基于Stackelberg博弈的微電網插入式電動汽車分布式充電控制

羅 干，李覺友，余季遲，徐凱暉，陳 果

（1.中南大學 自動化學院，湖南 長沙 410083；2.重慶師范大學 數學科學學院，重慶 401331）

0 引言

由于插入式電動汽車具有高能效、低碳排放特點，其市場占有份額將會越來越高。Navigant 能源實踐的報告表明，到2050 年全球插入式電動汽車的年交易量將達到1 億輛。工業和信息化部的電動汽車發展戰略研究報告表明，到2030 年我國電動汽車的擁有量預計達到6 000 萬輛［1?2］。但是，大量電動汽車的充電行為很可能會導致電網電壓顯著波動，從而對電網產生負面影響。

微電網是一種小型發-配-用電系統，它不同于傳統電網，微電網內的用戶可以將所需的電力信息傳輸到電網，參與電能的分配。微電網對于電能的分配不僅可以保證用戶側高質量的能源服務，還可以提高系統運行的安全性和可靠性［3?5］。

針對電網中電動汽車充電控制的建模，已有不少學者提出了各種優化控制模型。從系統最優的角度，文獻［6］在用戶購電成本和發電站發電成本的基礎上，考慮了充電行為對電動汽車電池退化的影響，在整個系統的成本中增加了電池退化成本，且不同于一般成本函數建模，文獻［6］用效用函數表示整個系統關于用電需求的成本模型。文獻［7］綜合考慮了用電偏好（滿意度）和購電成本進行建模。然而，文獻［6?7］是從系統最優角度考慮整個系統的最優收益或成本，并沒有從微電網側和用戶側角度考慮其最優收益與成本。從用戶最優的角度出發，文獻［8］考慮用戶偏好（滿意度），分別用對數函數、收益函數形式表示用戶側和充電站側的效用，建立了二者之間的Stackelberg 博弈模型。文獻［9］基于充電站的價格驅動，以用戶充電成本最小為目標，構建了用戶間的非合作博弈模型。文獻［10?11］以充放電成本最小為目標，構建了電動汽車用戶和配電網之間的Stackelberg 博弈模型，并以電價引導電動汽車的充放電行為。雖然文獻［8?11］將微電網側和用戶側分開考慮，但對用戶側的成本因素考慮并不全面。

在求解博弈模型的算法方面，已有大量的創新性研究工作。由于受系統資源限制、系統安全穩定運行約束等影響，各決策變量之間存在公共（耦合）約束［11?12］。在這種情況下，文獻［13］考慮了電動汽車用戶之間的廣義納什均衡問題（generalized Nash equilibrium problem，GNEP）。文獻［14］提出了幾種解決GNEP的方法，如非線性迭代算法、利用Nikaido-Isoda 函數將其轉化為某類優化問題的方法、罰函數法等。文獻［15］詳細分析了GNEP 和變分不等式（variational inequality，VI）之間的關系，并將GNEP轉化為VI 問題進行求解。但文獻［14?15］所提求解算法均屬于集中式算法，這些算法在計算過程中需要收集模型的全局信息，不僅使計算變得困難，還不利于用戶隱私保護。區別于集中式算法，文獻［9］提出了一種基于牛頓型不動點的分布式算法來求解GNEP，并利用Nikaido-Isoda 函數對牛頓型不動點法的子問題進行轉換，然后提出了一種基于加速梯度法的分布式算法以加速對該問題的求解速度。文獻［16］將GNEP 轉換為VI 問題，然后提出了一種基于原始-對偶的分布式算法來對其進行求解，從而得到GNEP 的解。但是文獻［9］和文獻［16］在設計算法時僅利用了目標函數的一階信息，收斂速度較慢。

基于上述現狀，本文首先建立了微電網側與電動汽車用戶側之間的Stackelberg 博弈模型，以效用函數形式表示微電網側、電動汽車用戶側的收益與成本。對于電動汽車用戶側，綜合考慮用戶的充電滿意度、充電成本、電池退化成本。由于許多模型的目標函數是二階可微的，本文提出了一種利用目標函數二階信息的分布式原始-對偶充電控制算法來求解模型。不同于集中式算法，所提算法不僅能分布式執行，且相比于一階分布式算法，還開發了目標函數的二階信息，使得算法收斂速度更快。最后結合Krasnosel’skii-Mann（K-M）不動點塊坐標迭代證明了所提充電控制算法的收斂性。

1 系統模型

本文考慮孤島型微電網中電動汽車用戶之間的交互決策，與主網無電能交換，微電網擁有的電量是固定常量。微電網中的購買-出售由雙方自行協商，電能交易過程為：電動汽車用戶根據微電網發布的電價制定購電決策（即電動汽車的充電電量），微電網根據電動汽車用戶的購電決策更新電價。

