模型進行靜力學分析以確定危險工況，然后對危險工況下的小臂的結構參數進行靈敏度分析?；诜治?，建立響應面模型對其結構參數進行優化，然后對優化后的結構進行拓撲優化得到最終的優化模型。最后，對優化模型和原始模型的變形、受力和疲勞情況進行對比，結果表明優化后的結構擁有更好的性能和更輕的質量。

圖1 DOBOT Magician機械手Fig.1 DOBOT Magician Manipulator

2 Magician小臂的優化流程

桌用機械臂對精度和質量要求較高，因此提出了一種全面的優化設計方案，并運用Workbench實現對小臂模型的結構分析和優化設計，流程圖，如圖2所示。

圖2 機械臂分析流程Fig.2 Robotic Arm Analysis Flow

3 Magician小臂的優化過程

3.1 Magician小臂有限元模型建立

DOBOT Magician小臂的材質為做T4時效處理的鎂鋁6061，其機械性能，如表1 所示。DOBOT Magician 的荷載量為1kg，有限元模型，如圖3所示。

表1 6061-T4的機械性能Tab.1 Mechanical Properties of 6061-T4

圖3 DOBOT Magician小臂有限元模型Fig.3 Finite Element Model of DOBOT Magician Forearm

3.2 結構分析

對于線性靜態結構，位移｛X｝可以由下面的矩陣方程求出：

式中：［K］—一個常量矩陣；

｛F｝—加在模型上的恒定的不受慣性影響的力［10］。

設置三種工況互為對照以確定危險工況所在位置，三種工況分別是：30°位置、60°位置和90°位置。施加約束和外力后，三種工況的變形云圖和應力云圖，如圖4、圖5所示。彎曲剛度結果，如表2所示。

表2 各工況剛度Tab.2 Stiffness of Each Working Condition

圖4 變形云圖Fig.4 Deformation Cloud Diagram

圖5 應力云圖Fig.5 Stress Nephogram

從圖4、圖5可以看出，隨著角度的增大，模型的變形和應力也在增大，所以90°位置是機械臂工作的危險工況，以此工況為對象，進行疲勞分析研究，安全系數和疲勞敏感結果，如圖6所示。從圖6可以看出，結構的安全系數幾乎全部為15（最大值），而且直到交變載荷幅值擴大到12倍時才出現循環次數下降的現象。從三種分析的結果可以看出機械臂的結構有很大設計余量，適合對其做輕量化設計。

圖6 疲勞分析Fig.6 Fatigue Analysis

3.3 靈敏度分析

本次優化采用基于Spearman秩相關系數的靈敏度分析。其中Spearman 秩相關系數是衡量兩個變量之間相關性大小的指標，該系數的值在1到-1之間，當兩個變量呈現完全單調關系時，該系數的絕對值為1。在一個樣本數為n的樣本中，其Spearman秩相關系數為［11］：

式中：ρ—Spearman秩相關系數；x、y—需要求相關性的兩個變量；n—樣本數量、—變量的均值。ρ的正負代表了兩個變量之間的正反比關系，而|ρ|則代表了兩個參數之間的相關程度，即靈敏度［12］。

對機器人小臂進行靈敏度分析，主要分析的是小臂結構響應Y和小臂結構參數X之間的相關性情況。將結構最大變形、最大應力和總質量作為結構響應，將機械臂的主要參數作為結構變量，其中結構變量包含小臂的壁厚P9以及和P9相關聯的變量P1、P3、P4，減重槽的寬度P5，減重槽長度P6，減重槽的位置參數P7和P8，各參數的變化范圍，如表3所示。將響應和變量所包含的參數兩兩相組，組成數據對，對每對數據，利用式（2）求得其Spearman秩相關系數。

表3 DOBOT Magician小臂設計參數Tab.3 DOBOT Magician Design Parameters

分析的結果，如圖7所示。其中，P10為質量，P11為變形，P12為應力。觀察秩相關系數圖可以知道，參數P6和參數P9對變形和質量的影響較大，因此以P6和P9作為優化參數進行后續研究。

圖7 輸入輸出參數的Spearman秩相關系數Fig.7 Spearman Rank Correlation Coefficient of Input and Output Parameters

3.4 小臂結構的響應面優化

響應面分析法，即響應曲面設計方法（Response Surface Meth‐odology，RSM），是一種對數據進行擬合的數學模型，它通過一定的實驗方法得到一定的數據，然后采用回歸方程來擬合結構參數和結構響應值之間的函數關系，并從結構參數中選取最優值，使響應最優化。工程上常使用的是二階響應面模型，對于n個變量，二階響應模型為［13］：

