借助賦值法理解函數性質的本質*

方 明

(北京市第一〇一中學 100098)

函數的教學在高中數學教學中有著突出重要的地位和作用．在必修課程中,學生需要學習函數的概念和性質,并總結研究函數的基本方法,掌握一些具體的基本函數類,探索函數的應用[1]37．要求學生能夠從兩個變量之間的依賴關系、實數集合之間的對應關系、函數圖象的幾何直觀等多個角度,理解函數的意義和數學表達;理解函數符號表達和抽象定義之間的關聯,知道函數抽象概念的意義[1]24．

1 問題緣起與背景

授課中,在解決上述問題的基礎上,筆者給學生提出了兩個問題:(1)研究奇偶性、單調性、對稱性、周期性等性質時,有沒有共性的思維和方法?(2)對于不是用解析式呈現的函數,是否也可以遵循上述研究函數的方法?

筆者結合一節復習課,讓學生進一步鞏固函數的研究方法,理解函數性質背后的共性思維和方法,并設計評價量規反饋學習效果．

2 基于生態智慧課堂理念選擇合適載體

數學生態智慧課堂突出學生學習的主體地位,借助恰當的教學設計、和諧的課堂生態,讓學生的學習真實發生．數學生態智慧課堂不僅關注學生基礎數學知識和基本數學技能的掌握,還要關注學生的學習方法、學習習慣,更要將重心放在學生數學學科核心素養水平的發展上[2]164．下面將結合合適的載體,設置恰當的問題,讓學生真實理解函數性質的共性思維和方法,更好地促進學生數學素養的發展．

學生具備解決這道問題的能力,從操作層面將解法稱為賦值法,具體如下:

從思維層面,為什么這樣賦值?需要學生用文字語言概括函數的性質,表述如下:

(1)函數的奇偶性,研究的是自變量互為相反數時,函數值是否一定相等?或者是否一定互為相反數?

(2)函數的單調性,研究的是某個區間的兩個自變量x1>x2時,函數值是否一定有f(x1)>f(x2)?或者是否一定有f(x1)

進而引導學生總結:函數的概念突出對于自變量x的每一個值,都有唯一確定的因變量y的值與之對應,而函數的性質則是突出自變量滿足某種規律變化時,引起因變量有規律的變化．因此,在研究函數的性質時,賦值的方向是得到具有特殊關系的兩個自變量的值．

基于上述結論,在實際授課中,學生還想到用另一種賦值方式來探索函數的單調性:

第二種方法,避開了奇偶性的判斷,有更好的推廣性,也有利于學生理解函數f(x)自變量的值是括號中的整體,而不局限于括號中字母的值．

例1中的賦值法,能很好地體現函數性質的共性:當函數的自變量x滿足某種規律的變化時引起函數值y的有規律變化[3]．這種觀點同樣適合函數對稱性和周期性的相關表述,可以選擇以下問題作為研究的載體,幫助學生進一步理解函數性質的共性思維和方法:

已知常數a,b(a≠0),滿足下面單一條件的函數f(x),分別具有函數的什么性質?

?x∈R,都有f(a-x)=f(a+x)．

?x∈R,都有f(a-x)+f(a+x)=2b．

?x∈R,都有f(x+a)=-f(x)．

?x∈R,都有f(x+a)=f(x)．

?x∈R,都有f(x)+f(x+a)=b．

?x∈R,都有f(x)f(x+a)=b(b≠0)．

3 突破思考問題的套路化

例1的賦值法,有利于學生理解函數性質的本質,但簡單的賦值方式依然可能讓學生的思維模式化．需要借助新的載體,突破思考問題的套路化,幫助學生進一步理解函數性質的本質．

例2已知函數f(x)的定義域為R,且同時滿足以下兩個條件:①f(1)=1>f(-1); ② ?x,y∈R,都有f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).試研究函數f(x)的性質,并解決以下問題:

(1)求f(-1),f(2)的值;

(2)求f(1-8x)+2[f(4x)]2的值;

(3)是否存在常數a,b,c,使不等式|f(x)+f(2-x)+ax2+bx+c|≤2對一切x∈R恒成立?如果存在,求a,b,c的值,如果不存在,說明理由．

本題的題干比較復雜,如果沒有分析函數的性質,無方向地直接賦值,解決問題的難度很大．尤其是后兩個問題,難度更大．通過賦值過程,學生理解如何賦值更合適,進一步加深了對函數性質本質的理解．在具體思考中,學生可以嘗試x,y之間特殊的關系,或者考慮x,y的特殊值．并在賦值過程中觀察與自變量值的特殊關系伴隨而來的函數值的特殊關系,及時發現和應用函數的性質．賦值過程如下:

(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).

取y=x,得f(1)=f2(x)+f2(x-1)(所以函數f2(x)有周期性,2為周期)．

令x=1,得f(1)=f2(1)+f2(0),所以f2(0)=0,由周期性進而f2(2n)=0,n∈Z.

令x=0,得f(1)=f2(0)+f2(-1),由此可得f(-1)=-1．

取y=-1,得f(-x)=f(x)f(-1)+f(x-1)f(-2),從而f(-x)=-f(x)．可知f(x)為奇函數．

取y=1,得f(2-x)=f(x)f(1)+f(x-1)f(0),從而f(2-x)=f(x)．可知f(x)的對稱軸為x=1．

取x=-1,得f(y+2)=f(-1)f(y)+f(-2)f(y-1),從而f(y+2)=-f(y),f(y)有周期性,4為周期．

在分析的基礎上,得到了函數的相關性質,從而更容易解決后續問題．對于第(2)題,要理解其中的x與題干恒等式中的x不一定相同,理解其中自變量兩個值之間的聯系,有助于簡化思考．設t=4x,則1-8x=1-2t,本質上第(2)題是求f(1-2t)+2[f(t)]2的值．求解過程如下:

f(y-x+1)=f(x)f(y)+f(x-1)f(y-1).

取y=-t,x=t,得f(1-2t)=f(t)f(-t)+f(t-1)f(-t-1),從而f(1-2t)=-f2(t)-f(t-1)f(t+1)(f(x)是奇函數).

所以f(1-2t)=-f2(t)+f2(t+1)(自變量值相差2,函數值互為相反數)．

故f(1-2t)+2f2(t)=f2(t)+f2(t+1),從而f(1-2t)+2f2(t)=1(f2(x)的性質)．

前期函數性質的分析,決定了學生能否根據得到的代數特征及時發現并運用函數的性質．有了性質的分析,第(3)題的思考也會容易些．由對稱性,原不等式等價于|2f(x)+ax2+bx+c|≤2,通過賦值,容易得到滿足條件的a,b,c存在,且只有a=b=c=0．

從思考嚴謹性的角度,還需要讓學生思考和構造滿足題干條件的函數解析式,構造函數解析式的過程也體現函數性質的綜合運用．讀者可以在本文末了解滿足例2條件的函數．

4 借助評價量規促進教學評一體化

下面兩個評價量規一個用于課前(表1),一個用于課后(表2)評價．評價記錄跟蹤學生的學習過程,讓學生了解和認識自己在學習過程中的成長,有利于增強學生數學學習的自信心,提高學生數學學習的興趣,培養學生良好的學習習慣,促進學生的全面發展[2]166．

表1 函數研究方法課前評價量規

表2 抽象函數性質的課后評價量規