參量共振單擺的理論與實驗研究

白在橋,王愛記,平 澄

(北京師范大學 物理學系,北京100875)

參量共振(Parametric resonance)是指通過周期性改變振子的參量(例如質量或彈性系數),使振子持續獲得能量,振幅按指數形式發散的過程. 參量共振最直觀的例子是蕩秋千,若把秋千簡化為單擺,蕩秋千的人通過下蹲或站起改變重心的高度,使得等效擺長發生周期性變化,如果身體動作與擺振動的相位配合得當(擺到最低處附近站起,擺到最高處附近下蹲,動作頻率是秋千頻率的2倍),就可以對系統持續做功,使秋千越蕩越高. 1831年,法拉第發現在豎直方向驅動圓柱形水桶可以在水面激發出水波,且水波的振動頻率是驅動頻率的1/2[1]. 這是已知最早的參量共振實驗,現如今參量共振已被人們深入認識[2-5],并廣泛應用于各種物理系統[6-10]. 本文參照蕩秋千設計了參量驅動的單擺,利用微擾方法分析平衡點附近的運動,得到了軌道的解析表達式. 實驗上,利用自制的二維位移傳感器實時測量單擺的運動曲線,根據理論分析選用適當的模型提取軌道特征量,并將測量結果與理論公式進行比較.

1 實驗原理

1.1 一般的參量共振

考慮周期性參量驅動的n自由度線性振動系統,其動力學方程的一般形式為

(1)

在控制參量空間(例如驅動頻率-驅動幅度平面)內,能夠出現參量共振的區域稱為參量共振帶.一般共振階數k越大,對應的參量共振帶越窄.此外,如果考慮阻尼,參量共振帶還會進一步縮小.因此,實驗一般只能觀察到低階的參量共振.對于單自由度系統,驅動頻率在固有頻率的2倍附近最可能出現參量共振.

1.2 參量驅動單擺

本文研究擺長l在l0(固定擺長)附近做小幅度周期性改變的單擺.為簡單起見,假定擺在固定的豎直平面內運動,即只考慮單自由度振動.記擺角為θ,擺球的質量為m,并假設空氣阻力與擺球速度成正比,系數為υ,則單擺的運動方程為

(2)

假定

l(t)=l0-Δlsin (ωt)l0[1-2εsin (ωt)],

ω0[1+εsin (ωt)].

(3)

按此定義,sin (ωt)>0對應擺球高于平均位置.

使用自然單位m=g=l0=1,式(2)可無量綱化為

(4)

(5)

其中c1,c2為任意實數,

(6)

(7)

當|δ|=3ε時,為臨界情況,由于控制精確性的限制,實驗上無法嚴格滿足,因此不予討論．

當|δ|>3ε時,軌道包含2個頻率略有差異的阻尼振動:

(8)

理解參量共振的關鍵是單擺與驅動的相位關系.將單擺的軌道寫成以下形式:

(9)

(10)

其中,A為單擺的瞬時振幅,φ為單擺與驅動的相位差.如果沒有擾動(即ε=γ=δ=0),A和φ都是常量.如果擾動足夠小,A和φ會發生緩慢漂移,其演化方程可用平均微擾法得到:

(11)

(12)

式(11)說明了相位差如何影響振幅的變化:當cosφ>0時,驅動力對單擺做正功,振幅有增加的趨勢;當cosφ<0時,驅動力對單擺做負功,振幅有減小的趨勢.其物理意義是單擺與驅動達到穩定的相位關系(相位鎖定),驅動力持續對單擺做正功.

(13)

即振幅按指數形式發散,發生參量共振,λ1稱為發散指數.參量共振帶的邊界由λ1=0確定,即

9ε2-δ2-γ2=0.

(14)

圖1給出了式(14)與數值方法計算結果的比較,從圖中可以看出,當ε<0.01時,二者幾乎完全重合.

