第53屆國際物理奧林匹克競賽實驗試題介紹及解答

李 智,孟 策,陳志堅,王若鵬

(北京大學 物理學院,北京 100871)

2023年7月9-17日,第53屆國際物理奧林匹克競賽(International Physics Olympiad, IPhO)在日本東京舉辦,中國代表隊由中國科協組團,北京大學物理學院的4位老師擔任領隊和觀察員. 本次比賽是新冠疫情以來首次現場考試,中國代表隊5位選手從來自80個國家和地區的近400位選手中脫穎而出,全部摘得金牌,5位選手的總成績排名分別為第1、第2、第3、第4和第6名;其中,余博文同學獲得總成績第1名,趙翰宏同學獲得并列理論第1名(理論滿分). 本次競賽的實驗考試包括2個獨立的題目,分別為“質量測量(Mass measurement)”和“利用雙折射測量厚度(Thickness measurement using birefringence)”,每題滿分10分,共計20分,實驗考試時間共5 h. 本文主要介紹了實驗試題和參考答案,供感興趣的教師和同學參考.

1 試 題

1.1 第1題:質量測量

要求利用諧振子的共振特性測量物體的質量. 圖1 是實驗裝置的簡化模型. 該裝置本質上是被驅動的彈簧振子,系統的運動方程為

圖1 簡諧振子模型示意圖

(1)

其中,M為振蕩器(圓柱形)的質量,m為單個重物的質量,N為重物的數量,g為重力加速度,k為與垂直運動有關的彈簧的有效彈性系數,z為振蕩器的高度(或位移),ze為在沒有重力和磁力作用的條件下簡諧振子平衡時振蕩器的高度,B(B′)為施加于主線圈(控制線圈)的磁感應強度,L(L′)為主線圈(控制線圈)的導電線的長度,I(I′)為流經主線圈(控制線圈)的電流,α為正阻尼系數.

實驗中需要先將所提供的10余種零部件按照要求逐步組合,自行構建實驗裝置,建成后的裝置如圖2所示. 電池和供電板用于給線圈供電,供電方式可在直流和交流模式間切換;振蕩器由網格狀的橡皮筋提供回復力,接線柱M+和M-以及C+和C-分別用于給主線圈和控制線圈供電;振蕩器下方是觀察裝置,借助其中的45°反射鏡可以從上方觀察安裝在振蕩器側面的標記物,并在測量標尺上讀出振蕩器的高度.

圖2 實驗裝置

1.1.1 A:胡克定律和電磁力

A.1 在答題紙上畫出2塊相同的圓盤形磁鐵N極相向時的磁場線. (0.4分)

A.2 將接線柱M+和M-連接到供電板的直流輸出端. 用鱷魚夾連接數字萬用表和供電板上的直流電流讀出端. 在不加重物的情況下,即N=0時,讀取直流電流為0時振蕩器的高度z,將讀數記錄在表A.2中. 將1個重物(N=1) 放到掛在圓柱體內壁的圓形支架上,并記錄振蕩器靜止時的高度z. 讓直流電流過主線圈,以使振蕩器恢復到不加重物時的高度. 這時的電流強度I是多少?將N逐步增加到 5,重復以上測量,將數據填入表A.2. (0.6分)

1.1.2 B:感生電動勢

B.1 假設頻率為f的交變電流通過沒有加重物的控制線圈,振蕩器高度隨時間呈正弦變化:

z-z0=Asin (2πft),

(2)

其中,z0為力達到平衡時振蕩器的高度,A為振幅.寫出主線圈中感生電動勢的振幅V的表達式.(0.2分)

B.4 利用B.3的結果計算BL的值及其不確定度. (0.4分)

B.5 利用A.3,A.4和B.4的結果,計算m和k的值及其不確定度.需要時可使用重力加速度的值:g=9.80 m/s2. (1.2分)

1.1.3 C:共振頻率與質量的關系

在下面的實驗中,使用主線圈驅動振蕩器,需要相應地改變連線.

