傳承文化 提升素養
——2023年中考數學文化試題賞析*

羅 偉

(江蘇省徐州市第二十四中學 221000)

萬葉紅

(江蘇省淮安市朱壩中學 223133)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出,要關注數學學科發展前沿,繼承和弘揚中華傳統文化[1]2．學業水平考試中可以設計合理的生活情境、數學情境、科學情境……適當引入數學文化[1]92．在文[2]中,筆者對2022年各地中考中的數學文化試題,從數學史書、數學名人、數學游戲、數學應用、數學探索、數學交流等方面進行研究.本文擬從經典文化、數學名著、數學思想、學科融合、科學技術、數學交流等方面,對2023年中考中的數學文化試題進行賞析,以期提升學生的數學文化素養．

1 經典文化

圖1

答 邊的寬為4 cm,天頭長為24 cm．

評析本題運用方程知識求解,關鍵是理清幾個數量關系,體現了模型觀念與應用意識．對聯最早出現在五代時期,在明清時期發展到頂峰,距今已有一千多年的歷史．啟功等書法名家的對聯,啟迪人的心靈,給人美的享受,對聯的裝裱及布局也呈現出數學的和諧美．

例2(2023·河南)北宋時期的汝官窯天藍釉刻花鵝頸瓶是河南博物院九大鎮院之寶之一,具有極高的歷史價值、文化價值．如圖2所示,關于它的三視圖,下列說法正確的是( )．

圖2

A．主視圖與左視圖相同

B．主視圖與俯視圖相同

C．左視圖與俯視圖相同

D．三種視圖都相同

解 本題考查物體的三視圖,選A．

評析判斷物體的三視圖,難度不大,體現了空間觀念與幾何直觀．答案的背后,汝官窯天藍釉刻花鵝頸瓶就是一個美麗的幾何物體,整體造型優美,雕刻著的圖案精美,具有很高的觀賞價值,展示了數學美．

經典文化,指在漫長的歷史進程中,被流傳下來代表某一時期的精髓的思想、理念以及相關的作品．此外,衡陽卷考查紫砂壺與左視圖,蘇州卷考查古典園林與對稱性,徐州卷考查傳統玉器與作圖,深圳、東營、菏澤、日照、懷化、赤峰卷考查了剪紙與對稱性,河北卷考查革命圣地西柏坡與方向角,鄂州卷考查象棋與一次函數,恩施卷考查四大傳統節日與統計,長沙卷考查毛澤東《七律二首·送瘟神》與火星周長,長春卷考查“水門禮”與高度,陜西卷考查“老碗面”與圓的半徑,內江卷考查世界文化遺產與科學記數法,通遼卷考查四大名著與概率,寧夏卷考查七巧板拼圖與軸對稱圖形,隨州卷考查費馬點等.這些中考試題,大都是當地經典文化的呈現,能增強學生的自豪感,令人備感親切．

2 數學名著

圖3

評析本題直接代入即可求出結果,考查了運算能力．《平三角舉要》是中國第一部平面三角學教科書,由梅文鼎借助勾股理論對涉及三角形的幾何性質及有關三角術的算法作系統整理而成．再深挖一下題目,可以用余弦定理、三角函數的知識證明題目中的公式:

例4(2023·恩施)《九章算術》被稱為人類科學史上應用數學的“算經之首”．書中記載:“今有戶不知高廣,竿不知長短．橫之不出四尺,從之不出二尺,邪之適出．問戶高、廣、邪各幾何?”譯文:今有門,不知其高寬;有竿,不知其長短,橫放,竿比門寬長出4尺;豎放,竿比門高長出2尺;斜放,竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少?(圖4)

圖4

解 設門對角線長為x尺,則門高為(x-2)尺,門寬為(x-4)尺．根據勾股定理,得(x-4)2+(x-2)2=x2,整理得x2-12x+20=0,解得x1=10,x2=2(不合題意,舍去),故門高為10-2=8(尺),門寬為10-4=6(尺),故答案為8,6和10．

評析本題通過設未知數,根據勾股定理列出一元二次方程求解,體現了模型思想與數形結合思想．《九章算術》是我國漢代的數學名著,成于公元1世紀左右,內容十分豐富,全書采用問題集的形式,收錄246個與生產、生活實踐有聯系的應用問題,是中國乃至東方第一部自成體系的數學專著,在中考中被考查的次數最多．

此外,對于中考試題中出現的《九章算術》相關內容,永州卷考查了負數,吉林卷、大連卷考查了一元一次方程,泰安卷、威海卷和紹興卷考查了二元一次方程組,瀘州卷考查了勾股數計算公式,岳陽卷考查了圓、勾股定理等．

《詳解九章算法》是我國宋朝數學家楊輝所著.為了使《九章算術》便于自學,楊輝對該書的246個題目中較難的80題作了詳解,并增添了“圖解、乘除算法和纂類”三卷．對于書中的內容,巴中卷考查了冪的展開式,廣元卷考查了楊輝三角．

