培養學生“數學理解力”的策略

唐榮芹

摘? ?要：在小學數學教學中，教師要引導學生經歷認知過程、認知聯結、認知遷移，促進學生對數學知識的“工具性理解”“關系性理解”和“創新性理解”，其過程與形式不是固化的，要遵循學生學習的認知規律?！袄斫庑浴苯虒W，能夠有效地提升學生的數學學習力，發展學生的數學學科核心素養。

關鍵詞：小學數學? ?數學理解? ?實踐性策略

學生的數學學習是一個認知、理解、應用的過程。其中，“理解”是一個中間過程，一方面是學生認知的結果，另一方面是學生應用的前提與條件。從認知主義視角來看，學生的數學理解就是一個對相關信息進行感知、接受、編碼的過程。在這個過程中，學生能對學習內容進行深度的表征與加工。

一、認知過程，促成學生“工具性理解”

在傳統的數學教學過程中，教師往往采用“掐頭去尾燒中段”的做法，關注數學知識的結論，忽略了知識的起源和應用。筆者認為，完整的知識學習過程應從知識的發生開始，讓學生對數學知識進行逐層建構與逐層抽象，即所謂的“一次建構”“二次建構”“一次抽象”“二次抽象”，引導學生經歷數學知識的認知過程，促進學生對數學知識的“工具性理解”?！肮ぞ咝岳斫狻笨梢苑譃閮蓚€層面：一是“表象性理解”，二是“解釋性理解”?！氨硐笮岳斫狻笔侵笇W生能陳述數學知識，能對數學知識進行表征，包括直觀表征、符號表征；“解釋性理解”是指學生能表達對數學知識的推導過程，能舉例驗證、解釋規則、識別錯誤，包括意義性表征、價值性表征等。

以教學蘇教版小學數學三年級上冊“分數的初步認識（一）”為例，該單元主要是引導學生從日常生活中“分東西”開始，讓學生逐步建構“分數”概念。在教學過程中，首先，筆者創設“平均分”的情境，引導學生分餅、分蘋果，并引導學生進行操作，用圓形、長方形、正方形、三角形等不同形狀的紙片代表不同形狀的餅，將之平均分成兩份，進而建構“[12]”這樣的一個分數，與“一半”“半個”等日常概念聯系起來。其次，引導學生思考：“為什么平均分的東西不同、每一份的形狀與大小也不同，卻表示相同的分數呢？”引導學生逐步建構“[13]”“[14]”等分數，讓學生深刻認識到“分數”的“分子”“分數線”“分母”表示的含義。最后，引導學生抽象、概括出一般性的“分數”概念。

二、認知聯結，促成學生“關系性理解”

建構主義認為，學生的數學學習是一種積極、主動、有意義的建構過程。所謂“建構”就是學生將數學新知識納入已有認知結構之中。因此，在建構知識的過程中，教師要促進學生的知識關聯，完善學生的自我認知結構。實踐證明，認知聯結有助于學生對數學知識的“關系性理解”。較之“工具性理解”，“關系性理解”更深入，要求學生不僅知道“做什么”“怎么做”，還知道“為什么這么做”，有助于促進學生對數學知識的遷移與應用。在“關系性理解”過程中，學生有兩方面的學習樣態：一是“同化”，二是“順應”。當新知識能順利納入學生原有認知結構之中時，學生就發生了積極的認知心理同化；當新知識不能順利納入學生原有認知結構之中時，學生原有認知結構就會發生改變，以便讓新知識納入其中，這就是“順應”。

以教學蘇教版小學數學三年級下冊“分數的初步認識（二）”為例，該單元主要是引導學生“平均分”由許多物體組成的整體。在教學過程中，筆者充分利用學生已有的知識經驗，即一個數的幾分之一（幾分之幾），引導學生建構“整體的幾分之一（幾分之幾）”，并讓學生自覺將“整體的幾分之一（幾分之幾）”與“一個物體的幾分之一（幾分之幾）”進行對比，深化學生對分數意義的認知，幫助學生理解“表征一個物體的分數”和“表征許多物體組成的整體的分數”的相同點。接著，筆者引導學生思考：“為什么平均分的總個數不同，卻表示相同的分數？為什么平均分的總數相同或每一份表示的個數相同，卻表示不同的分數？”從而通過正反的提問，讓學生對分數的意義進行辨析。

“關系性理解”能發展、完善學生的認知結構，讓學生原本不完整的認知結構變得完整。因此，在教學中，教師要引導學生自主建構、發展自我的認知結構，不僅要讓學生認識、理解“一個物體的幾分之一（幾分之幾）”，還要讓學生認識、理解“許多物體組成的整體的幾分之一（幾分之幾）”。只有這樣，學生才能真正建構完整的“分數意義”，從而將“一個物體”“一個計量單位”和“許多物體組成的整體”抽象、提煉、概括出“單位‘1’”?！瓣P系性理解”有助于讓學生形成“數學的眼光”和“數學的大腦”。

三、認知遷移，促成學生“創新性理解”

在“創新性理解”過程中，學生會積極主動地調動自我的認知經驗，對自我的認知經驗進行重組與遷移。創新不僅是學生深度認知的結果，還是學生數學學習的內在動力?！皠撔滦岳斫狻币环矫骐x不開學生的認知經驗，另一方面離不開教師的啟發、點撥與引領。學生對數學知識的“創新性理解”，是建立在學生對數學知識的“工具性理解”“關系性理解”基礎之上的?！皠撔滦岳斫狻北憩F為學生能有效地應用相關的數學知識解決問題，能積極主動遷移相關的數學知識，能深度調動已有的知識經驗，能形成對數學問題的解決策略等。

以教學蘇教版小學數學三年級下冊“分數的初步認識（二）”為例，在引導學生認識了“一個物體的幾分之一（幾分之幾）”以及“許多物體組成整體的幾分之一（幾分之幾）”之后，筆者對這兩個方面的內容進行對比、抽象、概括，建構“分數的意義”，也就是建構“單位‘1’的幾分之一（幾分之幾）”。同時，溝通分數與除法之間的聯系，促成學生對分數意義的“創新性理解”。比如，學生認識到“分數的分子也可以大于分母”“一個物體的幾分之幾相當于幾個物體的幾分之一”“平均分的份數和表示的份數同時擴大或縮小，分數的大小不變”，等等。創新性的數學理解不僅要對數學知識“知其然”，還要“知其所以然”。如針對“分數”這一概念的教學，教師要讓學生既理解“分數的定義”，又理解分數“商的定義”“比的定義”，進而幫助學生建立分數的“線段模型”“幾何載體”，理解分數的“數系擴張”。只有這樣，學生才能創造性地解決相關的分數問題，能對“求一個數是另一個數的幾分之幾”以及“一個數的幾分之幾”等，應用“分數的意義”“分數的內涵本質”進行分析。

在教學過程中，教師要引導學生從表象出發，讓學生對相關的問題進行逐步的分析，關聯自我的認知經驗，對自我的認知結構進行改造與重組；要引導學生對數學知識進行多維度審視、多維度考量；要立足于多個視角，從多個層面進行認知；要從學生已有的知識經驗出發，讓學生的理解從表象深入本質、從本質深入關聯；要設置一些富有挑戰性的問題，引發的學生深度思考與充分表達。教師要通過理解性教學，讓學生獲得靈活運用數學知識解決問題的能力。

參考文獻：

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[3]荀步章.數學理解：發展學生核心素養的教學策略[J].中小學教師培訓，2022（12）：53-57.◆（作者單位：江蘇省灌南縣實驗小學）