配電網的最小供電能力：定義、模型、求解和應用

肖 峻，蔡仲偉

（天津大學 智能電網教育部重點實驗室，天津 300072）

0 引言

配電網是電力系統的一個重要環節，其主要作用是保證對用戶的可靠持續供電。供電能力是衡量配電網建設水平的主要指標［1］，在配電網規劃和評估中經常被使用。文獻［2］借鑒最大輸電能力（to?tal transfer capability，TTC），提出最大供電能力（to?tal supply capability，TSC）的名稱，將其定義為某供電區域內配電網滿足一定安全準則（通常是N-1 準則）的最大負荷供應能力［2］。

現有關于TSC 的研究涉及數學模型［3?5］、求解方法［6?7］、規劃應用［8］、調度運行應用［9］等。在TSC 的啟發下，有學者提出以剩余供電能力衡量在不削減已有負荷的前提下配電網的可用供電潛力［10］。進一步，有學者將其應用于考慮荷儲動態特性的有源配電網中［11］。

“TSC”中的“T”表示“total”，指“全網所有的”，并非“最大的”，但由于在早期的研究中配電網的供電能力是一個值，因此，關于“最大供電能力”的譯名無太大爭議。而在后續研究中，文獻［12］發現配電網的供電能力不是一個值，而是一個范圍，該范圍可采用TSC 曲線進行描述，原TSC 是該曲線上的最大值，用“total supply capability”表示其英文全稱不再合適，因此，本文將原TSC 的英文全稱修改為“maximum total supply capability”，記為TSCmax。TSC 曲線完整描述了配電網在各種不同系統狀態下的帶負載能力。文獻［13］提出TSC 曲線的數學模型，并揭示其形成機理。TSC 曲線的最高點TSCmax是評估配電網的一個重要指標。

TSC 曲線的最低點稱為最小供電能力（mini?mum total supply capability，TSCmin）［14］。TSCmax對應配電網安全運行中效率最高的臨界負載狀態，TSCmin對應配電網安全運行中效率最低的臨界負載狀態，可見，TSCmin是TSCmax的對偶指標。近十年來，TSCmax已得到了大量的研究，而關于TSCmin的研究尚處于空白狀態。本文首次對TSCmin開展基礎性研究，提出TSCmin的定義、數學模型和求解方法。TSCmin的研究成果不僅是供電能力理論的一個重要補充，而且具有實際工程意義：得到TSCmin對應的系統狀態后，調度人員可以引導工作點規避TSCmin點，即避免系統陷入供電能力值最低但又處于臨界安全的最不利狀態。本文給出規避TSCmin點的預測控制方法，結合負荷預測，提前采取規避措施干預工作點的發展趨勢，避免系統的N-1安全性遭到破壞。

1 安全邊界相關定義及交叉機理簡介

1.1 安全邊界相關定義

配電網的安全邊界點可根據是否滿足嚴格臨界性［15］分為嚴格安全邊界點和非嚴格安全邊界點，分別簡稱為嚴格邊界點和非嚴格邊界點。嚴格邊界點具有嚴格臨界性，即任何一個負荷單獨增加均一定造成不安全。嚴格邊界點的數學描述［16］為：若工作點W=[L1，L2，…，Ln]（Li(i=1，2，…，n)為第i回饋線上的負荷，n為饋線回數）位于安全邊界βse上，即W∈βse，則第i回饋線上的負荷增加后形成新的工作點W'=[L1，…，Li+ε，…，Ln]（ε為任意小的正數），如果對于?ε＞0 和i∈{1，2，…，n}均有W'?βse，則稱W為嚴格邊界點。

嚴格邊界是所有嚴格邊界點構成的集合，記為βst。實際配電網完整的嚴格邊界一般由多個獨立嚴格邊界（后文簡稱獨立邊界）組成，每個獨立邊界均具有唯一確定的表達式。將βst中的第j個獨立邊界記為βj。嚴格邊界的表達式是在配電網安全域（distribution system security region，DSSR）表達式［16］的基礎上，將部分不等式變為等式得到的，等式覆蓋全部負荷變量，從而保證嚴格臨界性。

1.2 交叉機理簡介

在安全邊界等式約束中多次出現的變量稱為交叉量［13］。將一個獨立邊界所有等式約束的等號兩側分別求和得到的等式稱為等式約束和式［13］。邊界βj上等式約束和式的標準形式為：

式中：Ltotal(W)為嚴格邊界點W的總負荷；Rj為冗余式［13］，冗余式的取值是冗余量，其最小值和最大值分別為最小冗余Rminj和最大冗余Rmaxj；Csum為容量和常數。