C.1 寫出帶有N個重物的振蕩器的共振頻率f的表達式.請使用運動過程中的彈簧彈性系數k′(k′與k不同). (0.2分)

C.2 將交流電源連接到主線圈以驅動振蕩器. 測量帶有不同數量重物的振蕩器的共振頻率f,重物數量N從0～5連續變化,將結果填寫到表C.2中. (0.5分)

1.1.4 D:共振特征

當振幅為FAC、頻率為f的周期性作用力施加在不帶重物的振蕩器上時,振幅A可以用具有共振特性的表達式描述:

(3)

D.1 把交流電加到主線圈以驅動振蕩器. 調節頻率和輸出電壓,以產生具有適當振幅的共振. 在答題紙上記錄“ACmon”和“AC GND”之間的交流電壓VAC′. 利用B.4的結果和轉換系數0.106 A/V,計算作用于振蕩器的周期性電磁力的振幅FAC. (0.4分)

D.2 在表D.2中記錄不同頻率f下的振幅A.在整個測量過程中,必須保持所施加電磁力的振幅FAC保持不變. 畫出反映頻率f和振幅A之間關系的曲線圖. (0.9分)

D.3 利用D.1和D.2的結果,求出M. (1.0分)

1.2 第2題:利用雙折射測量厚度

圖3 當線偏振光正入射于雙折射晶體表面時,其電場E的矢量分解

令I∥和I⊥分別表示通過晶體后的光在平行于和垂直于入射線偏振方向的分量的光強,且在本題其余部分入射光的線偏振方向(圖 3中的E)與x軸的夾角均為45°,則通過晶體后的光在垂直于入射線偏振方向上的分量的歸一化光強為

(4)

其中ITotal=I∥+I⊥,即總的透射光強.

可以設INorm隨入射光的波長變化在0和1之間振蕩.令λm(m=1,2,3,…)為INorm=0對應的波長,則相應的相位差Γm滿足

(5)

根據式(5),在Δn(λm)已知的情況下,如果測量出多個λm,就可以確定晶體厚度L.在本實驗中,將確定石英板的厚度.石英是雙折射材料,其折射率no和ne對真空光波長的依賴在附表中給出.

圖4(a)為測量系統的示意圖,系統由多個元件和器材構成,參賽選手需按照題目說明逐步自行組裝,組裝好的系統照片如圖4(b)所示. 白光發光二極管(LED)被用作光源,它包含藍光LED 和熒光粉. 當藍光LED 的光照射到熒光粉上時,會發射出具有連續光譜的白光. 透射光柵G可以使光發生色散,即光譜分解. 利用偏振片P1使白光成為線偏振,偏振方向(圖 3中的E)與石英板Q的x軸的夾角為 45°. 通過Q后的光的偏振分量(即平行和垂直于P1偏振方向的分量),可以通過旋轉偏振片P2進行選擇. 光探測器用來測量光強.

(a)光路示意圖

1.2.1 A:測量系統的搭建

如圖 5 所示,LED的輸出光入射到光柵表面. 對于正入射的情況,光柵G的旋轉角度θ定義為 0°. 沿逆時針和順時針方向旋轉光柵后,旋轉角度θ的符號分別為+和-. 1級衍射光相對入射光的偏折角α的定義如圖 5 所示.利用G的光柵周期d,波長λ可以用θ表示為

(6)

取d= 1.00 μm,并固定α=40.0°.

A.1 計算出可以測量到的最長波長λ,以及對應的θ.(0.3分)

A.2 計算出λ=440 nm所對應θ的數值.(0.2分)

測量系統的搭建流程如下:

1)使用基板將帶坐標的屏豎立起來. 將2個電池安裝在白光LED模塊.