《孫子算經》是中國南北朝時期重要的數學著作,是一部最具智慧且激發人探尋數學奧妙的書,成書大約在公元四五世紀,作者生平和編寫年不詳,共三卷．其中卷下第31題,可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖．貴州卷、成都卷、南充卷和廣西卷考查了一元一次方程,荊州卷、衡陽卷考查了二元一次方程組．

《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作,約成書于公元前1世紀,在數學上的主要成就是介紹了勾股定理．江西卷考查了相似三角形,黃岡卷考查了解方程、求代數式值,包頭卷考查了趙爽弦圖與三角函數．

《算學啟蒙》是由我國元朝數學家朱世杰所著,把當時的初級和中級數學知識進行分類,由淺入深,循序漸進,自成系統,是一部很好的數學啟蒙讀物．連云港卷、棗莊卷考查了一元一次方程．

《四元玉鑒》為元代數學家朱世杰所著,是一部成就輝煌的數學名著,受到近代數學史研究者的高度評價,被認為是中國數學著作中重要的一部,其中的成果被視為中國籌算系統發展的頂峰．張家界卷考查了分式方程．

《張丘建算經》系北魏張丘建著,共三卷,成書在484年之前．現傳本保存92個問題,大部分為當時社會生活中的實際問題．問題的創設和解法均超出《九章算術》,為《九章算術》之后有突出成就的數學著作．嘉興卷考查了二元一次方程組．

中國古代數學名著是我國的數學瑰寶,彰顯了我國古代數學家和勞動人民的智慧,對于教師和學生來說,是寶貴的文化遺產和精神財富,要好好地去學習、欣賞和繼承,豐富自身的文化底蘊．

3 數學思想

圖5

圖6

例6(2023·內江)出入相補原理是我國古代數學的重要成就之一,最早是由三國時期數學家劉徽創建．“將一個幾何圖形,任意切成多塊小圖形,幾何圖形的總面積保持不變,等于所分割成的小圖形的面積之和”是該原理的重要內容之一．如圖7,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,對角線AC與BD交于點O,點E為BC邊上的一個動點,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分別為點F,G,則EF+EG=．

圖7

評析本題考查了矩形的性質與勾股定理,難度適中．作出輔助線后,根據出入相補原理進行面積的轉化,從而解決問題．出入相補原理是一種數學思想方法,也可以看作數學思想．其實整個初中階段幾何與圖形的問題,很多都是運用出入相補原理去解決,最經典的就是我們熟悉的運用割補法證明勾股定理[3]．

4 學科融合

例7(2023·白銀)如圖8,漢代初期的《淮南萬畢術》是中國古代有關物理、化學的重要文獻,書中記載了我國古代學者在科學領域做出的一些探索及成就．其中所記載的“取大鏡高懸,置水盆于其下,則見四鄰矣”,是古人利用光的反射定律改變光路的方法,即“反射光線與入射光線、法線在同一平面上;反射光線和入射光線位于法線的兩側;反射角等于入射角”．為了探清一口深井的底部情況,運用此原理,在井口放置一面平面鏡可改變光路(圖9),當太陽光線AB與地面CD所成夾角∠ABC=50°時,要使太陽光線經反射后剛好垂直于地面射入深井底部,則需要調整平面鏡EF與地面的夾角∠EBC=( )．

圖8

A．60° B．70° C．80° D．85°

解 反射的光線記為BM．因為BM⊥CD,所以∠CBM=90°．因為∠ABC=50°,所以∠ABE+∠FBM=180°-90°-50°=40°．因為∠ABE=∠FBM,所以∠ABE=∠FBM=20°．因此,∠EBC=20°+50°=70°,故選B．

評析本題考查了垂線和角的計算,解題的關鍵是熟練掌握垂線的性質等知識．實際上,物理試卷也可以出這樣的題目．此題放在數學試卷中,既鞏固了物理知識,又顯示了數學與物理的融合．

例8(2023·蘭州)我國古代天文學確定方向的方法中蘊藏了平行線的作圖法．如《淮南子·天文訓》中記載:“正朝夕,先樹一表東方,操一表卻去前表十步,以參望日始出北廉．日直入,又樹一表于東方,因西方之表以參望日,方入北廉則定東方．兩表之中,與西方之表,則東西之正也．”如圖10,用幾何語言敘述作圖方法:已知直線a和直線外一定點O,過點O作直線與a平行．(1)以O為圓心,單位長為半徑作圓,交直線a于點M,N;(2)分別在MO的延長線及ON上取點A,B,使OA=OB;(3)連接AB,取其中點C,過O,C兩點確定直線b,則直線a∥b．按以上作圖順序,若∠MNO=35°,則∠AOC=( )．

