跨學科融合的數學教學
——蘇科版初中數學教材的案例分析與思考*

黃賢明 徐敬元

(江蘇省蘇州高新區景山實驗初級中學校 215129)

數學是研究數量關系與空間形式的基礎學科,其方法的普適性、文化的豐富性、應用的廣泛性及理性思維的獨特性都決定了數學與其他學科間存在著千絲萬縷的聯系[1].《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標》)中優化了課程內容,設置了以綜合與實踐為載體的跨學科主題學習活動,增強學科間相互關聯,帶動課程綜合化實施,強化實踐性要求.事實上,跨學科內容早已分散于數學教學的方方面面．例如,教材的編排中、試題的編制中、教學環節的設計中都有跨學科內容的“影子”.張維忠教授研究了數學教材、中高考試題中的跨學科內容,提出跨學科內容的來源維度包括科學、技術、工程和藝術,跨學科內容的類型維度包括并列型、共享型、蜘蛛網型、連接型和統合型,為后續數學跨學科內容的分析提供了理論框架[2].

研究發現,在初中數學教材中存在著諸多跨學科內容,它們分布在章引言、問題情境、例題、課后練習、閱讀材料及數學實驗等欄目中.這些跨學科內容的呈現大致可以分為兩類:其一,教材利用跨學科內容創設科學情境,旨在讓學生從情境中抽象出數學信息,獲得數學研究對象;其二,教材以跨學科內容作為問題情境或研究主題,旨在讓學生應用數學知識與方法解決其他學科的問題,或應用數學的眼光與思維理解其他學科的奧秘.本文以江蘇鳳凰科學技術出版社的六本初中數學教材(以下簡稱“蘇科版教材”)為研究對象,從跨學科的教學情境、問題設置與項目學習三個維度具體分析教材中的跨學科內容.

1 跨學科的教學情境:獲得對數學知識的獨到理解

數學知識并不是憑空產生的,需要教師創設合適的教學情境與問題,引導學生用數學的眼光觀察抽象出數學研究對象,并在進一步探究中獲得對知識的本質理解.情境的創設是多樣化的,具體可分為現實的、數學的與科學的三類.對于某些數學知識而言,科學的情境更符合學生的認知經驗,更利于學生建立不同學科知識之間的聯系.因此,在教學實施中,教師可以把握教材中所選擇的跨學科內容,創設跨學科情境,讓學生在情境探究中經歷科學探究的完整過程,獲得對數學知識的深刻理解,從而夯實“四基”,提升“四能”,發展數學抽象、邏輯推理、數學建模等數學學科核心素養.

1.1 用數學的眼光觀察跨學科情境

案例1“主視圖、左視圖、俯視圖”與“直線與圓的位置關系”的跨學科情境創設.

蘇科版教材七年級上冊“5.4主視圖、左視圖、俯視圖”創設了如下情境:

橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同.不識廬山真面目,只緣身在此山中.

——蘇軾

蘇科版教材九年級上冊“2.5直線與圓的位置關系”創設了如下情境:

山水相接的地方出現了一道紅霞.過了一會兒,那里出現了太陽的小半邊臉.慢慢兒,一縱一縱地使勁兒向上升.到了最后,它終于沖破了云霞,完全跳出了海面.

——巴金

教材以詩詞與文學作品作為教學情境,并附上相關圖片,旨在讓學生用數學的眼光觀察它們背后所蘊含的數學本質.例如,蘇軾的《題西林壁》描繪了千姿百態的廬山風景,揭示了“從不同角度觀察物體,所看到的圖形往往不同”的內涵.在教學中,教師可以讓學生感受詩詞中的意境,引導學生用數學的眼光品味詩詞內涵,并提問:“生活中你有類似的體驗嗎?從數學的角度,我們通常從哪些方向觀察物體呢?”自然地導入本節課對三視圖的探究.再如,巴金的《海上日出》描繪了日出這一偉大奇觀,旨在將太陽與海平面視作圓與直線,將日出的過程抽象為直線與圓的位置關系.針對該情境的教學實施,教師可以設計“根據所給文字,描繪日出的簡圖”的活動,引導學生把握好情境中的關鍵節點,即日出前、日出時和日出后,并給出日出圖片加以參考,讓學生繪制出直線與圓相交、相切和相離的示意圖,開啟對圓與直線位置關系的探索.在教學中,學生經歷了以文學為主題的跨學科內容的抽象過程,提升了用數學眼光觀察現實世界的能力,發展了數學抽象、直觀想象等核心素養,提升了數學探究興趣.雖然文學與數學的跨學科交融在教材中的案例相對較少,但它們間的碰撞是感性思維與理性思維的碰撞,往往會擦出不一樣火花,增添數學課堂的人文趣味.