交叉機理中與本文TSCmin相關的內容如下：

1）若嚴格邊界等式約束中存在交叉量，則會導致等式約束和式中出現冗余式；

2）最大冗余時，配電網處于最不利的備用狀態，N-1 故障后聯絡饋線將出現最大的容量浪費，此時工作點總負荷Ltotal(W)達到最小值TSCmin。

2 TSCmin

2.1 TSCmin的定義

TSCmin的定義為：配電網滿足嚴格臨界性的最小負荷供應量。TSC 曲線［13］的定義為：將配電網所有嚴格安全邊界點的總負荷按從小到大順序排列后形成的曲線，曲線橫坐標為采樣點，縱坐標為總負荷。

一條典型的TSC 曲線如圖1 所示，圖中采樣點表示總負荷排序的序號。需要采樣點的原因是：TSC 曲線理論上有無數個點，但繪制TSC 曲線時需要有限個點，因此利用采樣算法從無數個點中選出有限個采樣點，為了更直觀地表示供電能力的范圍和變化幅度，將采樣點按總負荷從小到大的順序進行排序，再按排序后的順序描點作圖。有學者曾以某饋線負荷為橫坐標繪制了描述供電能力的曲線［17］，但未得到廣泛應用，以采樣點為橫坐標的TSC曲線被較多文獻采用［12?13，18?19］，本文沿用此習慣采用TSC曲線描述配電網的供電能力。

圖1 TSC曲線樣例Fig.1 Example of TSC curve

2.2 TSCmin的數學模型

根據TSCmin的定義建立數學模型，該模型是在嚴格邊界上以總負荷最小為目標函數的線性規劃模型，即：

式中：Keq、Kle、Kgr為相應約束的負荷系數矩陣；Ceq、Cle、Cgr為相應約束的常數列向量；L=[L1，L2，…，Ln]T，為控制變量Li組成的負荷列向量。式（4）中：第1 個和第2 個公式分別為嚴格邊界的等式約束和不等式約束，體現了N-1 轉供后安全校驗的要求；第3 個公式為負荷轉帶關系約束；第4 個公式表示饋線負荷非負。本文對聯絡開關和分段開關之間的節點負荷進行歸并，將饋線或饋線段的負荷作為工作點來表示系統狀態。

2.3 TSCmin的計算方法

目前已有計算TSC 曲線的方法［12］，計算結果中包含TSCmin，而直接利用TSCmin模型計算TSCmin可大幅提高效率。本文TSCmin計算方法的思路為：完整的嚴格邊界包含若干獨立邊界，不同獨立邊界的表達式不同，線性規劃模型也不同，因此，先通過安全域表達式求得各嚴格邊界的表達式，再計算每個獨立邊界βj上的規劃模型結果，記為TSCmin，j，最后，選出最小值，即為TSCmin。TSCmin計算流程圖如圖2所示。

圖2 TSCmin計算流程Fig.2 Flowchart of TSCmin calculation

2.4 TSCmin點的求解方法

交叉機理從數學模型的角度解釋了TSC 曲線上除TSCmax點之外的其他點相對TSCmax點下降的原因是存在冗余量。TSCmin點是曲線上冗余量最大的點，基于此本文提出TSCmin點的求解方法。由圖2可知，在得到TSCmin的同時也得到了TSCmin對應的獨立邊界（下文簡稱TSCmin邊界）。若僅有1 個TSCmin邊界，則該邊界上的TSCmin點即為最終結果。若有多個TSCmin邊界，則需計算每個邊界的TSCmin點，并通過對所有TSCmin點取并集得到最終結果，步驟如下。

1）針對所有的TSCmin邊界，得到冗余式并計算最大冗余。由冗余式的定義，得到某獨立邊界βj上的冗余式Rj。最大冗余由以下模型求出：

該模型是線性規劃模型，可利用線性規劃軟件進行求解。

2）針對所有的TSCmin邊界，列寫最大冗余方程。TSCmin點滿足嚴格邊界約束式（4），由交叉機理可知，TSCmin點滿足冗余量取最大值，因此，βj上的TSCmin點滿足以下方程：