圖10

A．35° B．30° C．25° D．20°

解 由作圖得a∥b,故∠CON=MNO=35°．因為OA=OB,點C是AB的中點,所以OC平分∠AON,從而∠AOC=∠CON=35°,故選A．

評析本題是已知平行線的結論求角,過程簡單.題中平行線的作圖法也容易證明,在我國古代天文學中,也顯示了數學的應用價值．

在各地中考中,也有不少與各學科融合的試題．例如,山西卷中國古代的“四書”與概率,呈現了數學與語文的融合;數學與物理融合的有:山西卷彈簧秤與一次函數、凸透鏡與角度,達州卷物理實驗與函數圖象,廣安卷彈簧測力計與函數圖象,涼山卷光的折射與角度,臺州卷自制密度計測量液體的密度與函數關系式、“刻漏”與函數關系式,溫州卷氣體壓強與函數關系式等;數學與化學融合的有:濱州卷溶液pH值與圖象,遂寧卷十二烷的化學式等;數學與生物融合的有:棗莊卷活化石銀杏與坐標、山西卷樹的生長與一次函數等;數學與歷史融合的有新疆卷烽燧與三角函數等;數學與音樂融合的有達州卷樂器與黃金分割等;數學與體育融合的有紹興卷籃球架與三角函數等;數學與信息技術融合的有內江卷信息技術與分式方程等．基本上各學科的知識都能在數學試題中呈現,這也是基于學生核心素養要求,增強學科育人的體現[4]．

5 科學技術

例9(2023·廣東)2023年5月30日,神舟十六號載人飛船發射取得圓滿成功,3名航天員順利進駐中國空間站．如圖11中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態．當兩臂AC=BC=10 m,兩臂夾角∠ACB=100°時,求A,B兩點間的距離．(結果精確到0.1 m,參考數據:sin 50°≈0.766, cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)

圖11

圖12

答A,B兩點間的距離大約是15.3 m．

評析本題通過作輔助線,構造出直角三角形,運用三角函數即可求解．神舟十六號載人飛船顯示了我國的科技實力,在載人飛船的設計、制造、發射、回收等過程中離不開數學知識的應用．

圖13

評析本題要求的是弧長,先求出弧所對的圓心角即可.中國高鐵的飛速發展令世界矚目,在設計轉彎時,圓曲線能保證高鐵的平穩運行,顯示了數學的應用價值及創新意識．

此外,長沙卷考查了神舟十六號載人飛船的高度與速度,常德卷考查了神舟十五號與概率,煙臺卷考查了北斗定位與科學記數法、風力發電機與三角函數,本溪卷、日照卷、遂寧卷分別考查了5G網絡、手機芯片、最細的碳納米管與科學記數法,菏澤卷考查了無人機與高度,蘭州卷考查了新能源汽車與增長速度,包頭卷考查了掃地機器人與一次函數、二次函數,廣東卷考查了優選法與黃金分割數．還有一些地區的試卷考查了古代的科技,如張家界卷考查了“萊洛三角形”的周長,湘潭卷考查了筒車與三角函數,宜賓卷考查了《夢溪筆談》計算圓弧長度的“會圓術”等．一個國家的科技水平,歸根結底取決于數學等基礎學科的水平,這也是學好數學的前進動力．

6 數學交流

評析本題難度較大,運用全等三角形、正方形、方程、相似等知識求解．用“趙爽弦圖”證明勾股定理,代表了我國古代數學家的智慧,內涵豐富,拓展性強．在國際數學家大會進行交流,有助于外國數學家進一步了解我國古代數學成就,增強中外數學家友誼,有利于互相合作,共同進步,更好地傳播文化．

例12(2023·溫州)蘇步青來自“數學家之鄉”,為紀念其卓越貢獻,國際上將一顆距地球約 218 000 000 km的行星命名為“蘇步青星”．數據 218 000 000用科學記數法表示為( )．

A．0.218×109B．2.18×108

C．21.8×102D．218×106

評析本題考查科學記數法,正確答案為B．溫州被稱為“數學家之鄉”,涌現出姜立夫、蘇步青、谷超豪等二三十名數學家,主要源于重視數學的社會傳承、德學兼優的數學師資、刻苦實干的地域品性及地處信息開放的沿海環境四個方面．蘇步青是我國著名的數學家,自身取得卓越的成就,也將數學一代代傳承與交流,另外“蘇步青星”也可以看作天文學與數學間的交流,更激發人們去研究數學、學習數學．

此外,溫州卷還考查了第7屆國際數學教育大會會徽與勾股定理、相似,杭州卷考查了第24屆國際數學家大會會徽與三角函數等.中外數學文化交流的深入,有利于學生開闊視野,拓展思維．

7 結語

通過2023年中考數學文化試題的剖析可以看出,經典文化讓學生感受到榮譽與自豪,數學名著增加文化底蘊,數學思想解決疑難問題,學科融合增強學科育人,科學技術呈現科學基石,數學交流促進專業成長．在以后的教學中,根據陶行知先生的“做中學”教育思想,教師可以總結提煉各種數學文化試題,讓學生品讀賞析,閱覽數學文化書籍,感受數學文化熏陶,提高數學文化素養．