式中：x—設計變量；a0、ai、aii、aij—擬合系數。

運用CCD（Central Composite Design）法進行實驗設計，計算得到各實驗點數據后，采用二階響應面模型，對輸入參數P6和P9以及輸出參數質量、變形和應力進行分析。響應面分析結果，如圖8所示。

圖8 質量（a）、變形（b）、應力（c）的響應面分析圖Fig.8 Response Surface Analysis of Mass（a），Deformation（b）and Stress（c）

對實驗數據進行擬合，建立的完全二次多項式模型如下：

針對多個優化目標和優化參數的問題，綜合考慮后，在上述響應面分析的基礎上，采用多目標遺傳算法（Multi-Objective Ge‐netic Algorithm，MOGA）進行進一步優化設計。其中，遺傳算法是一種通過模擬自然選擇、變異和遺傳這一進化過程來搜索最優解的方法。以質量P10、最大變形量P11、最大應力值P12為目標函數，以減重槽長度P（6這里取為x1）和壁厚P（9這里取為x2）為設計變量，其數學模型如下：

式中：x—設計變量；

xil—設計變量的下限值；

xih—設計變量的上限值，上下限值，如表3所示；

m(x)—隨設計變量變化的小臂質量；

δmax(x)—隨設計變量變化的最大變形量；

σmax(x)—隨設計變量變化的最大應力值。

計算得到候選結構及初始結構參數，如表4所示。對比三個候選點的參數，可以看出候選點1的質量最輕，候選點3的變形最小和最大應力值也最小，三個點的最大變形量和最大應力值均大于優化前的小臂，為保證機械臂使用安全性，選取候選點三的參數進行拓撲優化。

表4 候選結構及初始結構數據Tab.4 Candidate Structure and Initial Structure Data

3.5 小臂結構的拓撲優化

拓撲優化是一種在給定的載荷、約束等參數前提下搜索材料最優分布的方法，拓撲優化的優化方法有很多，采用變密度法對小臂結構進行拓撲優化，該方法通過不斷地迭代計算，最終得到各單元對力傳導的影響情況，保留對結構受力有用的單元，而刪除沒用的單元［14］。其數學模型如下：

式中：xi—設計變量，代表結構單元的相對密度，取值在［xmin，1］之間，當取xmin時表示刪除該單元，取1時表示保留該單元，為避免總剛度矩陣奇異，取xmin=0.001［14］；n為設計變量個數，即單元個數；K—結構總剛度陣；U—結構的位移向量；F—結構所受的外力向量；V—結構的體積；V*—優化后體積的上限值。

小臂的拓撲優化的結果及改進結構，如圖9所示。

圖9 拓撲優化結果及改進結構Fig.9 Topology Optimization Results and Improved Structure

圖9中部分色區域為可去除的冗余區域，灰色區域是需要保留的必要部分，綜合上述分析優化結果，對機械臂小臂結構進行改進。對圖示小臂結構進行應力分析、變形分析和疲勞分析結果，如圖10所示。其中，最大變形為0.0103mm，最大應力為4.46MPa，彎曲剛度為971N/mm，結構的安全系數全部為15，交變載荷幅值擴大到15倍時出現循環次數下降的現象。

圖10 優化后模型的分析結果Fig.10 Analysis Diagram of the Optimized Model

4 結論

提出了一種針對機械結構進行優化設計的方案流程，并利用該方案對Magician機械臂進行輕量化設計。優化前的機械臂小臂質量為117.71g，優化后質量為79.13g，質量降低了32.8%；優化前機械臂小臂的最大應力值為5.65MPa，優化后最大應力值為4.46MPa，最大應力值降低了21.1%；優化前小臂的最大變形量為0.0136mm，優化后為0.0103mm，最大變形減小了24.3%；優化前彎曲剛度為737N/mm，優化后為971N/mm，彎曲剛度增大了31.8%；針對疲勞問題，優化前后外載荷循環次數均能達到1e+8次，而且優化后的結構抗疲勞性能更好。設計過程在保障機械臂強度、剛度、疲勞等機械性能的前提下，去除了冗余部分，更加有效的利用了材料，優化了應力集中的現象，實現了機械臂的輕量化。同時，為其他桌用機械臂等類似的機械結構的設計和優化提供了理論依據和方案參考。