1.2 用數學的思維思考跨學科情境

案例2“正數與負數”的跨學科情境創設.

蘇科版教材七年級上冊“2.1正數與負數”的導入環節中給出了四張圖片,分別對應著如下三個跨學科內容.

①地理知識:珠穆朗瑪峰海拔8 848.86 m,艾丁湖海拔-154 m.

②物理知識:水、水銀、酒精的凝固點分別為0 ℃,-38.87 ℃,-117.3 ℃;沸點分別為100 ℃,357 ℃,78 ℃.

③社會知識:2009年末,上海市常住人口 1 921.32萬,常住人口自然增長率為0.27%,其中戶籍人口自然增長率為-0.102%.

教材給出的跨學科內容旨在引導學生感受現實生活中負數的實例,并提出問題:“你知道上面圖片中8 848.86,-154,-117.3,-0.102%這些數的意義嗎?”讓學生從原有認知結構中提取出相關知識與經驗,并用數學的思維思考和解釋負數在跨學科內容中的內涵與意義,建立數學與現實世界的聯系,抽象出負數與相反意義的量的概念[3].對上述跨學科情境的探究,充分激活了學生的已有經驗,促使學生在情境的抽象中提取負數的共同屬性,獲得了對負數及相反意義的量的本質理解,感受了負數的生活價值與應用價值,促使學生的抽象能力得到了發展.

1.3 用數學的語言表達跨學科情境

案例3“平面直角坐標系(3)”的跨學科情境創設.

蘇科版教材八年級上冊“5.2平面直角坐標系”第3課時中創設了如下情境:

由電腦控制的機械手把各種元器件準確插入線路板上的焊孔,然后通過焊接工序將它們焊牢.如圖1,點A,B是線路板上的焊孔.如果你是工程師,那么你怎樣向機械手下達指令,使它把元器件準確插入相應的焊孔?

圖1

數學為人們提供了一種描述與交流現實世界的表達方式.在該情境的教學中,首先需要提取情境中的相關信息并將其轉化為數學問題,即“如何描述A,B兩點在線路板上的位置”.而后學生可以結合已有經驗,將問題與平面直角坐標系建立聯結,進而產生“建立平面直角坐標系,用點的坐標來確定位置”的思想方法,最終建系解決該問題.該過程既體現了平面直角坐標系知識的運用與遷移,彰顯了建系思想方法的發生與發展的完整歷程,促進學生形成對知識的深入理解,又使學生感悟用數學語言表達現實世界,鍛煉了學生數學化與數學應用的能力,利于學生科學素養的養成.

2 跨學科的問題設置:促進數學知識的遷移應用

問題是數學的核心,是驅動數學發展的原動力.希爾伯特曾說過:“一門學科如果能不斷提出問題,那它就充滿活力.”在數學發展的歷史長河中,數學常與物理、天文、化學等學科相伴,它們相輔相成、相互促進,這就使一些跨學科問題應運而生.在這些跨學科問題的解決中,需要學生把握其他學科與數學的聯系,用數學的眼光觀察跨學科問題、用數學的思維思考跨學科問題、用數學的語言表達跨學科問題,促使數學知識在跨學科問題的解決中得到遷移與應用,發展學生的數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

2.1 用數學的眼光欣賞跨學科問題

案例4用數學的眼光欣賞藝術的奧秘．

蘇科版教材九年級下冊“6.2 黃金分割”一課中給出了如下的素材:

“黃金分割”給人以美感,它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用.我國的國歌歌詞是散文式的自由體新詩,作曲家聶耳在譜曲時,創造性地將它譜成由6個長短不等的自由體樂段.歌曲高潮部分在結構上幾乎正好是全曲的黃金分割位置,音樂富有動力,讓人感到振奮無比.你能舉例說明黃金分割在生活中的應用嗎?

