基于超越方程極點分布間接判定的分布式電站諧波不穩定分析方法

徐方維，陳 鍇，鄭鴻儒，周 全，陳 超，龔利武，張 煒，唐 昕，3

（1.四川大學 電氣工程學院，四川 成都 610065；2.國網浙江省電力有限公司嘉興供電公司，浙江 嘉興 314000；3.浙江大學 電氣工程學院，浙江 杭州 310027）

0 引言

“雙碳”目標驅動下，以光伏和風電為代表的分布式電站發展迅速［1］。分布式發電單元通過并網逆變器將清潔能源饋入電網的同時，也向電網注入了寬頻域、高頻次諧波［2］。由于線路的分布參數特性，逆變器與電網交互可能在幾Hz 到數kHz 范圍內存在多個截止頻率點，進而發生多頻點諧波放大，這種現象在分布式電站經長線路并入弱電網時尤為突出。若截止頻率下系統呈現負阻尼，則諧波將持續放大，導致電壓、電流波形嚴重惡化，這種現象被稱為諧波不穩定。諧波不穩定可造成設備損毀，危及電網穩定運行。因此，準確分析分布式電站穩定性及潛在諧波放大點，可為諧波不穩定評估、諧波管控及治理等提供重要的理論指導。

目前，諧波不穩定的研究方法主要有狀態空間法［3?4］和阻抗分析法［5?8］2 種。前者是在dq軸時域下建立小信號狀態空間模型，通過計算特征矩陣的特征根，判斷系統的穩定性與諧波放大點。文獻［3?4］通過建立并網逆變器系統的狀態空間模型，并分析時延、控制系統、濾波器、電網強度等參數對諧波不穩定影響。阻抗分析法是在dq軸頻域下以公共連接點（point of common coupling，PCC）為界分別建立兩側小信號等效電路模型，結合阻抗穩定判據判定系統穩定性、截止頻率和相位裕度［5］。文獻［6］對多并網逆變器系統諧波不穩定現象進行評估，但其未考慮鎖相環（phase-locked loop，PLL）的影響。為此文獻［7?8］進一步分析PLL 對系統諧波不穩定影響。

計及線路分布參數模型是分析諧波不穩定的必要條件［9］，然而，模型引入使系統極點方程變為含復數雙曲函數的超越方程，導致諧波不穩定評估面臨極點分布難以確定問題。這一點雖已在大量文獻中提到，但其重點在于分析線路分布參數對諧波放大的影響，無法判斷系統穩定性，僅有少量文獻在考慮線路分布參數后對系統穩定性展開研究。例如：文獻［9］將雙曲函數歐拉展開，建立系統特征根與頻率的聯系，從而確定極點分布；但其歐拉展開過程忽略了傳播系數中拉普拉斯算子的實部，僅能求出復平面虛軸附近的部分系統極點，無法充分判定系統穩定性；文獻［10?13］基于奈奎斯特穩定判據（Nyquist stability criterion，NC）間接判定系統穩定性，或基于伯德圖截止頻率處的相位裕度判定系統穩定性。但文獻［9?13］均忽略了dq軸耦合影響，無法準確判定系統穩定性。而計及dq軸耦合時，無法將系統解耦為獨立的d軸和q軸2 個單輸入單輸出子系統進行分析，導致傳統NC失效［14］。

雖然關于dq軸阻抗耦合建模及穩定分析有大量研究，但還未有研究將其擴展應用于同時考慮dq軸阻抗耦合和線路分布參數的場景。為此，本文建立了同時計及dq軸耦合和線路分布參數影響的分布式電站阻抗模型，并驗證模型準確性。針對含雙曲函數的閉環傳遞函數矩陣行列式極點分布不易求解問題，提出基于廣義奈奎斯特穩定判據（generalized Nyquist stability criterion，GNC）的系統極點分布間接判定方法，通過回率矩陣行列式特性，間接判定閉環傳遞函數矩陣行列式的極點分布。進一步分析不同線路長度和電網強度下，dq軸耦合和線路分布參數對諧波不穩定的影響。最后，基于電磁暫態仿真平臺搭建分布式電站仿真模型，驗證所提方法的有效性和準確性。需要指出的是，GNC 是較為成熟的穩定性分析方法，本文的創新點并非穩定理論的提出，而在于將GNC 用于間接判定系統超越方程極點分布以實現諧波不穩定分析，并給出復雜閉環傳遞函數矩陣的回率矩陣和穩定條件判定的詳細過程，使所提方法切實可行。