2)開啟LED,擰下LED模塊前側的螺釘,然后用螺釘將狹縫安裝到LED模塊上,利用帶坐標的屏調整狹縫位置使透射白光的通量最大,并測量狹縫出口處光束中心的高度. 將長導軌的U形開槽端騎在短導軌的U形開槽端之上.

3)將旋轉臺底面伸出的轉軸插入由兩導軌的開槽端構成的“虛擬通孔”,確保兩臂可以圍繞轉軸自由、平穩地旋轉,并長導軌可在0°≤α≤40.0°的范圍內停留在桌面上.

4)將短導軌的中心線與旋轉臺刻度上的0°對齊,并保持在該位置,可以在短導軌下面放1塊防滑墊.

5)組裝透鏡. 將帶有狹縫的白光LED模塊和透鏡L1放在短導軌上. 調節狹縫和L1之間的距離,使通過L1后的光束在傳播路徑上幾乎保持不變,即使光束準直.

6)使用帶坐標的屏測量經過L1后的光束高度. 松開L1在底座上的固定螺絲可以移動支桿,調節透鏡高度使光束高度保持與狹縫后的高度基本一致.

7)將長導軌的中心線與旋轉臺上的角度刻度180°對齊. 放松透鏡L1水平位置的固定螺絲可以左右移動透鏡,使L1后的光束中心與長導軌的中心線對齊. 并且可以將帶坐標的屏倒置在長導軌上來輔助調節.

8)將透射光柵背面的雙面膠的第二面露出來,將其貼在旋轉臺的轉軸上方. 將光柵的正面朝向光源,并旋轉平臺,使反射光進入狹縫,即θ=0°(正入射),記錄旋轉臺的角度θStage.

9)將長導軌圍繞軸轉動,使α=40.0°(圖5). 放置另一塊防滑墊以固定,防止意外錯位.

圖5 透射光柵G的旋轉角度θ和衍射光相對入射光的偏折角 α

10)將透鏡L2和光探測器PD與遮光筒支架放在長導軌上. 為了將衍射光聚焦到光探測器上,沿長導軌調節光探測器和L2之間的距離以及L2的高度,使豎直方向上的光束直徑達到最小.

11)用白卡片檢查光束直徑. 如果光束太弱以致無法用肉眼識別,使用遮光盒覆蓋光探測器. 將遮光筒安裝在支架上,遮光筒可以最大限度地減少不需要的光被探測.

12)將光探測器連接到數字萬用表,紅色(黑色)線接入紅色(黑色)端.

13)將數字萬用表設置為直流電壓測量模式. 調節L2的高度,使數字萬用表的讀數達到最大. 此后,用數字萬用表上的電壓值表示光強.

A.3 先不加入偏振片,旋轉旋轉臺,找到藍光LED光譜峰值所對應的角度θ,并先假定α=40.0°,計算相應的波長λPeak. 如果得到的峰值波長λPeak在450～460 nm范圍內,說明裝置對準滿足要求,如此則在答題紙上寫下α=40.0°,并繼續后面的題目. 否則,需要找到實際的α值,不需要改動裝置和原始數據,只要給出α的修正值,使得λPeak落在上面提到的恰當范圍之內. 在答題紙上記錄此α值,并用于后續問題. (0.8分)

A.4 將偏振片P1和P2放在長導軌上,將旋轉臺設置到θ=-15.0°位置. 觀察數字萬用表的讀數,找出偏振片P2的旋轉支架的角度φ⊥,使其偏振方向與通過偏振片P1的光偏振方向垂直. 根據該結果,找出偏振片P2的旋轉支架在其偏振方向與偏振片P1的偏振方向平行時的角度φ∥. (0.3分)

A.5 通過將黑卡片放在狹縫前阻擋通過狹縫的光,可測出系統本底信號,即相對于0的光強偏移量(Offset). 此時,偏振片P2的旋轉支架的角度分別為φ⊥和φ∥時的光強定義為IOffset⊥和IOffset∥,測出偏移量IOffset⊥和IOffset∥. 注意,IOffset⊥和IOffset∥是由光源以外的光引起的,需要通過做減法消除以獲得來自光源的真正貢獻. (0.2分)

A.6 當偏振片P2的旋轉支架的角度分別為φ⊥和φ∥時,來自于光源的光強分別為I⊥和I∥.測量θ=-15.0 °時的I⊥和I∥.(0.5分)

1.2.2 B:透射光強的測量

在此后,如有需要,可使用 A.3中α的修正值計算λ的值.