該段文字以國歌為例闡述了黃金分割在音樂中的具體體現．在教學實施中,教師可以播放具體的音樂片段,讓學生在對音樂的欣賞中用黃金分割的視角感受音樂背后美的原理.而后,教師可以將音樂可視化,讓學生在五線譜的音符變化中發現黃金分割點,感受音樂中的美的奧秘.此外,在“黃金分割”的探究中,教師還可以呈現繪畫中的黃金分割(如《蒙娜麗莎》)、雕塑中的黃金分割(如《斷臂的維納斯》)、建筑中的黃金分割(如東方明珠廣播電視塔),讓學生在發現美、欣賞美、感悟美、表達美等多種活動中發展審美能力,提升用數學的眼光欣賞藝術美的能力．

當然,教師還可以開發教材中相關教學內容(如軸對稱圖形、中心對稱圖形、平面圖形的鑲嵌等),選取合適的教學素材,開展藝術主題的跨學科學習,將美育滲透于數學教學之中,實現以美促德、以美啟智、以美育人[4].

2.2 用數學的思維思考跨學科問題

案例5用數學的思維解決物理問題.

蘇科版教材八年級下冊“11.3用反比例函數解決問題”練習第2題:

公元前3世紀,古希臘學者阿基米德發現了著名的“杠桿原理”.杠桿平衡時,阻力×阻力臂=動力×動力臂.

(1)幾位同學玩撬石頭游戲,已知阻力(石頭重量)和阻力臂分別為1 600 N和0.5 m,設動力臂為l,動力為F,寫出F與l的函數表達式,小明只有500 N的力量,他該選擇動力臂為多少的撬棍才能撬動這塊大石頭呢?

(2)阿基米德曾豪言:“給我一個支點,我能撬動地球.”你能解釋其中的道理嗎?

此外,教師不應拘泥于對該題的思考,還可以結合學生所學的物理知識,讓學生用數學的思維思考“為什么有的臺燈的亮度可以調節?”“為什么推土機的輪子要安裝又寬又長的履帶?”“為什么打針用的針頭是尖的?”等生活中的現象,真正讓跨學科內容在解釋生活現象中的價值與作用得以發揮,促進學生跨學科素養的發展.

2.3 用數學的語言解釋跨學科問題

案例6用數學的語言解釋生物現象.

蘇科版教材九年級下冊“8.6收取多少保費才合理”閱讀材料:

據史料記載,在種植的564株第三代豌豆中,開白花的有141株,開粉紅花的有291株,開紅花的有132株.人們不難看出,實驗所得出的3個數字之比近似等于1∶2∶1.怎樣解釋這一現象呢?

假設第一代開白花的純種豌豆的基因是WW,第一代開紅花的純種豌豆的基因是RR,則第二代雜種豌豆的基因是WR.再由第二代雜種豌豆彼此授粉會出現如下表1的結果.

表1

這段材料以孟德爾遺傳實驗為背景,給出了相關實驗數據與實驗現象,并指出了該現象的數學原理.學生首先需要將問題數學化,即將問題轉化為“求第三代豌豆不同開花情況的概率”,其次通過列表的方式列舉出所有的開花情況,在四種結果是等可能的情況下,得出不同開花情況下的概率,最后發現用概率得到的結果與實驗情況相吻合,進而解釋了這一生物學現象的數學原理.

該材料用數學的語言和方法解釋了生物學中的遺傳規律,促使學生在閱讀理解中感受概率知識在跨學科問題解決中的遷移與應用,獲得對概率知識的跨學科價值的認同,有利于學生用數學語言表達跨學科問題能力的發展.

3 跨學科的項目學習:推動數學知識的創新發展

跨學科項目學習是指以跨學科主題的問題解決活動為主線,將數學知識與其他學科領域相連接,為學生創設有意義的項目活動,使學生在活動中通過解決有價值的問題,積累豐富的數學活動經驗,創作生動的數學產品,探究并領會數學與其他學科的聯系[5].因此,開展跨學科項目學習是實現數學課程目標的重要舉措,也是培育學生數學核心素養的重要途徑,在實現立德樹人根本目標的道路上發揮著重要作用.但傳統教育恰恰忽視了這方面內容,這就使得教材中項目內容的編排偏少,教師組織項目活動的經驗匱乏,學生參與項目活動的興趣不高.為此,教師要積極研讀《課標》與教材,理解《課標》中項目學習的要求與示例,把握教材中項目學習的相關素材,讓跨學科項目學習與教學內容自然銜接,有效發揮跨學科項目學習的教育價值.蘇科版教材九年級上冊的課題學習欄目以“收集數據、分析數據、探索規律”為主題,給出若干探索事物規律的跨學科課題,包括:利用樹葉特征對樹木分類、我國GDP與出口總量的關系等.教師可以對教材中的素材進行開發與優化,設計跨學科項目活動,組織學生運用信息技術、書籍、網絡等工具,以小組合作探究的形式進行探究學習.