1 分布式電站阻抗模型

1.1 單臺并網逆變器輸出等效模型

圖1 為單臺并網逆變器的主電路及其控制系統。圖中：L1、L2分別為逆變器側和電網側的濾波電感；Cf、Rd分別為濾波電容及其寄生電阻；Udc為直流側輸入電壓；Irdef、Irqef分別為參考電流Iref的d、q軸分量；s1、s2、…、s6為開關管信號；I1、IC分別為逆變器輸出電流和電容電流；Uinv為逆變器輸出電壓；UC為電容電壓；Uo、Io分別為PCC 處電壓和電流；θPLL為Uo相位；Uw、Zw分別為電網電壓和等效阻抗。

圖1 單臺并網逆變器的主電路及控制系統Fig.1 Main circuit and control system of single grid-connected inverter

由圖1可得主電路在dq軸下的表達式為［7］：

式中：ω1為基波角頻率；為了表達簡潔，本文所有加粗斜體的電壓、電流變量均表示dq軸下的2×1 維矩陣，矩陣中的元素為變量的d、q軸分量，例如，Uinv=?？梢?，矩陣非對角線元素非零，d軸與q軸分量之間存在交互影響，即d、q軸之間存在耦合。

并網逆變器閉環控制輸出特性可利用諾頓電路等效，詳細推導見附錄A，其中并網電流Io為：

式中：Ginv和Yinv分別為單臺并網逆變器輸出等效電流源系數和輸出導納。

1.2 分布式電站等效電路

圖2 為n臺并網逆變器經線路并網的分布式電站電路模型。圖中：Upcc、Ipcc分別為分布式電站PCC處的電壓、電流；Geq、Yeq分別為逆變器側等效電流源系數和輸出導納；Zeq_g為等效電網阻抗。其中，并網逆變器采用諾頓等效模型；變壓器模型采用串聯短路阻抗和并聯勵磁阻抗τ型電路等效，由于勵磁阻抗相對較大，可視為開路，且串聯電抗遠大于串聯電阻，僅將箱變和主變等效為串聯純電抗模型，分別用ZDT和ZMT表示；35 kV 線路采用π 型電路結構表示，其串聯阻抗和并聯導納分別用Zs和Yp表示；110 kV電網采用理想電壓源串聯阻抗的戴維南電路模型，電壓和阻抗分別用Ugrid和Zg表示。

圖2 分布式電站電路模型Fig.2 Circuit model of distributed power plants

線路分布參數模型的Zs和Yp分別為［9］：

式中：l為線路的長度；Zc為線路的特征阻抗；γ為傳播系數：I為2×2維單位矩陣。Zc和γ分別為：

式中：R0、L0和C0分別為單位長度線路的電阻、電感和電容。

逆變器側等效電流源系數Geq和輸出導納Yeq的表達式分別為：

根據圖2（b），可以推導出Ipcc的表達式為：

為驗證所建立的分布式電站阻抗模型準確性，利用諧波小信號注入法［15］測量逆變器側dq軸阻抗Zeq(Zeq=Y)的幅頻特性，并與理論模型阻抗幅頻特性進行對比驗證，具體參數見附錄B 表B1。測量與模型阻抗的幅頻特性對比見附錄B 圖B1。由圖B1可知：所建立模型與測量阻抗幅頻特性基本吻合，驗證了所建模型的準確性。

2 基于GNC的系統極點分布間接判定方法

2.1 諧波穩定性研究難點及解決思路

從式（7）可知，系統穩定性由矩陣Geq、Yeq和TF共同決定，穩定的條件為：①條件1，行列式|Geq|、|Yeq|均無右半平面極點；②條件2，行列式|TF|無右半平面極點。

實現條件1和條件2的準確判斷，難點在于：

1）計及dq軸耦合時，由式（2）可知，矩陣非對角元素非零，致使矩陣Geq、Yeq和TF非對角元素非零，此時d軸和q軸2 個子系統不獨立，無法將系統解耦為獨立的d軸和q軸2 個單輸入單輸出子系統，傳統NC失效；