圖1 不同阻尼系數對應的參量共振帶的邊界(實線為數值計算的結果,虛線為一階微擾計算的結果)

當|δ|>3ε時,如果忽略指數衰減部分,軌道包絡的最大振幅Amax=A1+A2,最小振幅Amin=|A1-A2|,調制深度為

(15)

當|δ|逐漸減小并接近3ε時,η→1,拍越來越明顯.同時,拍的周期

2 實驗裝置與方法

實驗裝置包含單擺、驅動和測量控制3個部分(圖2),整體安裝在門形支架上.

圖2 實驗裝置示意圖(未畫金屬偏心輪和渦流位移傳感器)

擺球為黃銅球(直徑25 mm,質量68 g),擺線向上依次穿過二維位移傳感器和小孔(內徑為0.3 mm,長度約為50 mm),最終結成環懸掛在轉桿的螺釘上. 單擺有效擺長為擺球中心到小孔下端的長度. 穿過小孔部分擺線為直徑0.2 mm的碳氟線,其余部分擺線是直徑約為1 mm的PE魚線,該設計是為了保證擺線可以在小孔中順滑移動,同時盡量減小擺線在受力下的形變.

驅動部分由步進電動機和轉桿組成. 轉桿與電動機轉軸固定,轉桿上有8個螺孔,用于固定懸掛擺線的螺釘. 螺孔到中心的距離從7.5 mm到25.0 mm等差變化. 選擇不同的螺孔相當于改變不同的驅動幅度(即Δl).

測量控制部分包括金屬偏心輪、電渦流位移傳感器、二維激光位移傳感器和數據采集卡. 金屬偏心輪套在電動機轉軸上,用電渦流位移傳感器測量偏心輪的邊緣到傳感器的距離,據此可以確定驅動的相位信號. 為了實時測量擺球在水平面內的偏轉角度,用2個一維激光位移傳感器(Panasonic HG-C1100)搭建了二維位移傳感器(靈敏度約為0.01 mm). 激光位移傳感器以模擬電壓的形式輸出測量結果,根據2個輸出電壓可計算出擺線與傳感器二維平面交點的坐標. 實驗中用數據采集卡(ART USB3131A)采集2個輸出電壓并轉換為位移. 此外,數據采集卡有數字信號輸出功能,實驗中可用其控制步進電動機的轉向與轉速.

3 實驗結果與分析

3.1 測量單擺參量

取螺釘到轉桿中心的距離Δl=12.5 mm,并將螺釘轉到最低位置(l=l0+Δl). 將擺球從一定角度釋放,記錄1 800 s的振動曲線. 由于位移傳感器與小孔下端的距離約為200 mm,橫向位移1 mm對應的擺角為1/200=0.005 rad. 因此為簡單起見,以下用二維位移傳感器測量的位移表示擺角.

圖3為實測的單擺軌跡. 在較短的時間內(30 s),x和y方向上的位移均接近正弦曲線,從而在x-y平面形成穩定的橢圓[圖3(a)]. 但隨著時間增長,橢圓在逐漸縮小的同時,其主軸方向會輕微轉動[圖3(b)],該轉動看起來和傅科擺類似,但多次測量發現振動面轉動的速度和方向具有一定的隨機性,造成該現象的主要原因可能是裝置的旋轉對稱性存在輕微的破缺(例如小孔不夠圓).

(a)t=30 s

圖4 單擺的振幅衰減曲線

表1 單擺參量計算

由表1可知:x,y方向測量的頻率在10-5Hz位數上有差別,后面的實驗顯示這種差別有一定的可重復性.為了簡單起見,將這種差別視為實驗裝置不完美引起的頻率不穩定性,同時將x(t)和y(t)視為對軌道的2次采樣.因此,取2個頻率的平均值作為單擺頻率的最佳估計.此外,上下2個位置的衰減系數β也在10-5s-1位數上有差別,故同樣取二者的平均值作為衰減系數的最佳估計.在此基礎上,可以計算中心頻率f0、頻率改變幅值Δf以及品質因數Q,它們與微擾計算用到的無量綱系數的關系是:ε=Δf/f0,γ=1/Q.對于以上計算結果,討論如下:

3)根據前文的理論分析可知,發生參量共振的條件是:1.059 781 Hz1.082 46 Hz或者fd<1.059 78 Hz. 其中,fd為驅動頻率. 這3個區間之間存在2個寬度為10-6Hz的區域,對應單擺可以和驅動相位鎖定,但受阻尼影響不會發生參量共振. 考慮到系統頻率的不穩定性在10-5Hz量級,因此本實驗裝置不能觀察到這類軌道.