案例7國內生產總值(GDP)調研的項目活動.

教師在項目活動前布置如下的課前任務單.

課前任務單:自改革開放以來,我國經濟得到了飛速發展,國內生產總值(GDP)逐年上升.GDP是衡量一個國家或地區整體經濟狀況的重要指標,那么改革開放以來我國的經濟發展有何變化趨勢?哪些因素會影響GDP的增長呢?能否應用已有的知識來研究這些問題呢?請你自主查閱相關資料后完成以下三個任務.

任務1 了解GDP的概念,并用具體事例表述GDP.

任務2 查詢國家統計局公布的數據,收集我國自1978年以來的GDP數據,思考如何用數學知識來研究GDP的變化趨勢,并說明理由.

任務3 分析GDP的增長會與哪些因素存在關系,并收集相關數據.

活動前,學生展示課前任務單完成情況,教師引導學生解決可能面臨的困難.而后學生分組,并擬定研究的子課題,例如:探究改革開放以來我國的經濟發展變化趨勢、探究GDP與居民人均可支配收入的關系、探究GDP與進出口總額的關系等.活動中,學生根據已收集的數據,利用Excel、Mathematica等軟件進行數據分析與模型擬合,得出研究結果,填寫項目成果單.活動后,小組展示項目成果,形成項目總結.

在課題“探究改革開放以來我國的經濟發展變化趨勢”的活動中,小組成員收集了1978年以來的GDP數據,以改革開放后的時間為橫坐標、國內生產總值為縱坐標,繪制出散點圖(圖2),觀察GDP變化趨勢,再選擇合適的曲線進行擬合.經過對不同函數模型的比較,小組最終選擇了四次函數模型進行擬合(圖3),此時的相關系數較高,且所得模型便于后續運算.由函數解析式可以得到:當x=44時,y≈1 228 566.1,當x=45時,y≈1 319 510.5,即可以預測2022年、2023年我國GDP約為122.86萬億元、131.95萬億元.

圖2

圖3

在活動總結中,教師可以整合各個小組的研究成果,引導學生根據數據分析結果解釋我國經濟發展情況,并從經濟與社會發展的視角反思GDP與社會可持續發展等深層次問題[6].雖然學生在活動中所得結果的誤差相對較大,但是經歷了數據收集、數據分析、軟件繪圖、函數擬合、選取模型、預測結果等一系列過程,學生了解了經濟學、統計學等領域的知識,獲得了用統計語言表達事物規律的方法,明晰了科學探究的過程,提升了綜合實踐能力與信息素養,發展了模型觀念與數據觀念.

4 結束語

教材是教師開展跨學科學習的重要參考.蘇科版教材雖然呈現了諸多典型的跨學科素材,但就數量分布上看,六本教材中的跨學科素材分布不均,整體數量相對偏少;就內容上看,跨學科內容大多是數學與物理、生物學科的跨界交融,而藝術、技術等跨學科內容偏少,且沒有出現化學與數學的跨學科內容;就類型上看,以并列型為主,其他形式為輔.這些現象都說明了教材中跨學科內容仍存在層次不明、深度不夠等問題.因此,為避免跨學科內容的教學流于形式,教師可以閱讀其他學科的書籍、雜志,不斷豐富自身知識結構,提升跨學科素養.當面對不熟悉的跨學科內容時,教師可以虛心向其他學科教師請教,了解不同學科間的差異與聯系,以促進不同學科間的深度融合.最后,跨學科內容不能拘泥于教材,教師更應從社會生活中、校園實踐中乃至其他學科的學習中發現數學元素,并將其轉化為教學形態的跨學科素材,以此組織開展跨學科項目學習活動,促使學生在發現問題、提出問題、分析問題與解決問題中發展關鍵能力,提升數學核心素養.