2）由式（6）、（8）可知，考慮線路分布參數所引入的雙曲函數使得Geq、Yeq和TF極點方程為超越方程，無法得到極點方程中拉普拉斯算子s的解析解，致使極點分布難以確定，文獻［9］將雙曲函數通過歐拉展開以確定極點分布，但忽略了拉普拉斯算子的實部，導致無法充分判定系統穩定性（理論分析和算例驗證見附錄C）。

GNC 是傳統NC 的推廣，在多輸入多輸出系統中，無論各子系統是否獨立，均可以利用GNC 判定系統穩定性，可有效解決計及dq軸耦合時NC 失效問題［16?17］。此外，根據GNC原理，其可在已知回率矩陣極點分布的情況下，結合回率矩陣的特征函數奈奎斯特曲線對臨界點（-1，0）包圍情況，間接判斷閉環傳遞函數矩陣是否存在右半平面極點，可解決計及線路分布參數時極點分布難以確定問題。需要指出的是，“間接”指不直接求解極點的具體值，而是借助GNC，判斷閉環傳遞函數矩陣行列式是否存在右半平面極點。

為此，基于GNC 特點，本文在同時計及dq軸耦合和線路分布參數下提出基于GNC 的系統極點分布間接確定方法，進而準確評估分布式電站諧波不穩定問題。

2.2 GNC原理

GNC 指 出［18］，當 閉 環 傳 遞 函 數 矩 陣 行 列 式|I/(I+L)|極點不易獲取時，可在已知回率矩陣行列式|L|極點分布的情況下，結合回率矩陣L的特征函數奈奎斯特曲線對臨界點（-1，0）包圍情況，間接判斷行列式|I/(I+L)|是否存在右半平面極點。設回率矩陣為：

式中：Ldd、Ldq、Lqd、Lqq為回率矩陣L中的元素。則回率矩陣L的特征函數為：

當且僅當特征函數l1、l2的奈奎斯特曲線在復平面逆時針環繞（-1，0）的圈數總和，與回率矩陣行列式|L|右半平面極點個數相同時，可判定行列式|I/(I+L)|不存在右半平面極點，即系統是穩定的，否則系統不穩定。

對于復雜的奈奎斯特曲線，為便于分析，可用正頻率響應奈奎斯特曲線的正、負穿越次數判定系統穩定性。正、負穿越次數分別用N+和N-表示。當且僅當2N+-2N-與回率矩陣行列式|L|右半平面極點個數相同時，可判定行列式|I/(I+L)|不存在右半平面極點，即系統是穩定的，否則系統不穩定。

當系統穩定時，奈奎斯特曲線與單位圓交點決定系統的截止頻率和相位裕度，截止頻率處的諧波存在諧波放大風險，且相位裕度越小，諧波放大風險越高。簡而言之，截止頻率點對應系統潛在諧波放大頻率點。由圖2（b）可知：顯然式（7）中GeqIref為逆變器側的等效諧波電流發射源；而Yeq為逆變器側等效導納，YeqUgrid為電網背景諧波電壓Ugrid施加在Yeq時產生的諧波電流，因此可將其視為網側諧波電流發射源；當逆變器并網工作時，PCC 諧波電流不僅與兩側等效諧波發射源有關，還受兩側諧波阻抗參數共同影響，即兩側諧波存在共同交互作用，即由式（7）中TF體現。因此，兩側諧波共同作用時，PCC 處諧波電流放大特性主要取決于TF的回率矩陣奈奎斯特曲線與單位圓交點。

需要注意的是，雖然已有許多相關研究基于條件1及條件2進行穩定性分析，但是在分析并網系統穩定性時，并未同時計及dq軸耦合和線路分布參數影響，且通常直接對條件2 進行穩定性判定，潛在假設條件1 成立［5，16］，而實際由于逆變器控制、線路分布參數等因素影響，條件1 可能不成立。為此，本文在同時計及dq軸耦合和線路分布參數影響下，基于上述GNC 原理詳細推導穩定條件1 和條件2 判定過程。