將式（7）命名為最大冗余方程。其中，第2 個公式表示冗余量取最大值。

3）針對所有的TSCmin邊界，求解最大冗余方程。采用一般數學方法求解由式（7）的第1個和第2個公式構成的無約束多元一次方程。該方程一定有解，原因如下：每個邊界上一定存在最小值，最小值就是最大冗余方程的解，而無約束多元一次方程是在最大冗余方程的基礎上放寬條件，因此無約束多元一次方程也一定有解。在求解后，若無約束多元一次方程有唯一解，則該解也是最大冗余方程的解；否則，將不等式約束用自由變量表示并進行化簡，得到自由變量的取值范圍，并將其補充到方程解中。

4）對所有TSCmin邊界上的結果取并集，得到完整的TSCmin點結果。

將上述方法稍作修改后還可用于求解TSCmax點，如附錄A所示。

2.5 TSCmin與TSCmax的關系

TSCmin與TSCmax是對偶關系，體現在以下方面。

1）在定義方面，TSCmin是滿足嚴格臨界性的最小負荷供應量，相應地，TSCmax可定義為滿足嚴格臨界性的最大負荷供應量，該定義是文獻［2］中的定義在N-1準則下的特殊形式。

2）在模型方面，TSCmax模型與TSCmin模型均為線性規劃模型，兩者的區別如下：在目標函數上，TSCmax模型以總負荷最大為目標函數，TSCmin模型以總負荷最小為目標函數；在約束條件上，TSCmax模型的尋優空間為整個配電網的安全域，TSCmin模型的尋優空間為嚴格安全邊界。

3）在求解方面，TSCmax模型只需進行1 次優化計算，TSCmin模型需對各嚴格邊界進行優化計算，再從各邊界的結果中選出最小值，從而得到最終結果。TSCmax點與TSCmin點的求解方法類似，將TSCmin點求解方法中的最大冗余替換成最小冗余即可求解TSCmax點。

3 接線模式算例

考慮到TSCmin是一個新的概念，沒有在實際中使用過，采用配電網網架最基本單元的接線模式來展示TSCmin的計算過程并驗證正確性。選擇兩供一備、不對稱兩分段兩聯絡和對稱兩分段兩聯絡3 種常見的接線模式，各接線模式概況及TSC 曲線如附錄B 所示。利用本文方法得到各接線模式的TSCmin和TSCmin點，再將結果與TSC曲線進行比較驗證。

3.1 兩供一備接線模式

3.1.1 TSCmin模型及計算結果

兩供一備接線模式的3 回饋線等價，可將任意1 回饋線作為備用饋線，另外2 回饋線作為常供饋線。以將負荷L1所在饋線作為備用饋線為例，由安全域DSSR1的表達式得到β1表達式的過程如下：

負荷L2、L3分別僅被DSSR1的第1 個和第2 個公式包含，因此，需要將2 個公式同時變為等式，以滿足嚴格臨界性要求。同理，可得到將負荷L2和L3所在饋線作為備用饋線時的獨立邊界β2和β3。

兩供一備接線模式的完整TSCmin數學模型為：

將上述模型分解成β1、β2以及β3上的3個獨立優化模型分別進行求解，3 個邊界上的優化結果均為1.5 MV·A，因此，兩供一備接線模式的TSCmin為1.5 MV·A。

利用TSC曲線計算TSCmin，如附錄B第B1.2節所示，所得結果與上述結果相同，驗證了本文TSCmin模型和計算方法的正確性。

3.1.2 TSCmin點的計算結果

分別計算3個邊界上的TSCmin點，計算過程如附錄C 第C1 節所示，結果如附錄C 表C2 所示。對3 個邊界結果取并集，得到兩供一備接線模式的TSCmin點為［0.5，0.5，0.5］ MV·A。與第B1.2 節中TSC 曲線的TSCmin點相同，驗證了本文求解方法的正確性。

3.2 不對稱兩分段兩聯絡接線模式

3.2.1 TSCmin模型及計算結果

不對稱兩分段兩聯絡接線模式的完整嚴格安全邊界僅包含1個邊界β1，其TSCmin數學模型為：

式中：下標“A”“B”表示負荷為同一饋線不同饋線段上的負荷，后同。

可知，不對稱兩分段兩聯絡接線模式的TSCmin為1 MV·A，與附錄B 第B2.2 節中TSC 曲線的TSCmin計算結果相同。

3.2.2 TSCmin點的計算結果

邊界β1上的TSCmin點有無窮個，表達式為［（L1A，1-L1A），0，0］（0≤L1A≤1 MV·A）。附錄B表B1中由TSC曲線得到的TSCmin點均滿足該表達式，驗證了本文求解方法的正確性。