微電網每天的可售電電量為E，參與購電的電動汽車用戶數量為N，電動汽車用戶（ii=1，2，…，N）的購電決策、購電決策空間分別為x（ixi≥0）、Ωi。由于微電網每天的可售電電量E是常量且固定的，電動汽車用戶的充電電量xi是相互影響、相互耦合的，故對于參與購電的電動汽車用戶而言，有：

1.1 電動汽車用戶側效用函數

電動汽車用戶的目標是在與微電網側博弈的過程中產生最大的效用。在滿足式（1）的情況下，電動汽車用戶i的效用函數ui(xi)為：

式中：Si(xi)為電動汽車用戶i的購電滿意度函數，與其用電需求、用電偏好、電價等有關，常用的滿意度函數有二次函數、對數函數等［12］；Ci(xi)為電動汽車用戶i的購電成本函數，由向微電網的購電成本(xi)和電動汽車用戶i在充電過程中產生的電池退化成本(xi)兩部分組成，(xi)常見的形式有二次函數等［6］；y為電價。

根據實際的用電情況，電動汽車用戶在達到電能消費上限時會不斷地消耗電能，因此ui(xi)是一個不減的非負函數。通常假設ui(xi)是一個凹函數，且 滿 足?ui(xi)/?xi≥0，?2ui(xi)/?≤0，考 慮 到(xi)為購電成本，故?ui(xi)/?y≤0。

1.2 微電網側效用函數

微電網側效用函數u(y)是使自身在售電過程中產生最大的收入，可表示為：

由于微電網每天的可售電電量E是固定的，故當微電網側電價y確定時，電動汽車用戶i的購電決策xi也是確定的；當電價發生變化時，xi也會隨之發生變化（具體證明見第2 章）。故需要控制適宜的電價y以提高微電網側的收益。并且當E固定時，電動汽車用戶數量增多，充電需求增加，會導致電價y增大。當電動汽車用戶數量增多時，E增加，則供給增加，會導致電價y減小。

假設1：Ωi是一個閉、凸且非空的集合，X也是非空集合，且給定任意不動點，Xi(x-i)內部非空。

假設2：ui(xi)是一個連續二次可微的函數，?xu(x)為電動汽車用戶效用函數的梯度，令F(x)=-?xu(x)，F(x)在Ω上v-強 單 調，即F(x)-F(y)，，并 且 符 合χ-李 普 希 茨 性 質，即，其中v、χ為常數。

2 廣義Stackelberg博弈

微電網是Stackelberg 博弈的領導者，通過電價y引導電動汽車用戶制定購電決策xi，同時根據購電決策xi更新電價。電動汽車用戶是Stackelberg 博弈的追隨者，根據電價y調整充電電量xi，更新后的購電決策xi也會引導電價更新。微電網和電動汽車用戶追求自身效用最大化，二者基于電價和購電決策形成Stackelberg博弈，博弈過程見附錄A圖A1。

2.1 Stackelberg博弈模型

當電價確定時，結合式（2），電動汽車用戶側的目標函數為：

電動汽車用戶更新自身的購電決策xi后，結合式（5），微電網側的目標函數為：

由于微電網每天的可售電電量有限，電動汽車用戶的購電決策必須滿足耦合約束式（1），此時電動汽車用戶之間形成GNEP，相應地，微電網和電動汽車用戶之間的博弈拓展為廣義Stackelberg 博弈均衡問題（generalized Stackelberg game equilibrium problem，GSEP），該博弈模型包括以下幾個部分：

1）參與者，包含作為領導者的微電網和作為追隨者的電動汽車用戶（ii=1，2，…，N）；

2）效用函數，包含電動汽車用戶側的效用函數式（2）和微電網側的效用函數式（5）；

3）策略集，包括電動汽車用戶i的購電決策空間Ωi以及微電網的電價y；

4）約束，電動汽車各用戶購電的耦合約束式（1）。

2.2 Stackelberg博弈均衡

當微電網側電價y和電動汽車用戶的購電決策xi達到最優時，有：

2.3 Stackelberg博弈均衡的存在性和唯一性

由于電動汽車用戶之間存在GNEP，且當電動汽車用戶達到廣義納什均衡時，本文的GSEP 也會達到廣義Stackelberg 博弈均衡，故可以將GSEP 轉換為GNEP。

用D表示識別（身份）算子，即D(x)=x。定義如下2個算子：①NΩ(x)={a|aT(r-x)≤0，r∈Ω}，輸入為決策空間Ω和x，輸出為滿足aT(r-x)≤0的點a，r∈Ω為Ω內的點；②PΩ(x)=(D(x)+NΩ(x))-1［17］。