B.1 將石英板放在偏振片P1和P2之間,測量不同角度θ下的透射光強度I⊥和I∥.波長測量范圍必須完全覆蓋440～660 nm. 將以下參量制成表格:θStage(旋轉臺的角度讀數),θ,λ,I⊥,I∥,ITotal=I⊥+I∥,INorm=I⊥/ITotal.注意,當θStage增加一定值時,θ減小相應的值,反之亦然.(2.0分)

B.2 在坐標紙上畫出白光LED的光譜,即ITotal對波長的依賴關系圖. (1.0分)

B.3 求出內置于白光 LED內的藍光LED的光譜的半高全寬ΔλFWHM. (0.2分)

B.4 在坐標紙上畫出INorm光譜. (1.5分)

1.2.3 C:測量結果的分析

C.1 從INorm光譜圖上,找到所有使INorm取極小值所對應的波長. 必須在相應的波長下面給出式(5)中對應的階數m.可以使用附表中給出的no和ne的值來確定折射率差Δn. (1.5分)

C.2 計算樣品的厚度L. (1.5分)

2 試題解答

2.1 第1題(質量測量)解答

2.1.1 A部分解答

A.1 2塊相同的圓盤形磁鐵N極相向時的磁場線如圖6所示. 要求:箭頭從N指向S,兩磁鐵間隙的邊緣處有多條水平磁場線,磁場線不互相交叉,不違背對稱性.

圖6 相同圓盤形磁鐵N極相向時的磁場線

A.2 測量數據如表1所示.

表1 振蕩器的靜止高度z和高度恢復時對應的電流I隨重物數量N的變化(A.2)

圖7 高度z和重物數量N的關系圖

A.4 作圖和數據處理過程與A.3類似,這里不再給出,最終結果為b=(0.106±0.005) A(合理數據范圍0.08 A≤b≤0.13 A).

2.1.2 B部分解答

B.1 主線圈中感生電動勢的振幅表達式為

V=2πfABL.

B.2 測量得到頻率fB=15.85 Hz(合理數據范圍12～20 Hz). 固定頻率改變輸出電壓測得的結果如表2所示,要求至少測量5個數據點,并且最大的振幅A在2.5～3.0 mm之間.

表2 固定頻率改變輸出電壓測得的振幅A和感生交流電壓V′

B.3 作圖和數據處理過程與A.3類似,最終結果為c=(0.049±0.001) V/mm(合理數據范圍0.03～0.08 V/mm).

2.1.3 C部分解答

C.2 不同重物數量N下,振蕩器的共振頻率f的測量結果如表3所示,缺1個數據點扣0.1分.

表3 不同重物數量N之下振蕩器的共振頻率f和f-2

2.1.4 D部分解答

表4 不同頻率f下的振幅A

圖8 頻率f和振幅A之間的關系圖

2.2 實驗第二題(利用雙折射測量厚度)解答

2.2.1 A部分解答

A.1 根據式(6),波長λ在θ=α/2時取極大,將d=1.00 μm和α=40.0°代入可得最長波長λ=684 nm,對應θ=20.0°.

A.2 代入式(6)可知λ=440 nm對應的θ有2個解(θ=-30.0°或70.0°),2個解各0.1分.