3.3 對稱兩分段兩聯絡接線模式

3.3.1 TSCmin模型及計算結果

對稱兩分段兩聯絡接線模式在分段模式下的嚴格邊界由邊界β1和β2組成，TSCmin數學模型為：

可知，對稱兩分段兩聯絡接線模式的TSCmin為1.5 MV·A，與附錄B 第B3.2 節中TSC 曲線的TSCmin計算結果相同。

3.3.2 TSCmin點的計算結果

分別計算2個邊界上的TSCmin點，計算過程如附錄C 第C3 節所示，結果如附錄C 表C5 所示。對2 個邊界的結果取并集，得到對稱兩分段兩聯絡接線模式的TSCmin點為［（0.5，0），（0.5，0），（0.5，0）］∪［（0，0.5），（0，0.5），（0，0.5）］ MV·A，與第B3.2 節中TSC曲線的TSCmin點相同，驗證了本文求解方法的正確性。

4 配電網算例驗證

4.1 IEEE-RTBS-BUS4擴展算例

4.1.1 算例概況

采用IEEE-RTBS-BUS4 擴展算例，該算例包含3 站共6 臺主變以及8 回10 kV 饋線，每臺主變容量均為20 MV·A，每回饋線容量均為9 MV·A，詳細網絡結構如附錄D圖D1所示。

4.1.2 TSCmin計算

采用本文方法計算TSCmin和TSCmin點的表達式，并將結果與由TSC 曲線得到的TSCmin和TSCmin點進行比較，以驗證本文方法的正確性。

IEEE-RTBS-BUS4 擴展算例的嚴格邊界由邊界β1和β2組成，其TSCmin數學模型為：

式（21）和式（22）體現了N-1 安全校驗的要求。以饋線F1故障為例，負荷轉帶關系為L1A→F8（T6），L1B→F6（T4），此時，轉帶饋線和主變均不應過載，因此有L1A+L8A+L8B≤9 MV·A（F8不過載），L1B+L6A+L6B≤9 MV·A（F6不過載），L1A+L8A+L8B≤20 MV·A（T6不過載），L1B+L6A+L6B≤20 MV·A（T4不過載）。由于算例中每臺主變上的出線較少，主變約束不起作用，因此，在表達式中僅體現了饋線約束，即式（21）、（22）中的第1個和第7個公式。其他饋線同理。

對β1、β2上的優化模型分別進行求解。2 個邊界上的結果均為36 MV·A，IEEE-RTBS-BUS4擴展算例的TSCmin取上述結果的最小值，即36 MV·A。

4.1.3 TSCmin點的求解

以邊界β1為例，按照2.4 節中的步驟求解TSCmin點。

1）針對所有的TSCmin邊界，得到冗余式并計算最大冗余。式（21）中嚴格邊界β1上的數學量如表1所示。

表1 邊界β1上的數學量Table 1 Mathematical quantities on boundary β1

邊界β1上的最大冗余求解模型如式（23）、（24）所示。求解得到Rmaxj=18 MV·A，最大冗余條件為

2）針對所有的TSCmin邊界，列寫最大冗余方程。將最大冗余條件添加到嚴格邊界表達式中，得到該邊界的最大冗余方程，如式（25）所示。

3）針對所有的TSCmin邊界，求解最大冗余方程。式（25）第1 — 7 個公式表示的無約束多元一次方程的解為［（9-L8A-L8B，-L7+L8A），9-L7，L3，9-L3，L7，（L7+L8B，9-L7-L8A-L8B），L7，（L8A，L8B）］，含4 個自由變量L3、L7、L8A、L8B。將式（25）第8 — 13個公式用自由變量表示后，化簡得到0≤L3≤9 MV·A，L7=4.5 MV·A，L8A=4.5 MV·A，L8B=0。因此，式（25）的解為［（4.5，0），4.5，L3，9-L3，4.5，（4.5，0），4.5，（4.5，0）］（0≤L3≤9 MV·A）。

4）對邊界β1和β2上的TSCmin點取并集，得到完整的TSCmin點結果。對2個邊界結果取并集，得到最終結果為［（4.5，0），4.5，L3，9-L3，4.5，（4.5，0），4.5，（4.5，0）］∪［（0，4.5），4.5，L3，9-L3，4.5，（0，4.5），4.5，（0，4.5）］（0≤L3≤9 MV·A）。

4.1.4 與現有方法的對比

利用現有方法計算TSC曲線后也可得到TSCmin，采用文獻［12］中現有方法得到IEEE-RTBS-BUS4 擴展算例的TSC 曲線，如圖3 所示。由TSC 曲線得到的TSCmin為36 MV·A，與本文方法所得結果相同。