2.3 條件1判定

在推導條件1判定之前，有3個已知信息：

1）復數雙曲函數sinh(γl)和cosh(γl)均無右半面的零點和極點（具體推導見附錄D）；

2）由式（5）可知，線路的特征阻抗Zc不存在右半面的零點和極點；

3）單臺逆變器的輸出導納|Yinv|和輸出電流源系數|Ginv|不存在右半平面極點［7］。

系統穩定的條件1 要求行列式|Geq|和|Yeq|均無右半平面極點，觀察式（6）可知，|Geq|和|Yeq|極點方程一致，因此二者穩定性判定只需判定其一即可。

根據前述3 個已知信息，Zc、|Yinv|和sinh(γl)均無右半平面極點，可以將式（6）中Geq或Yeq表達式的分子、分母同時除以nZcYinvsinh(γl)，則其回率矩陣LGeq為：

當|I+YinvZDT|不存在右半平面極點時，可以將式（6）中Geq或Yeq表達式的分子、分母同時除以(I+YinvZDT)cosh(γl)，則其回率矩陣L'Geq為：

觀察式（11）與式（12）可知：

1）|I+YinvZDT|的右半平面極點與|Yinv|的右半平面零點之和，即為|LGeq|的右半平面極點個數；

2）|I+YinvZDT|的右半平面零點與|Yinv|的右半平面極點之和，即為|LG'eq|的右半平面極點個數。

當且僅當LG（eq或LG'eq）的特征函數奈奎斯特曲線在復平面逆時針環繞（-1，0）的圈數，或其正頻率奈奎斯特曲線表達式2N+-2N-的值與|LGeq（|或|L'Geq）|右半平面極點個數相同時，條件1成立，否則不成立。

上述2 種回率矩陣為互逆關系，這實際上是GNC 和反廣義奈奎斯特穩定判據（generalized in?verse Nyquist stability criterion，GINC）的關系，二者判定結果是一致的［19］。

2.4 條件2判定

條件2 要求行列式|TF|無右半平面極點，即只要TF的回率矩陣滿足GNC 即可。TF的回率矩陣LTF為：

在利用LTF奈奎斯特曲線判定條件2 之前，需要先確定LTF的極點分布情況，根據式（13）可知，回率矩陣LTF的極點方程仍然為超越方程，其極點分布難以獲取。但是觀察式（6）與式（13）可知，閉環傳遞函數矩陣Geq、Yeq與回率矩陣LTF極點方程一致。因此，若條件1 不成立，即|Geq|和|Yeq|存在右半平面極點，則判定系統不穩定，無須進行后續條件2 判定；若條件1 成立，則可判定|LTF|無右半平面極點，若回率矩陣LTF的奈奎斯特曲線均不包圍（-1，0）（或順時針包圍與逆時針包圍圈數相同時），則LTF傳遞函數矩陣滿足GNC，即穩定條件2 成立。最后可根據LTF的奈奎斯特曲線給出系統截止頻率和相位裕度。所提諧波不穩定評估流程見圖3。

圖3 分布式電站諧波不穩定評估流程Fig.3 Harmonic instability assessment process of distributed power plants

3 dq 軸耦合及線路分布參數對諧波不穩定影響分析

PCC 處電網強度通常采用短路比SSCR表征，即電網短路容量SSC與并網逆變器總額定容量nSN之比：

通常情況下，SSCR＜ 3 可視為弱電網［20］。對于三相系統，若已知網側額定電壓Ugrid，則等效電網阻抗Zeq_g與電網的短路容量關系如下：

為重點分析不同線路長度及電網強度下dq軸耦合和線路模型對諧波不穩定影響，不妨假設分布式電站并網逆變器的工況以及容量、控制及系統等參數不變，具體參數見附錄B 表B1，分析過程中全部參數均歸算到35 kV側。

由前文分析可知，諧波不穩定評估分為對條件1 及條件2 的判定，且條件1 不涉及電網強度。因此首先研究不同線路長度下dq軸耦合和線路模型對條件1的判定結果影響。

當同時考慮dq軸耦合且線路采用分布參數模型時，分別計算|Ginv|、|Yinv|和|I+YinvZDT|的零、極點，并判斷是否存在右半平面零、極點，判斷結果見表1。表中：“×”表示不存在；“√”表示存在。

表1 |Ginv|、|Yinv|和|I+YinvZDT|的零、極點Table 1 Zeros and poles of |Ginv|，|Yinv| and |I+YinvZDT|