定理1：Stackelberg博弈均衡是存在且唯一的。

當假設1 和假設2 成立時，可將該GNEP 轉換為VI，即：

式中：g(x?)=，…，]T為所有用戶的最優購電決策向量。故即證變分解存在且唯一。

結合假設1，當且僅當用戶（ii=1，2，…，N）存在對偶變量，且結合KKT 條件，式（10）成立時，是Stackelberg博弈的均衡解。

對于式（9），當且僅當所有用戶存在對偶變量λ?，且結合KKT條件，式（11）成立時，x*是式（9）的解。

3 基于原始-對偶的分布式充電控制算法

區別于傳統的集中式算法［14?15］、僅使用函數一階信息的分布式算法［9，16］，本文提出了一種利用函數二階信息的基于原始-對偶的分布式充電控制算法，不僅能分布式執行，相比于基于一階信息的分布式算法，還開發了目標函數的二階信息，收斂速度更快。

3.1 電動汽車用戶側購電決策的更新機制

令fi(xi)=-ui(xi)，則fi(xi)是連續可微的凸函數，將fi(xi)在xi，k處展開［18］，有：

式中：xi，k為第k次迭代時用戶i的購電決策；為第k次迭代時用戶i效用函數的二階信息。

式中：σ、τ、η為步長；λi，k為xi，k的對偶變量；i，k和，k為輔助變量；PXi為投影算子。

3.2 微電網側電價更新機制

當各電動汽車用戶的購電決策最優時，微電網側電價也達到最優，由KKT條件式（11）可知：

考慮到有N個電動汽車用戶參與購電，微電網通過收集所有電動汽車用戶反饋的購電決策信息進行電價更新，因此，在第k次迭代時，取所有電動汽車用戶關于電價更新信息的平均值來更新電價yk，如式（17）所示。

微電網是Stackelberg 博弈的領導者，當微電網發布電價時，電動汽車用戶作為追隨者，會根據電動汽車用戶側購電決策的更新算法式（13）給出購電決策，并將其反饋至微電網，微電網會根據微電網側電價的更新機制式（17）給出電價并重新發布。算法的具體步驟見附錄B。

3.3 收斂性分析

由于微電網與電動汽車用戶之間構成Stackel?berg 博弈，且微電網側電價更新是根據電動汽車用戶側的購電決策信息進行的，當電動汽車用戶側購電決策達到廣義納什均衡時，微電網側電價隨之達到最優，不再變化，此時整個算法達到最優并收斂。

本文通過將電動汽車用戶側算法寫成塊坐標的形式，并證明其是K-M不動點迭代算法，該算法會出現以下結果：①算法的不動點是博弈的均衡解；②存在分布式計算；③算法所涉及算子是平均算子。

對 于 一 個 單 值 算 子T：Ω∈RN→RN，如 果 有T(x)≡x，則點x∈Ω是T的不動點。算子T的不動點 集 用Γfix(T) 表 示。如 果（x，y∈Ω），則算子T是非擴張的。對于α∈(0，1)，如果存在一個非擴張算子R，使得T=(1-α)D+αR，那么算子T被稱為α-平均算子。此外，RNΩ(x)=PΩ(x)。用A(α)表示α-平均算子的類別，對于β∈（為1 維非負歐幾里得空間），如果βT∈A(1/2)，則T被稱為β- cocoerciv［e17］。

則可將式（13）寫成如下緊湊形式：

即：

式中：Φ為一個算子；I為單位矩陣。

定義以下2個算子：

結合K-M 迭代，即對于序列{xn}?C（C為X的閉凸子集），對于任意初值x1∈C，有：

式中：T：C→C為一鏡像；αn為一常數。再根據T=(D-Φ-1P)-1(D-Φ-1Q)、PΩ(x)=(D(x)+NΩ(x))-1，則電動汽車用戶側購電決策更新機制的K-M不動點塊坐標形式為：

假設3：步長σ、τ使得算子Φ是正定的。

通過K-M 塊坐標形式求解算子T，由于假設3，任意算子T的不動點都是P+Q的零點，因為S=TS?ΦS-QS∈ΦS-PS?0∈(P+Q)S，即 不 動 點Γfix(T)=Zer(P+Q)，Zer(?)為零運算。

定理2：假設1 和假設2 成立，對算子P+Q在(λ*，x*)T的任意零點，有x*是一個廣義納什均衡解，λ*和x*滿足KKT條件式（11）。

引理1：假設1和假設2成立，那么算子P是最大單調算子，Q是v/χ2-cocoercive 。

引理2：假設1 和假設2 成立，設置步長σ、τ使Φ-I半正定，根據，可得如下結論。

1）算子Φ（為P的共軛矩陣）是一個最大單調算子，有：

2）算子Φ-1（為Q的共軛矩陣）是v/χ2-cocoercive，有：

3）算子T是一個平均算子，即：

當滿足0＜η＜(4v-χ2)/(2v)時，K-M 不動點塊坐標迭代收斂［17?19］。此時，電動汽車用戶側各用戶的購電決策xi收斂至最優解，故本文所提基于原始-對偶的分布式充電控制算法收斂。