3.2 參量共振軌道

3.2.1 參量共振產生的過程

保持Δl=12.5 mm,設定驅動頻率fd=1.071 Hz≈2f0,在擺幅足夠小的條件下啟動步進電動機,記錄單擺的位移曲線,結果如圖5所示. 由圖5可知,振幅按指數形式增長,且x方向和y方向的位移之比基本不變,這表明軌道在豎直平面內.

圖5 參量共振軌道

為顯示單擺與驅動相位的關系,以x(t)為橫軸,驅動信號為縱軸畫圖,如圖6所示.由于驅動信號正比于擺長的變化量,在小擺角近似下也與擺球z方向的位移相差1個正的比例系數,因此在橫向(x軸)與縱向(z軸)各相差1個比例因子的情況下,圖6可以理解為從側面觀察到的擺球運動軌跡,且可以清楚地看到擺球在平衡位置附近向上運動,在最大擺角附近向下運動,軌跡為∞形,且擺幅逐漸增大.

圖6 參量共振單擺的高度與擺角的關系

為了更好地描述參量共振產生的過程,計算了單擺的瞬時振幅A和相位差φ.方法是取以t為中心,長度為tw=4/fd的時間窗口,用頻率為fd/2的正弦函數擬合窗口內的位移曲線,得到振幅A(t)和相位φp,用頻率為fd的正弦函數擬合驅動信號,得到驅動相位φd,再按

φ(t)=2φp-φd

(16)

計算瞬時相位差,結果如圖7所示.可以看出x,y方向上相位差的初始值并不相等,但相位差會隨著時間t逐漸趨向一致,即達到φ的穩定不動點.當φ足夠靠近穩定不動點后,振幅的增長率基本為常量.

(a)瞬時振幅

需要指出,振幅指數發散與經典力學中的相空間面積守恒以及考慮到阻尼后相空間面積的收縮并不矛盾.因為相空間面積守恒,半徑(振幅)方向上的增長必定導致角度(相位)方向上的收縮,即φ會逐漸收斂到1個點.另一方面,式(5)中包含指數衰減的解,λ1+λ2=-γ<0保證了相空間面積收縮.

觀察衰減軌道的方法是:當軌道振幅開始穩定增長且轉桿處于水平位置(φd=0,π)時,讓步進電動機反轉(φ→φ+π),按此方法記錄的軌道如圖8所示,可以看到電動機反轉(t=153.48 s)后,振幅會經歷短時間的衰減,但經歷長時間后仍會發散.

(a)位移曲線

3.2.2 參量共振的頻率特性

保持Δl=12.5 mm不變,改變驅動頻率fd,當擺幅足夠小時加入驅動,記錄參量共振曲線,并用A0eλ tsin (πfdt+φp)+c擬合振幅穩定增長階段的數據,得到發散指數λ,根據式(16)計算相位差φ(t),所得結果見表2.

表2 不同驅動頻率下參量共振軌道的發散指數與相位差數據

回到物理量綱,式(6)和式(7)應寫成

(17)

(18)

為了使理論曲線與測量結果符合得更好,取f0=0.535 45 Hz(較表1中數值減小1.1×10-4Hz),這種微調體現了系統頻率的不穩定性,可以看出經過參量微調后,理論曲線與實驗數據吻合較好,如圖9所示.

(a)發散指數與驅動頻率的關系

3.2.3 發散指數與驅動幅度的關系

將驅動頻率設定在參量共振帶的中心(fd=1.071 Hz),改變Δl,測量參量共振軌道的發散指數,結果如表3所示.