由表1 可知：行列式|Ginv|、|Yinv|均不存在右半平面極點，逆變器自身可穩定運行，滿足設計要求；|I+YinvZDT|無右半平面零極點，|Yinv|僅存在1 個右半平面零點，故行列式|LGeq|僅存在1個右半平面極點，行列式|LG'eq|不存在右半平面極點。因此，當且僅當LGeq的正頻率奈奎斯特曲線正穿越次數N+比負穿越次數N-多0.5（此時，2N+-2N-=1，與行列式|LGeq|右半平面極點個數相等）；或者，當且僅當LG'eq的全頻率響應奈奎斯特曲線均不包圍（-1，0）或順時針包圍圈數與逆時針包圍圈數相等時，條件1 成立，否則不成立。由于LGeq的奈奎斯特曲線較為復雜，因此只繪制其正頻率響應奈奎斯特曲線；而LG'eq則繪制其全頻率響應奈奎斯特曲線。

下面分別以線路長度l為20 km 和50 km 為例，繪制LGeq與L'Geq的奈奎斯特曲線，如附錄E 圖E1 所示。由圖可知：當l分別為20 km 和50 km 時，LGeq的正頻率響應奈奎斯特曲線正穿越次數均比負穿越次數多0.5（N+=2，N-=1.5）；L'Geq的奈奎斯特曲線均不包圍（-1，0）。因此條件1 成立，即行列式|Geq|和|Yeq|均無右半平面極點。

相似地，對于不考慮dq軸耦合但采用分布參數模型、考慮dq軸耦合但不采用分布參數模型、既不考慮dq軸耦合也不采用分布參數模型3 種情況，經過分析后條件1 判定結果均一致。需說明的是：不同線路長度將影響LGeq與LG'eq的奈奎斯特曲線的變化。在設計規劃電力系統時，線路輸電距離取決于其所在電壓等級，例如，對于35 kV系統，其輸電距離為20～50 km［21］。為此，本文在線路長度為5～50 km的電力系統中做了大量的仿真遍歷，條件1 均成立。在條件1 均成立的前提下，可判定LTF無右半平面極點，系統的諧波不穩定特性取決于LTF奈奎斯特曲線包圍（-1，0）情況，若包圍（-1，0），則系統不穩定，否則系統穩定，且LTF奈奎斯特曲線與單位圓交點決定系統潛在諧波放大點。

其次，研究dq軸耦合和不同線路模型對條件2的判定結果影響。當l分別為20 km 和50 km，電網強度（通過調整SSC調節該參數）不同時，dq軸耦合／解耦與不同線路模型的LTF奈奎斯特曲線如附錄E 圖E2 所示。由圖可知：dq軸耦合／解耦或采用不同線路模型，系統穩定性判定結果均存在矛盾。

為進一步分析在更廣線路長度范圍和電網強度下，dq軸耦合和線路模型對系統穩定性影響，本文在l為5～50 km 和SSCR為1～8 條件下做了大量的仿真遍歷，仿真結果如圖4所示。

圖4 不同l及SSCR下，dq軸耦合／解耦和不同線路模型的系統穩定性Fig.4 Stability of dq axis coupling／decoupling and different line models under different values of l and SSCR

圖4 中，不穩定邊界線為是否穩定的臨界曲線，曲線以左為不穩定區，以右為穩定區。由圖4可知：

1）當采用線路分布參數模型時，是否考慮dq軸耦合系統的穩定性判定結果趨勢大體一致，但是在曲線①、②之間的系統運行點，實際系統是穩定的，忽略dq軸耦合判定結果為不穩定，將造成誤判；