A.3 測得藍光LED光譜峰值所對應的角度為θ=-28.0°,計算出對應的波長λPeak=458 nm,峰值波長在450～460 nm范圍內,說明裝置對準滿足要求,在答題紙上寫下α= 40.0°.若測得的λPeak在440～450 nm或460～470 nm,扣0.2分;若測得的λPeak在430～440 nm或470～480 nm,扣0.4分.λPeak偏離給定范圍說明裝置對準存在問題,按題目要求,此時不需要改動裝置和原始數據,而只要給出α的修正值,使λPeak落在450～460 nm之內,然后在后續問題中使用α的修正值用于所有計算即可.

A.4 旋轉偏振片P2的過程中有2個角度消光,為φ⊥=90°或270°(寫出1個即可),φ⊥結果在85°～95°或265°～275°均可.相應的,φ∥=φ⊥+90° 或φ⊥-90°.

A.5 測得本底信號為IOffset⊥= 5 mV(合理數據范圍≤10 mV),IOffset∥=10 mV(合理數據范圍≤20 mV).

A.6 測得θ= -15.0 °時的I⊥=1 mV(0～3 mV可得全0.2分,4～6 mV得0.1分),I∥=160 mV(≥100 mV可得全0.3分,50～99 mV得0.2分,30～49 mV得0.1分).

2.2.2 B部分解答

B.1 這部分測量數據量較大,參考答案中包含有七十多個測量點(大部分區間測量間隔0.5°,少部分區間測量間隔1～2°),這里不再給出對應的數據表格. 具體評分標準如下:

1)要求總的測量點數≥20個可得全0.9分,15～19個得0.6分,10～14個得0.3分;

2)要求有合理測量范圍,有λ≤440 nm和λ≥660 nm的數據點可各得0.1分;

3)要求有合理取點密度,在LED光譜的峰值波長附近半高全寬范圍內有數據點間隔 5 nm或更小可得全0.3分,在INorm取極小所對應的3個波長附近有數據點間隔5 nm或更小可得全0.6分(每處0.2分);

4)θ和λ之間的對應關系計算錯誤每個點扣0.1分,I⊥,I∥和INorm之間的對應關系計算錯誤每個點扣0.1分,合計最多扣2分.

B.2 根據B.1的測量數據,可以畫出白光 LED 的光譜,結果如圖9所示. 第1個峰在450～460 nm、第2個峰在500～600 nm可得0.3分;第1個峰強度大于第2個峰可得0.2分;第1個峰強度≥200 mV可得全0.3分,在100～199 mV得0.2分,在40～99 mV得0.1分;第2個峰的半高全寬大于50 nm可得0.2分.

圖9 ITotal對波長λ的依賴關系圖

B.3 內置于白光 LED 內的藍光 LED其發光譜在短波段,也就是對應圖9中的第1個峰,因此可以從圖9中讀出第1個峰的半高全寬為ΔλFWHM=25 nm(合理數據范圍為≤40 nm).

B.4 將B.1中計算得到的INorm對波長的依賴關系作圖,結果如圖10所示. 圖中有3處滿足INorm≤0.3的局域極小可得全0.6分,只有2處則得0.3分;圖中有至少3處滿足INorm≥0.7的局域極大可得全0.6分,只有2處則得0.3分;3處局域極小對應的高度INorm≤0.2可得全0.3分(每處0.1分).

圖10 INorm對波長λ的依賴關系圖

2.2.3 C部分解答

C.1～C.2 從圖10可以找到INorm取極小值對應的3個波長,分別為λ=473,534,617 nm(3個波長滿足455 nm<λ<479 nm,513 nm<λ<539 nm,590 nm<λ<620 nm可得全1.2分,即每個波長得0.4分;若3個波長分別滿足444 nm<λ≤455 nm或479 nm≤λ< 490 nm,500 nm<λ≤513 nm或539 nm≤λ<553 nm,575 nm<λ≤590 nm或620 nm≤λ<636 nm,則每個波長得0.2分).