表3 不同驅動強度下的軌道發散指數

由于Δf正比于Δl,任意Δl對應的Δf為

(19)

而在共振帶的中心,一階微擾計算給出

λ=3πΔf-β,

(20)

將測量結果與微擾計算進行比較,結果如圖10所示,可以看出二者符合較好.

圖10 參量共振帶中心發散指數與驅動幅度的關系

3.3 參量共振帶外邊緣的軌道

在參量共振帶的外邊緣,如果單擺有初始擺角,在驅動作用下擺幅會在勻速衰減背景下發生周期性變化.

圖11(a)為Δl=12.5 mm,fd=1.059 Hz時的軌道. 啟動驅動時,讓單擺只在x方向振動,故圖中只有x分量.在記錄時間范圍內,振幅的衰減并不明顯,最顯著的特征是長度約400 s的拍.

(a)位移曲線 (b)瞬時相位差圖11 參量共振帶下邊緣附近的軌道

圖11(b)為該軌道的瞬時相位差隨時間變化的曲線,可以清楚地看到當φ∈(-90°,90°)時振幅增大,當φ∈(90°,270°)時振幅減小. 另外,φ的變化率并不均勻,特別是在90°附近變化很慢;對稱的,在參量共振帶的上邊界之外,φ會在-90°附近變化很慢. 以上現象體現了系統的連續性,此時的驅動頻率非?？拷鼌⒘抗舱駧У南逻吔?如果驅動頻率再略高,在略小于90°的位置就會存在1個穩定的不動點.

參照式 (8),參量共振帶外的軌道可以用下面的函數形式擬合:

x(t)=e-β′t[A1sin (2πf1t+φ1)+

A2sin (2πf2t+φ2)]+b,

(21)

理論上

β′=β,

在參量共振帶的上、下邊界外各采集了10條軌道,每條軌道都可以用式(21)很好地擬合,最佳擬合參量見表4.

表4 參量共振帶之外軌道的特征量測量

圖12比較了f1,2的擬合值與計算值(虛線為漸近線),計算用到的參量與圖(9)中的相同.可以看出理論和測量的整體趨勢符合較好,不過理論曲線整體約偏右4×10-4Hz,或者f0應減小2×10-4Hz.

圖13為包絡調制深度為

圖13 調制深度的測量結果與理論曲線比較

的實測結果與理論計算的對比曲線. 與圖12類似,理論和測量整體趨勢符合,但整體略微右偏. 造成偏離的原因可能是在實驗過程中擺長發生了輕微變化 (增加0.6 mm).

4 結束語

本文用步進電動機驅動單擺的擺長發生周期性變化,對參量共振現象進行了細致的研究. 理論上,對線性化的方程進行了一階微擾計算,得到了發生參量共振的條件和平衡點附近軌道的分類以及軌道特征量與驅動頻率、驅動幅度的依賴關系. 實驗上,利用自組的二維激光位移傳感器實時測量了單擺的運動,并對參量共振和接近參量共振的軌道進行了定量測量,所得結果均與微擾計算給出的公式很好符合. 參量共振的理論涉及較多的數學計算,增加了學生對其物理本質的理解難度. 本文引入了單擺與驅動信號的瞬間相位差,將參量共振表征為相位鎖定現象. 通過實測相位差隨時間的變化曲線,為理解參量共振的發生機制提供了直觀的圖像. 參量共振帶內的軌道是振幅隨時間指數增長的振動,接近參量共振帶軌道(在阻尼可以忽略的情況下)是包含2個頻率的準周期運動,這2類運動在大學基礎物理實驗中很少涉及. 從教學的角度,利用單擺研究參量共振具有2個優點:a.運動圖像直觀、實驗現象明顯;b.力學模型簡單,便于理論分析. 除了擺長周期性變化,單擺的參量驅動方式還可以讓懸掛點上下周期性運動或者在豎直方向對擺球施加周期性的外力. 具體到實驗裝置則有更多的設計方案. 本文裝置可以改進之處:a.提高裝置的穩定性,提高測量結果的準確性;b.提高位移傳感器的測量范圍,使之可以研究大振幅運動;c.將單擺擴展為雙擺,研究多自由度體系的參量共振.