4 算例仿真

本文以某微電網充電站為算例驗證所提模型和算法的有效性。電動汽車用戶的效用函數為ui(xi)=eixi-si/2-yxi-(ai+bixi+ci)，其中：ei為電動汽車用戶i的預估用電量；si為電動汽車用戶i單位充電電量所獲得的滿意度，與電動汽車用戶的用電需求、微電網電價和自身喜好有關；ai、bi、ci為電動汽車用戶i電池退化成本的參數［5］。微電網側的效用函數見式（5），微電網側與電動汽車用戶側之間的耦合約束見式（1）。由于不同電動汽車用戶的用電習慣不同，各參數不完全相同，參考文獻［6?12］設置各參數取值，見附錄C表C1。

電動汽車用戶購電決策、微電網電價的求解結果分別見圖1和圖2。由圖可看出，本文所提基于原始-對偶的分布式充電控制算法能有效收斂，且收斂速度較快。微電網與各電動汽車用戶間的Stackelberg 博弈也達到均衡。其中，電動汽車用戶的最優購電決策x?=［34.476 3，55.348 5，45.657 8，51.341 8，63.175 5］kW·h，微電網的最優電價y?=0.473 5元／（kW·h）。

圖1 電動汽車用戶的購電決策Fig.1 Purchasing electricity decisions of electric vehicle users

圖2 微電網電價Fig.2 Electricity price of microgrid

微電網每天的可售電電量E變化對微電網電價的影響如圖3 所示。設置用戶數量N=5，初始電價為0.3 元／（kW·h）。由圖3 可以看出：當初始可售電電量E不同時，電價y均有效收斂；當E增大時，電動汽車用戶側各用戶之間的競爭變小，購電決策xi增大，y?減小，說明微電網可通過降低電價來吸引更多的用戶參與電能交易。

圖3 E對微電網電價的影響Fig.3 Influence of E on electricity price of microgrid

用戶數量N對微電網電價、效用函數值的影響分別見圖4 和圖5。設置微電網每天的可售電電量E=250 kW·h，初始電價為0.3 元／（kW·h）。由圖可知：當N取不同的值時，電價均有效收斂；當參與博弈的電動汽車用戶增加時，競爭變得激烈，各用戶的購電決策減少，此時為了保證收益，微電網電價y?提高，則微電網側效用函數值增大，用戶側總體效用函數值也增大，但由于用戶數量增大，各用戶的綜合滿意度會降低，因此各用戶的平均效用函數值減少。

圖4 N對微電網電價的影響Fig.4 Influence of N on electricity price of microgrid

圖5 N對用戶側和微電網側效用函數值的影響Fig.5 Influence of N on user-side and microgrid-side utility function values

為了驗證本文所提算法的有效性和優越性，將其與文獻［16］中的算法進行對比。文獻［16］中的算法也是基于原始-對偶的分布式算法，但僅利用了目標函數的一階信息，與本文算法利用了目標函數的二階信息有所不同。設置微電網每天的可售電電量E=220 kW·h，初始電價為0.3 元／（kW·h），采用文獻［16］算法和本文算法進行計算求解，結果如圖6所示。由圖可以看出：本文算法在第5次迭代時就達到廣義Stackelberg 博弈均衡，計算時間為0.062 5 s；而文獻［16］算法需迭代20 次左右才能達到廣義Stackelberg博弈均衡，計算時間為0.125 s。

圖6 不同算法的求解結果Fig.6 Solving results of different algorithms

5 結論

本文聚焦于微電網和電動汽車用戶之間的動態購電博弈過程，提出了一種基于Stackelberg 博弈的微電網插入式電動汽車分布式充電控制方法。首先，以效用函數形式表示微電網側和電動汽車用戶側的收益與成本，建立了微電網側與電動汽車用戶側的Stackelberg 博弈模型，其中電動汽車用戶側的效用函數考慮了用戶的充電滿意度、充電成本和電池退化成本；然后，提出了一種利用函數二階信息的基于原始-對偶的分布式充電控制算法來快速求解博弈模型，所提算法不僅能分布式執行，相比于基于一階信息的分布式算法，還開發了目標函數的二階信息，收斂速度更快，另外結合K-M不動點塊坐標迭代證明了算法的收斂性；最后，通過算例仿真驗證了所建模型與所提算法的有效性和快速性，分析了微電網可售電電量、用戶數量等對博弈均衡的影響，結果表明所提方法有利于實現微電網內電動汽車的充電控制管理，提升社會效益。

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