2）當采用線路集中單π 模型時，與線路分布參數模型對比，在曲線①、③之間的系統運行點，實際系統是穩定的，而采用線路集中單π 模型則判定結果為不穩定，將造成誤判；

3）當采用線路串聯阻抗模型時，與線路分布參數模型對比，在曲線①、⑤之間的系統運行點，實際系統是不穩定的，而采用線路串聯阻抗模型則判定結果為穩定，也將造成誤判。

綜上所述，dq軸耦合及線路分布參數對于諧波不穩定分析不可忽略，否則將導致無法準確判定系統穩定性。

4 仿真驗證

為了驗證本文理論分析的準確性，按照圖2 所示拓撲結構，在MATLAB／Simulink 仿真環境中搭建分布式電站并網模型。設置2 種仿真場景，具體設置情況見附錄E 表E1。進一步根據第3章的理論分析結果，場景1 和場景2 對應時段下SSCR的穩定性判定結果如表2所示。表中：“√”表示穩定；“×”表示不穩定；模型①—④分別為分布參數-耦合模型、分布參數-解耦模型、集中單π-耦合模型、串聯阻抗-耦合模型。需注意的是，當SSCR=39.19（強電網）時2 種場景下系統均是穩定的。

表2 場景1和場景2對應時段SSCR的穩定性Table 2 Stability of different under Scenario 1 and Scenario 2

仿真結果只需與同時計及dq軸耦合及線路分布參數時的理論分析結果一致，即可驗證本文理論分析結果的準確性，同時也可說明忽略dq軸耦合或線路分布參數，將導致系統穩定性的誤判。

圖5 為2 種仿真場景下SSCR不同時Ipcc時域波形。由場景1 仿真結果可知：SSCR分別為39.19、6.66和5.52 時，電流波形良好；1.4 s 時SSCR降至4.71，電流發散；之后進入等幅振蕩環節，波形質量嚴重惡化，系統不穩定。類似地，由場景2 仿真結果可知：當SSCR降至3.27 時，電流發散，系統不穩定。仿真結果驗證了第3 章中同時計及dq軸耦合與線路分布參數模型時的穩定性理論分析結果（即當l=20 km、SSCR=3.27 與l=50 km、SSCR=4.71 時，系統不穩定），同時也證明了若忽略dq軸耦合或線路分布參數，將導致錯誤的系統穩定性判定結果。

圖5 2種場景下PCC處電流Ipcc時域波形Fig.5 Time domain waveforms of Ipcc in two scenarios

對圖5 中各穩定時段（即［0，0.2）、［0.2，0.7）、［0.7，1.4］ s 內時域波形進行傅里葉分解，可得各時段內諧波頻譜，如附錄E 圖E3 所示。而基于本文所提方法理論分析得到的不同場景下的潛在諧波放大頻率如附錄E 表E2 所示。需注意的是，此處諧波放大頻率是LTF的奈奎斯特曲線與單位圓交點所得的截止頻率。

對比圖E3 中頻譜尖峰點及表E2 中截止頻率點的匹配度，可驗證所得潛在諧波放大點的準確性，具體如下。

1）當線路采用集中單π 模型時，較低頻次截止頻率點與頻譜尖峰點一致；較高頻次截止頻率點與頻譜尖峰不一致，且出現有高頻頻譜尖峰點而無高頻截止頻率點現象。證明采用線路集中單π模型僅能分析較低頻次諧波放大點，而無法準確分析到較高頻次諧波放大點，甚至會遺漏高頻諧波放大點。

2）當線路采用串聯阻抗模型時，理論分析所得截止頻率與頻譜尖峰沒有直接對應關系，完全無法準確分析系統潛在諧波放大點。

3）2 種場景下，唯有線路采用分布參數模型時，不同SSCR下諧波電流頻譜尖峰與理論分析截止頻率結果基本都一致。證明了截止頻率處存在潛在諧波放大風險，同時也驗證了本文分析所得系統潛在諧波放大點的準確性。進一步分析表E2數據可知，系統穩定前提下，是否考慮dq軸耦合對于分析潛在諧波放大點影響不大，均可準確分析出系統所有潛在諧波放大點。

5 結論

本文針對同時計及dq軸耦合和線路分布參數的分布式電站系統極點分布難以求解問題，提出基于GNC 的系統超越方程極點分布間接判定方法，給出復雜閉環傳遞函數矩陣的回率矩陣和穩定條件判定詳細步驟，并分析了不同線路長度和電網強度下，dq軸耦合和線路分布參數對系統諧波不穩定的影響。研究表明，所提方法可準確分析同時計及dq軸耦合和線路分布參數的分布式電站諧波不穩定問題，且dq軸耦合或線路分布參數因素對系統穩定性的影響不可忽略，尤其是線路分布參數特性對高頻諧波放大點的影響不可忽略。

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