(7)

通過題目中附表查得λ= 617,534,473 nm處石英晶體的折射率差為Δn=ne-no=0.009 07,0.009 19,0.009 32.將λm=617 nm和λm+1=534 nm以及對應的Δn代入式(7)可得樣品厚度L=398 μm,將λm=534 nm和λm+1=473 nm以及對應的Δn代入式(7)可得L= 401 μm. 將L和Δn代回到式(5),可算得λm=617,534,473 nm對應的階數分別為m=5.85,6.88,7.90,對階數m取整最終得到階數取值應為m=6,7,8,m結果正確可得0.3分(每個0.1分).

3 分析討論

本屆奧賽實驗考試第1題是質量測量,題目的背景與質量單位kg的重新定義有關. 在2018年的國際計量大會上,kg,A,K,mol的新定義被一致通過,此后國際單位制的7個基本單位均是基于物理學基本定律和常量定義. 其中,kg從國際千克原器改為通過普朗克常量來定義,該新定義得以實現是基于高精度測量質量的裝置,即基布爾秤(Kibble balance),也被稱為瓦特秤(Watt balance). 本題目借鑒了基布爾秤的基本思想,鑒于原題目篇幅過長,且背景介紹對答題幾乎沒有影響. 本題目在理論方面并不復雜,主要涉及胡克定律、安培力、電磁感應定律和彈簧振子共振,實驗方面主要考查基本測量、數據處理(如曲線改直)、作圖和不確定度評定等.

實驗考試第2題是利用雙折射測量厚度,題目中使用了基于藍光LED的白光源,科學家赤崎勇、天野浩和中村修二因為藍光LED方面的貢獻獲得了2014年諾貝爾物理學獎,天野浩本人也在本次奧賽中做了大會報告并擔任頒獎嘉賓. 這道題目要求自行搭建類似分光計的裝置,借助光柵衍射進行光譜測量,并結合偏振光干涉來測量雙折射材料的厚度. 題目在理論上也比較簡單,主要涉及雙折射和光柵衍射,但是實驗方面對儀器調節的要求比較高,測量數據量也比較大,同時對數據質量的要求也較高,從評分標準不難看出,本題對測量范圍、取點密度、數據的正確性都有相應的要求.

本屆奧賽2道實驗題目的共同特點是突出實驗方面相關能力的考查,淡化理論方面的要求,特別是都要求自行搭建實驗裝置,由于2道題目提供的零部件較多、較散,每道題實驗裝置的搭建都需要花費0.5 h以上的時間,對學生的動手能力要求較高. 本次實驗考試題目的質量很高,總體難度適中,可以很好地考查學生的實驗能力. 最終中國代表隊的5名選手的實驗得分分別為15.6,15.0,14.9,14.1和12.3,實驗成績排名為第2,3,4,7和13,成績比較理想. 實驗成績最佳獎由1位美國選手獲得,得分為16.0分(滿分20分). 相比之下,本次奧賽的理論試題偏簡單,中國代表隊的5名選手的理論得分最少為29.6分(滿分30分). 本次實驗考試的題量較大,5名選手各有1道題目未能完成全部內容,需要在2道題之間合理分配時間. 從各小題的分項得分看,5名選手基本沒有出現普遍共性問題,問題相對較多的是第2題測量中要正確遮光,需同時使用遮光筒和遮光罩以減小背景,部分選手只使用了其中1種,測得的背景光強超過標準;另外,第2題的B.1部分對數據質量要求較高,部分選手雖然測了很多數據點,但得分不高,特別是有選手由于表格中部分數據記錄竄行導致超過20個數據點的波長角度對應關系錯誤,按評分標準該部分的2.0分被全部扣除;此外,第1題改變參量測量時,要求振蕩器振幅不超過3 mm,有選手忽視了該條件. 以上細節仍需在平時訓練中多加注意.