圖3 IEEE-RTBS-BUS4擴展算例的TSC曲線Fig.3 TSC curve of IEEE-RTBS-BUS4 extended example

2種方法的TSCmin點結果對比如表2所示。文獻［12］方法得到的8個TSCmin點均符合本文TSCmin點的表達式，表2 還給出了上述8 個TSCmin點對應的本文表達式中自由變量L3的取值。如文獻［12］方法得到的第1 個TSCmin點［（4.5，0），4.5，9，0，4.5，（4.5，0），4.5，（4.5，0）］ MV·A 是本文TSCmin點的表達式［（4.5，0），4.5，L3，9-L3，4.5，（4.5，0），4.5，（4.5，0）］（0≤L3≤9 MV·A）在L3取值9 MV·A 時的特例。本文方法能得到所有的TSCmin點，且其計算速度也遠快于文獻［12］方法，文獻［12］方法耗時75.356 s，而本文方法耗時0.846 s（測試環境如下：CPU 為AMD Ryzen 7 4800U；內存為16 GB；編程語言為MATLAB）。

表2 2種方法的TSCmin點結果對比Table 2 Comparison of TSCmin point results between two methods

4.1.5 規避TSCmin點的預測控制策略

在TSCmin點，配電網處于供電能力最小的臨界安全狀態，是運行中應該遠離的不利系統狀態。在得到TSCmin點后，通過負荷預測可以判斷未來某時刻的工作點是否會向TSCmin點靠近。若系統工作點存在向TSCmin點靠近的趨勢，則需要提前采取規避措施進行干預，防止系統的N-1安全性被破壞。

根據第3 章中3 種常見接線模式的TSCmin點表達式，給出規避TSCmin點的預測控制策略，如表3 所示。根據表中的策略，通過開關操作調整運行方式，可改變饋線負荷的分布。以下給出IEEE-RTBSBUS4擴展算例的預測控制示例。

表3 規避TSCmin點的預測控制策略Table 3 Predictive control strategy for avoiding TSCmin point

設當前工作點W0=［（0，4），4，2，5，4，（0，4），4，（0，4）］ MV·A，通過負荷預測得到3 h后將達到用電高峰，預測工作點為W1。設預測工作點處的各負荷均為當前負荷的1.2 倍，W1=［（0，4.8），4.8，2.4，6，4.8，（0，4.8），4.8，（0，4.8）］ MV·A。此時總負荷Ltotal=37.2 MV·A，遠小于TSCmax的45 MV·A，但N-1 校驗已不安全，校驗數據如附錄E 所示。根據表3 中的策略，在08:00 提前對工作點W0采取預測控制策略：將饋線F2的負荷分別轉移1 MV·A至饋線F5和F7，將饋線F1B的負荷轉移2 MV·A至饋線F1A，將饋線F6B的負荷轉移2 MV·A 至饋線F6A，將饋線F8B的負荷轉移2 MV·A 至饋線F8A。得到控制后的工作點W'0=［（2，2），2，2，5，5，（2，2），5，（2，2）］ MV·A，控制后預測時刻的工作點W'1=［（2.4，2.4），2.4，2.4，6，6，（2.4，2.4），6，（2.4，2.4）］ MV·A，經N-1 校驗可知，系統處于安全狀態，校驗數據如附錄F所示。

4.2 實際配電網算例

采用2011 年某市某區的實際中壓配電網計算TSCmin和TSCmin點，計算過程和結果如附錄F 所示。結果表明，本文模型和計算方法對于實際配電網依然適用。

5 結論

TSCmax是在配電網評估時的常用指標，TSCmin是TSCmax的對偶指標，本文首次系統研究了TSCmin，主要結論如下。

1）提出TSCmin的定義和模型，該模型是以配電網嚴格邊界上總負荷最小為目標函數的優化模型，并提出通過對所有邊界進行優化求解TSCmin的方法。

2）提出基于最大冗余方程的TSCmin點求解方法，對該方法稍作修改也可用于求解TSCmax點。

3）采用接線模式算例、IEEE-RTBS-BUS4擴展算例和實際配電網算例驗證了本文模型和方法的正確性。

4）給出規避TSCmin點的預測控制策略，并結合IEEE-RTBS-BUS4 擴展算例給出示例。該策略能有效防止系統的N-1安全性被破壞。

后續筆者將面向應用深入研究TSCmin點的特征，并將研究范圍擴展到有源配電網。

附錄見本刊網絡版（http：//www.epae.cn）。